MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasncld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasncld 23058
Description: If a relation graph is closed, then an image set of a singleton is also closed. Corollary of Proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
imasnopn.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
imasncld (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))

Proof of Theorem imasncld
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . 4 Ⅎ𝑦((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
2 nfcv 2908 . . . 4 Ⅎ𝑦(𝑅 β€œ {𝐴})
3 nfrab1 3429 . . . 4 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}
4 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)))
5 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)
65cldss 22396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
74, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
8 imasnopn.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = βˆͺ 𝐽
9 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
108, 9txuni 22959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1110adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
127, 11sseqtrrd 3990 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾))
13 imass1 6058 . . . . . . . . . 10 (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}))
15 xpimasn 6142 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝐾)
1615ad2antll 728 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝐾)
1714, 16sseqtrd 3989 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝐾)
1817sseld 3948 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾))
1918pm4.71rd 564 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}))))
20 elimasng 6045 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2120elvd 3455 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2221ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2322anbi2d 630 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴})) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅)))
2419, 23bitrd 279 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅)))
25 rabid 3430 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅} ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2624, 25bitr4di 289 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}))
271, 2, 3, 26eqrd 3968 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅})
28 eqid 2737 . . . 4 (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) = (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©)
2928mptpreima 6195 . . 3 (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}
3027, 29eqtr4di 2795 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) = (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅))
319toptopon 22282 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3231biimpi 215 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3332ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
348toptopon 22282 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3534biimpi 215 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3635ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
37 simprr 772 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3833, 36, 37cnmptc 23029 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
3933cnmptid 23028 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
4033, 38, 39cnmpt1t 23032 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)))
41 cnclima 22635 . . 3 (((𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾))) β†’ (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
4240, 4, 41syl2anc 585 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
4330, 42eqeltrd 2838 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (Clsdβ€˜(𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) ∈ (Clsdβ€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  {csn 4591  βŸ¨cop 4597  βˆͺ cuni 4870   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  Clsdccld 22383   Cn ccn 22591   Γ—t ctx 22927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-map 8774  df-topgen 17332  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator