MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasnopn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imasnopn 23185
Description: If a relation graph is open, then an image set of a singleton is also open. Corollary of Proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
imasnopn.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
imasnopn (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) ∈ 𝐾)
Proof of Theorem imasnopn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . 4 Ⅎ𝑦((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
2 nfcv 2903 . . . 4 Ⅎ𝑦(𝑅 β€œ {𝐴})
3 nfrab1 3451 . . . 4 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}
4 txtop 23064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
54adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
6 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
7 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)
87eltopss 22400 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
95, 6, 8syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
10 imasnopn.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = βˆͺ 𝐽
11 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
1210, 11txuni 23087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
149, 13sseqtrrd 4022 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾))
15 imass1 6097 . . . . . . . . . 10 (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}))
17 xpimasn 6181 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝐾)
1817ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝐾)
1916, 18sseqtrd 4021 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝐾)
2019sseld 3980 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾))
2120pm4.71rd 563 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}))))
22 elimasng 6084 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2322elvd 3481 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2423ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2524anbi2d 629 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴})) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅)))
2621, 25bitrd 278 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅)))
27 rabid 3452 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅} ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2826, 27bitr4di 288 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}))
291, 2, 3, 28eqrd 4000 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅})
30 eqid 2732 . . . 4 (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) = (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©)
3130mptpreima 6234 . . 3 (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}
3229, 31eqtr4di 2790 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) = (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅))
3311toptopon 22410 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3433biimpi 215 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3534ad2antlr 725 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3610toptopon 22410 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3736biimpi 215 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3837ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
39 simprr 771 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
4035, 38, 39cnmptc 23157 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
4135cnmptid 23156 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
4235, 40, 41cnmpt1t 23160 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)))
43 cnima 22760 . . 3 (((𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) ∈ 𝐾)
4442, 6, 43syl2anc 584 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) ∈ 𝐾)
4532, 44eqeltrd 2833 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Topctop 22386  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719   Γ—t ctx 23055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator