MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasnopn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imasnopn 23415
Description: If a relation graph is open, then an image set of a singleton is also open. Corollary of Proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
imasnopn.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
imasnopn (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) ∈ 𝐾)
Proof of Theorem imasnopn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . . . 4 Ⅎ𝑦((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
2 nfcv 2902 . . . 4 Ⅎ𝑦(𝑅 β€œ {𝐴})
3 nfrab1 3450 . . . 4 Ⅎ𝑦{𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}
4 txtop 23294 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
6 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾))
7 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾)
87eltopss 22630 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
95, 6, 8syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
10 imasnopn.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = βˆͺ 𝐽
11 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
1210, 11txuni 23317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐾))
149, 13sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾))
15 imass1 6100 . . . . . . . . . 10 (𝑅 βŠ† (𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}))
17 xpimasn 6184 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝐾)
1817ad2antll 726 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑋 Γ— βˆͺ 𝐾) β€œ {𝐴}) = βˆͺ 𝐾)
1916, 18sseqtrd 4022 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝐾)
2019sseld 3981 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾))
2120pm4.71rd 562 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}))))
22 elimasng 6087 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2322elvd 3480 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2423ad2antll 726 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2524anbi2d 628 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴})) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅)))
2621, 25bitrd 279 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅)))
27 rabid 3451 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅} ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅))
2826, 27bitr4di 289 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ (𝑅 β€œ {𝐴}) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}))
291, 2, 3, 28eqrd 4001 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅})
30 eqid 2731 . . . 4 (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) = (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©)
3130mptpreima 6237 . . 3 (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ∣ ⟨𝐴, π‘¦βŸ© ∈ 𝑅}
3229, 31eqtr4di 2789 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) = (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅))
3311toptopon 22640 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3433biimpi 215 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3534ad2antlr 724 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3610toptopon 22640 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3736biimpi 215 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3837ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
39 simprr 770 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
4035, 38, 39cnmptc 23387 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
4135cnmptid 23386 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ 𝑦) ∈ (𝐾 Cn 𝐾))
4235, 40, 41cnmpt1t 23390 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)))
43 cnima 22990 . . 3 (((𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 Γ—t 𝐾)) ∧ 𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾)) β†’ (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) ∈ 𝐾)
4442, 6, 43syl2anc 583 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (β—‘(𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨𝐴, π‘¦βŸ©) β€œ 𝑅) ∈ 𝐾)
4532, 44eqeltrd 2832 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑅 ∈ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑅 β€œ {𝐴}) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Topctop 22616  TopOnctopon 22633   Cn ccn 22949   Γ—t ctx 23285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-map 8825  df-topgen 17394  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-tx 23287
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator