Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege77d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege77d 40213
Description: If the images of both {𝐴} and 𝑈 are subsets of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of 𝑈. Similar to Proposition 77 of [Frege1879] p. 62. Compare with frege77 40408. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege77d.r (𝜑𝑅 ∈ V)
frege77d.a (𝜑𝐴 ∈ V)
frege77d.b (𝜑𝐵 ∈ V)
frege77d.ab (𝜑𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege77d.he (𝜑 → (𝑅𝑈) ⊆ 𝑈)
frege77d.ss (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
Assertion
Ref Expression
frege77d (𝜑𝐵𝑈)

Proof of Theorem frege77d
StepHypRef Expression
1 frege77d.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
2 imaundi 5982 . . . 4 (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) = ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅𝑈))
3 frege77d.ss . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
4 frege77d.he . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑈) ⊆ 𝑈)
53, 4unssd 4138 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅𝑈)) ⊆ 𝑈)
62, 5eqsstrid 3991 . . 3 (𝜑 → (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
7 trclimalb2 40193 . . 3 ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈) → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
81, 6, 7syl2anc 586 . 2 (𝜑 → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
9 frege77d.ab . . . 4 (𝜑𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
10 df-br 5041 . . . 4 (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
119, 10sylib 220 . . 3 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
12 frege77d.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
13 frege77d.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
14 elimasng 5929 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
1512, 13, 14syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
1611, 15mpbird 259 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}))
178, 16sseldd 3944 1 (𝜑𝐵𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wcel 2114  Vcvv 3473  cun 3910  wss 3912  {csn 4541  cop 4547   class class class wbr 5040  cima 5532  cfv 6329  t+ctcl 14323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-2 11677  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-seq 13352  df-trcl 14325  df-relexp 14358
This theorem is referenced by:  frege81d  40214  frege87d  40217
  Copyright terms: Public domain W3C validator