Theorem frege77d 43764

Description: If the images of both {𝐴} and 𝑈 are subsets of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of 𝑈. Similar to Proposition 77 of [Frege1879] p. 62. Compare with frege77 43958. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege77d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege77d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
frege77d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege77d.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege77d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
frege77d.ss	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
frege77d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem frege77d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege77d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		imaundi 6168	. . . 4 ⊢ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) = ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅 “ 𝑈))
3		frege77d.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
4		frege77d.he	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
5	3, 4	unssd 4191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅 “ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
6	2, 5	eqsstrid 4021	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
7		trclimalb2 43744	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈) → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
9		frege77d.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
10		df-br 5143	. . . 4 ⊢ (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
11	9, 10	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
12		frege77d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
13		frege77d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
14		elimasng 6106	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
16	11, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}))
17	8, 16	sseldd 3983	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ∪ cun 3948   ⊆ wss 3950  {csn 4625  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142   “ cima 5687  ‘cfv 6560  t+ctcl 15025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-trcl 15027  df-relexp 15060

This theorem is referenced by:  frege81d  43765  frege87d  43768