Theorem frege77d 43708

Description: If the images of both {𝐴} and 𝑈 are subsets of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of 𝑈. Similar to Proposition 77 of [Frege1879] p. 62. Compare with frege77 43902. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege77d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege77d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
frege77d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege77d.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege77d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
frege77d.ss	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
frege77d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem frege77d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege77d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		imaundi 6110	. . . 4 ⊢ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) = ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅 “ 𝑈))
3		frege77d.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
4		frege77d.he	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
5	3, 4	unssd 4151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅 “ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
6	2, 5	eqsstrid 3982	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
7		trclimalb2 43688	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈) → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
9		frege77d.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
10		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
11	9, 10	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
12		frege77d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
13		frege77d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
14		elimasng 6049	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
16	11, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}))
17	8, 16	sseldd 3944	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102   “ cima 5634  ‘cfv 6499  t+ctcl 14927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-trcl 14929  df-relexp 14962

This theorem is referenced by:  frege81d  43709  frege87d  43712