Theorem frege77d 41243

Description: If the images of both {𝐴} and 𝑈 are subsets of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of 𝑈. Similar to Proposition 77 of [Frege1879] p. 62. Compare with frege77 41437. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege77d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege77d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
frege77d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege77d.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege77d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
frege77d.ss	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
frege77d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem frege77d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege77d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		imaundi 6042	. . . 4 ⊢ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) = ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅 “ 𝑈))
3		frege77d.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
4		frege77d.he	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
5	3, 4	unssd 4116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅 “ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
6	2, 5	eqsstrid 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
7		trclimalb2 41223	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈) → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
8	1, 6, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
9		frege77d.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
10		df-br 5071	. . . 4 ⊢ (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
11	9, 10	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
12		frege77d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
13		frege77d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
14		elimasng 5985	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
15	12, 13, 14	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
16	11, 15	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}))
17	8, 16	sseldd 3918	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   “ cima 5583  ‘cfv 6418  t+ctcl 14624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-trcl 14626  df-relexp 14659

This theorem is referenced by:  frege81d  41244  frege87d  41247