Theorem frege77d 42962

Description: If the images of both {𝐴} and 𝑈 are subsets of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of 𝑈. Similar to Proposition 77 of [Frege1879] p. 62. Compare with frege77 43156. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege77d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege77d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
frege77d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege77d.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege77d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
frege77d.ss	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
frege77d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem frege77d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege77d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		imaundi 6149	. . . 4 ⊢ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) = ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅 “ 𝑈))
3		frege77d.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
4		frege77d.he	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
5	3, 4	unssd 4186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅 “ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
6	2, 5	eqsstrid 4030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
7		trclimalb2 42942	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈) → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
8	1, 6, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
9		frege77d.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
10		df-br 5149	. . . 4 ⊢ (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
11	9, 10	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
12		frege77d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
13		frege77d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
14		elimasng 6087	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
15	12, 13, 14	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
16	11, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}))
17	8, 16	sseldd 3983	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148   “ cima 5679  ‘cfv 6543  t+ctcl 14939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-seq 13974  df-trcl 14941  df-relexp 14974

This theorem is referenced by:  frege81d  42963  frege87d  42966