Theorem frege77d 44357

Description: If the images of both {𝐴} and 𝑈 are subsets of 𝑈 and 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅, then 𝐵 is an element of 𝑈. Similar to Proposition 77 of [Frege1879] p. 62. Compare with frege77 44551. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege77d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege77d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
frege77d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege77d.ab	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
frege77d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
frege77d.ss	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
frege77d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem frege77d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege77d.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		imaundi 6145	. . . 4 ⊢ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) = ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅 “ 𝑈))
3		frege77d.ss	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
4		frege77d.he	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
5	3, 4	unssd 4153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 “ {𝐴}) ∪ (𝑅 “ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
6	2, 5	eqsstrid 3983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
7		trclimalb2 44337	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑅 “ ({𝐴} ∪ 𝑈)) ⊆ 𝑈) → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
8	1, 6, 7	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
9		frege77d.ab	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
10		df-br 5111	. . . 4 ⊢ (𝐴(t+‘𝑅)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
11	9, 10	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅))
12		frege77d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
13		frege77d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
14		elimasng 6089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
15	12, 13, 14	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (t+‘𝑅)))
16	11, 15	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝐴}))
17	8, 16	sseldd 3946	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110   “ cima 5662  ‘cfv 6533  t+ctcl 15018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-seq 14034  df-trcl 15020  df-relexp 15053

This theorem is referenced by:  frege81d  44358  frege87d  44361