Theorem blval2 23278

Description: The ball around a point 𝑃, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blval2	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}))

Proof of Theorem blval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12452	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		blvalps 23101	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
3	1, 2	syl3an3 1162	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
4		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)
5		nfcv 2919	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃})
6		nfrab1 3302	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}
7		psmetf 23022	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
8		ffn 6503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
9		elpreima 6824	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
11	10	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
12		opelxp 5564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	baib 539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	13	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
15	14	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋))
16	15	adantrd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋))
17		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
18	17	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑋))
19		simpl2 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
20	19, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
21		df-ov 7159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃𝐷𝑥) = (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩)
22	21	eleq1i 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))
23		0xr 10739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		simpl3 1190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
25	24	rpxrd 12486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
26		elico1 12835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
27	23, 25, 26	sylancr 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
28		df-3an 1086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ↔ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
29		simpl1 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
30		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31		psmetcl 23023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
32	29, 19, 30, 31	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
33		psmetge0 23028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
34	29, 19, 30, 33	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
35	32, 34	jca 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)))
36	35	biantrurd 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
37	28, 36	bitr4id 293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
38	27, 37	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
39	22, 38	bitr3id 288	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
40	20, 39	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
41	40	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
42	16, 18, 41	pm5.21ndd 384	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
43	11, 42	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
44		elimasng 5932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
45	44	elvd 3416	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
46	45	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
47		rabid 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
49	43, 46, 48	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
50	4, 5, 6, 49	eqrd 3913	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
51	3, 50	eqtr4d 2796	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409  {csn 4525  ⟨cop 4531   class class class wbr 5036   × cxp 5526  ^◡ccnv 5527   “ cima 5531   Fn wfn 6335  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0cc0 10588  ℝ^*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727  ℝ⁺crp 12443  [,)cico 12794  PsMetcpsmet 20164  ballcbl 20167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-2 11750  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ico 12798  df-psmet 20172  df-bl 20175

This theorem is referenced by:  elbl4  23279  metustbl  23282  psmetutop  23283