Theorem blval2 24527

Description: The ball around a point 𝑃, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blval2	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}))

Proof of Theorem blval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12952	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		blvalps 24350	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
3	1, 2	syl3an3 1166	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
4		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)
5		nfcv 2898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃})
6		nfrab1 3409	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}
7		psmetf 24271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
8		ffn 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
9		elpreima 7010	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
11	10	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
12		opelxp 5667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	baib 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	13	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
15	14	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋))
16	15	adantrd 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋))
17		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
18	17	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑋))
19		simpl2 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
20	19, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
21		df-ov 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃𝐷𝑥) = (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩)
22	21	eleq1i 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))
23		0xr 11192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
25	24	rpxrd 12987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
26		elico1 13341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
27	23, 25, 26	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
28		df-3an 1089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ↔ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
29		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31		psmetcl 24272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
32	29, 19, 30, 31	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
33		psmetge0 24277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
34	29, 19, 30, 33	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
35	32, 34	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)))
36	35	biantrurd 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
37	28, 36	bitr4id 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
38	27, 37	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
39	22, 38	bitr3id 285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
40	20, 39	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
41	40	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
42	16, 18, 41	pm5.21ndd 379	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
43	11, 42	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
44		elimasng 6054	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
45	44	elvd 3435	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
46	45	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
47		rabid 3410	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
49	43, 46, 48	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
50	4, 5, 6, 49	eqrd 3941	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
51	3, 50	eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429  {csn 4567  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℝ⁺crp 12942  [,)cico 13300  PsMetcpsmet 21336  ballcbl 21339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-2 12244  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ico 13304  df-psmet 21344  df-bl 21347

This theorem is referenced by:  elbl4  24528  metustbl  24531  psmetutop  24532