Theorem blval2 24450

Description: The ball around a point 𝑃, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blval2	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}))

Proof of Theorem blval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 12961	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		blvalps 24273	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
3	1, 2	syl3an3 1165	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
4		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)
5		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃})
6		nfrab1 3426	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}
7		psmetf 24194	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
8		ffn 6688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
9		elpreima 7030	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
12		opelxp 5674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	baib 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
15	14	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋))
16	15	adantrd 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋))
17		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
18	17	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑋))
19		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
20	19, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
21		df-ov 7390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃𝐷𝑥) = (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩)
22	21	eleq1i 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))
23		0xr 11221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
25	24	rpxrd 12996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
26		elico1 13349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
27	23, 25, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
28		df-3an 1088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ↔ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
29		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31		psmetcl 24195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
32	29, 19, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
33		psmetge0 24200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
34	29, 19, 30, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
35	32, 34	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)))
36	35	biantrurd 532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
37	28, 36	bitr4id 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
38	27, 37	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
39	22, 38	bitr3id 285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
40	20, 39	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
41	40	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
42	16, 18, 41	pm5.21ndd 379	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
43	11, 42	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
44		elimasng 6060	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
45	44	elvd 3453	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
46	45	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
47		rabid 3427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
49	43, 46, 48	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
50	4, 5, 6, 49	eqrd 3966	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
51	3, 50	eqtr4d 2767	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℝ⁺crp 12951  [,)cico 13308  PsMetcpsmet 21248  ballcbl 21251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-2 12249  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ico 13312  df-psmet 21256  df-bl 21259

This theorem is referenced by:  elbl4  24451  metustbl  24454  psmetutop  24455