Theorem blval2 24914

Description: The ball around a point 𝑃, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
blval2	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}))

Proof of Theorem blval2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 13160	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
2		blvalps 24737	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
3	1, 2	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
4		nfv 1949	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)
5		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃})
6		nfrab1 3435	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}
7		psmetf 24658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
8		ffn 6734	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
9		elpreima 7083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
11	10	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))))
12		opelxp 5692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	baib 545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
15	14	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋))
16	15	adantrd 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋))
17		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
18	17	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑋))
19		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
20	19, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
21		df-ov 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃𝐷𝑥) = (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩)
22	21	eleq1i 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅))
23		0xr 11386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
25	24	rpxrd 13195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
26		elico1 13549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
27	23, 25, 26	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
28		df-3an 1105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ↔ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
29		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
31		psmetcl 24659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
32	29, 19, 30, 31	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ*)
33		psmetge0 24664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
34	29, 19, 30, 33	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥))
35	32, 34	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)))
36	35	biantrurd 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥)) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
37	28, 36	bitr4id 293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐷𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑃𝐷𝑥) ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
38	27, 37	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
39	22, 38	bitr3id 288	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
40	20, 39	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
41	40	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ 𝑋 → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))))
42	16, 18, 41	pm5.21ndd 382	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝑃, 𝑥⟩) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
43	11, 42	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
44		elimasng 6100	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
45	44	elvd 3460	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
46	45	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∈ (◡𝐷 “ (0[,)𝑅))))
47		rabid 3436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅))
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅)))
49	43, 46, 48	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
50	4, 5, 6, 49	eqrd 3932	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
51	3, 50	eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = ((◡𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝑃}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   × cxp 5654  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374  ℝ⁺crp 13150  [,)cico 13508  PsMetcpsmet 21695  ballcbl 21698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ico 13512  df-psmet 21703  df-bl 21706

This theorem is used by:  elbl4  24915  metustbl  24918  psmetutop  24919