Theorem elorvc 34079

Description: Elementhood of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orvcval.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
orvcval.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
orvcval.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elorvc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem elorvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orvcval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
2		orvcval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		orvcval.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	orvcval2 34078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = {𝑧 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴})
5	4	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴}))
6		rabid 3449	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴} ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑋 ∧ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))
7	5, 6	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑋 ∧ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴)))
8	7	baibd 539	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  {crab 3429   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  Fun wfun 6542  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ∘_RV/𝑐corvc 34075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-orvc 34076

This theorem is referenced by:  elorrvc  34083