Theorem elorvc 35203

Description: Elementhood of a preimage. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orvcval.1	⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
orvcval.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
orvcval.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
elorvc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑉(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem elorvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orvcval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
2		orvcval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		orvcval.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	orvcval2 35202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) = {𝑧 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴})
5	4	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴}))
6		rabid 3436	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ dom 𝑋 ∣ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴} ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑋 ∧ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))
7	5, 6	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝑋 ∧ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴)))
8	7	baibd 549	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  {crab 3416   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  Fun wfun 6560  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ∘_RV/𝑐corvc 35199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-orvc 35200

This theorem is used by:  elorrvc  35207