Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcval4 33988
Description: The value of the preimage mapping operator can be restricted to preimages in the base set of the topology. Cf. orvcval 33985. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvccel.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
orvccel.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
orvccel.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGenβ€˜π½)))
orvccel.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
orvcval4 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) = (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvcval4
StepHypRef Expression
1 orvccel.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGenβ€˜π½)))
21isanmbfm 33784 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ ran MblFnM)
32mbfmfun 33780 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑋)
4 orvccel.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
5 orvccel.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
65sgsiga 33669 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
74, 6, 1mbfmf 33781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ (sigaGenβ€˜π½))
8 elex 3487 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ V)
9 unisg 33670 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ V β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
105, 8, 93syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
1110feq3d 6697 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ (sigaGenβ€˜π½) ↔ 𝑋:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ 𝐽))
127, 11mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ 𝐽)
1312frnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
14 fimacnvinrn2 7067 . . 3 ((Fun 𝑋 ∧ ran 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (◑𝑋 β€œ ({𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∩ βˆͺ 𝐽)))
153, 13, 14syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (◑𝑋 β€œ ({𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∩ βˆͺ 𝐽)))
16 orvccel.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
173, 1, 16orvcval 33985 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) = (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
18 dfrab2 4305 . . . 4 {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} = ({𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∩ βˆͺ 𝐽)
1918a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} = ({𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∩ βˆͺ 𝐽))
2019imaeq2d 6052 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (◑𝑋 β€œ ({𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∩ βˆͺ 𝐽)))
2115, 17, 203eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) = (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  {crab 3426  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  ran crn 5670   β€œ cima 5672  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Topctop 22745  sigAlgebracsiga 33635  sigaGencsigagen 33665  MblFnMcmbfm 33776  βˆ˜RV/𝑐corvc 33983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821  df-siga 33636  df-sigagen 33666  df-mbfm 33777  df-orvc 33984
This theorem is referenced by:  orvcoel  33989  orvccel  33990  orrvcval4  33992
  Copyright terms: Public domain W3C validator