Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orvcval4 34113
Description: The value of the preimage mapping operator can be restricted to preimages in the base set of the topology. Cf. orvcval 34110. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvccel.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
orvccel.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
orvccel.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGenβ€˜π½)))
orvccel.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
orvcval4 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) = (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,𝐽
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orvcval4
StepHypRef Expression
1 orvccel.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑆MblFnM(sigaGenβ€˜π½)))
21isanmbfm 33909 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ ran MblFnM)
32mbfmfun 33905 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑋)
4 orvccel.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
5 orvccel.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
65sgsiga 33794 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sigaGenβ€˜π½) ∈ βˆͺ ran sigAlgebra)
74, 6, 1mbfmf 33906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ (sigaGenβ€˜π½))
8 elex 3492 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ V)
9 unisg 33795 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ V β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
105, 8, 93syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ (sigaGenβ€˜π½) = βˆͺ 𝐽)
1110feq3d 6714 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ (sigaGenβ€˜π½) ↔ 𝑋:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ 𝐽))
127, 11mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋:βˆͺ π‘†βŸΆβˆͺ 𝐽)
1312frnd 6735 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽)
14 fimacnvinrn2 7087 . . 3 ((Fun 𝑋 ∧ ran 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (◑𝑋 β€œ ({𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∩ βˆͺ 𝐽)))
153, 13, 14syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (◑𝑋 β€œ ({𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∩ βˆͺ 𝐽)))
16 orvccel.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
173, 1, 16orvcval 34110 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) = (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
18 dfrab2 4313 . . . 4 {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} = ({𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∩ βˆͺ 𝐽)
1918a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴} = ({𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∩ βˆͺ 𝐽))
2019imaeq2d 6068 . 2 (πœ‘ β†’ (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}) = (◑𝑋 β€œ ({𝑦 ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∩ βˆͺ 𝐽)))
2115, 17, 203eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) = (◑𝑋 β€œ {𝑦 ∈ βˆͺ 𝐽 ∣ 𝑦𝑅𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2705  {crab 3430  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683   β€œ cima 5685  Fun wfun 6547  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Topctop 22815  sigAlgebracsiga 33760  sigaGencsigagen 33790  MblFnMcmbfm 33901  βˆ˜RV/𝑐corvc 34108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fo 6559  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8853  df-siga 33761  df-sigagen 33791  df-mbfm 33902  df-orvc 34109
This theorem is referenced by:  orvcoel  34114  orvccel  34115  orrvcval4  34117
  Copyright terms: Public domain W3C validator