Theorem elorrvc 34455

Description: Elementhood of a preimage for a real-valued random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
elorrvc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑃(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem elorrvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		orrvccel.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvdm 34437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃)
4	3	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ dom 𝑋 ↔ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃))
5	4	biimprd 248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃 → 𝑧 ∈ dom 𝑋))
6	5	imdistani 568	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋))
7	1, 2	rrvfn 34436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn ∪ dom 𝑃)
8		fnfun 6618	. . . 4 ⊢ (𝑋 Fn ∪ dom 𝑃 → Fun 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
10		orrvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11	9, 2, 10	elorvc 34451	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))
12	6, 11	syl 17	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  Fun wfun 6505   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Probcprb 34398  rRndVarcrrv 34431  ∘_RV/𝑐corvc 34447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ioo 13310  df-topgen 17406  df-top 22781  df-bases 22833  df-esum 34018  df-siga 34099  df-sigagen 34129  df-brsiga 34172  df-meas 34186  df-mbfm 34240  df-prob 34399  df-rrv 34432  df-orvc 34448

This theorem is referenced by: (None)