Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elorrvc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elorrvc 33066
Description: Elementhood of a preimage for a real-valued random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orrvccel.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
elorrvc ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (𝑧 ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (π‘‹β€˜π‘§)𝑅𝐴))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑃(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem elorrvc
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 orrvccel.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
31, 2rrvdm 33049 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑋 = βˆͺ dom 𝑃)
43eleq2d 2824 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ dom 𝑋 ↔ 𝑧 ∈ βˆͺ dom 𝑃))
54biimprd 248 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ dom 𝑃 β†’ 𝑧 ∈ dom 𝑋))
65imdistani 570 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋))
71, 2rrvfn 33048 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 Fn βˆͺ dom 𝑃)
8 fnfun 6603 . . . 4 (𝑋 Fn βˆͺ dom 𝑃 β†’ Fun 𝑋)
97, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑋)
10 orrvccel.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
119, 2, 10elorvc 33062 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (π‘‹β€˜π‘§)𝑅𝐴))
126, 11syl 17 1 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (𝑧 ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (π‘‹β€˜π‘§)𝑅𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Probcprb 33010  rRndVarcrrv 33043  βˆ˜RV/𝑐corvc 33058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-ioo 13269  df-topgen 17326  df-top 22246  df-bases 22299  df-esum 32630  df-siga 32711  df-sigagen 32741  df-brsiga 32784  df-meas 32798  df-mbfm 32852  df-prob 33011  df-rrv 33044  df-orvc 33059
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator