Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elorrvc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elorrvc 34088
Description: Elementhood of a preimage for a real-valued random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
orrvccel.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
elorrvc ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (𝑧 ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (π‘‹β€˜π‘§)𝑅𝐴))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑃(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem elorrvc
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Prob)
2 orrvccel.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (rRndVarβ€˜π‘ƒ))
31, 2rrvdm 34071 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑋 = βˆͺ dom 𝑃)
43eleq2d 2814 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ dom 𝑋 ↔ 𝑧 ∈ βˆͺ dom 𝑃))
54biimprd 247 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ dom 𝑃 β†’ 𝑧 ∈ dom 𝑋))
65imdistani 567 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋))
71, 2rrvfn 34070 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 Fn βˆͺ dom 𝑃)
8 fnfun 6657 . . . 4 (𝑋 Fn βˆͺ dom 𝑃 β†’ Fun 𝑋)
97, 8syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun 𝑋)
10 orrvccel.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
119, 2, 10elorvc 34084 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (π‘‹β€˜π‘§)𝑅𝐴))
126, 11syl 17 1 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ βˆͺ dom 𝑃) β†’ (𝑧 ∈ (π‘‹βˆ˜RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (π‘‹β€˜π‘§)𝑅𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆͺ cuni 4910   class class class wbr 5150  dom cdm 5680  Fun wfun 6545   Fn wfn 6546  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Probcprb 34032  rRndVarcrrv 34065  βˆ˜RV/𝑐corvc 34080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-ioo 13366  df-topgen 17430  df-top 22814  df-bases 22867  df-esum 33652  df-siga 33733  df-sigagen 33763  df-brsiga 33806  df-meas 33820  df-mbfm 33874  df-prob 34033  df-rrv 34066  df-orvc 34081
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator