Theorem elorrvc 34299

Description: Elementhood of a preimage for a real-valued random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
elorrvc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑃(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem elorrvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		orrvccel.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvdm 34282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃)
4	3	eleq2d 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ dom 𝑋 ↔ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃))
5	4	biimprd 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃 → 𝑧 ∈ dom 𝑋))
6	5	imdistani 567	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋))
7	1, 2	rrvfn 34281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn ∪ dom 𝑃)
8		fnfun 6662	. . . 4 ⊢ (𝑋 Fn ∪ dom 𝑃 → Fun 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
10		orrvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11	9, 2, 10	elorvc 34295	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))
12	6, 11	syl 17	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099  ∪ cuni 4915   class class class wbr 5155  dom cdm 5684  Fun wfun 6550   Fn wfn 6551  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  Probcprb 34243  rRndVarcrrv 34276  ∘_RV/𝑐corvc 34291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-ioo 13384  df-topgen 17460  df-top 22890  df-bases 22943  df-esum 33863  df-siga 33944  df-sigagen 33974  df-brsiga 34017  df-meas 34031  df-mbfm 34085  df-prob 34244  df-rrv 34277  df-orvc 34292

This theorem is referenced by: (None)