Theorem elorrvc 34428

Description: Elementhood of a preimage for a real-valued random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
elorrvc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑃(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem elorrvc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		orrvccel.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3	1, 2	rrvdm 34410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = ∪ dom 𝑃)
4	3	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ dom 𝑋 ↔ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃))
5	4	biimprd 248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃 → 𝑧 ∈ dom 𝑋))
6	5	imdistani 568	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋))
7	1, 2	rrvfn 34409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn ∪ dom 𝑃)
8		fnfun 6600	. . . 4 ⊢ (𝑋 Fn ∪ dom 𝑃 → Fun 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
10		orrvccel.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11	9, 2, 10	elorvc 34424	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))
12	6, 11	syl 17	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ∪ dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋‘𝑧)𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  Fun wfun 6493   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Probcprb 34371  rRndVarcrrv 34404  ∘_RV/𝑐corvc 34420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-ioo 13286  df-topgen 17382  df-top 22757  df-bases 22809  df-esum 33991  df-siga 34072  df-sigagen 34102  df-brsiga 34145  df-meas 34159  df-mbfm 34213  df-prob 34372  df-rrv 34405  df-orvc 34421

This theorem is referenced by: (None)