Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elorrvc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elorrvc 31070
Description: Elementhood of a preimage for a real-valued random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
elorrvc ((𝜑𝑧 dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋𝑧)𝑅𝐴))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑃(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem elorrvc
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 orrvccel.2 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
31, 2rrvdm 31053 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑋 = dom 𝑃)
43eleq2d 2891 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ dom 𝑋𝑧 dom 𝑃))
54biimprd 240 . . 3 (𝜑 → (𝑧 dom 𝑃𝑧 ∈ dom 𝑋))
65imdistani 566 . 2 ((𝜑𝑧 dom 𝑃) → (𝜑𝑧 ∈ dom 𝑋))
71, 2rrvfn 31052 . . . 4 (𝜑𝑋 Fn dom 𝑃)
8 fnfun 6220 . . . 4 (𝑋 Fn dom 𝑃 → Fun 𝑋)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑋)
10 orrvccel.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
119, 2, 10elorvc 31066 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ dom 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋𝑧)𝑅𝐴))
126, 11syl 17 1 ((𝜑𝑧 dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋𝑧)𝑅𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2166   cuni 4657   class class class wbr 4872  dom cdm 5341  Fun wfun 6116   Fn wfn 6117  cfv 6122  (class class class)co 6904  Probcprb 31014  rRndVarcrrv 31047  RV/𝑐corvc 31062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-ioo 12466  df-topgen 16456  df-top 21068  df-bases 21120  df-esum 30634  df-siga 30715  df-sigagen 30746  df-brsiga 30789  df-meas 30803  df-mbfm 30857  df-prob 31015  df-rrv 31048  df-orvc 31063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator