Theorem elpreimad 7058

Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpreimad.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
elpreimad.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
elpreimad.c	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
elpreimad	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶))

Proof of Theorem elpreimad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreimad.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
2		elpreimad.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
3		elpreimad.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		elpreima 7057	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
6	1, 2, 5	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548

This theorem is used by:  fpwwe2lem8  10638  rhmpreimaidl  21466  rhmpreimaprmidl  21529  evlslem3  22281  elrgspnsubrunlem2  33632  ply1degltel  33948  ply1degleel  33949  ply1degltlss  33950  exsslsb  34051  ply1degltdimlem  34076  ply1degltdim  34077  dimkerim  34081  lvecendof1f1o  34087  zndvdchrrhm  42798  smfsuplem1  47583