Theorem elpreimad 7090

Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpreimad.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
elpreimad.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
elpreimad.c	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
elpreimad	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶))

Proof of Theorem elpreimad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreimad.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
2		elpreimad.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
3		elpreimad.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		elpreima 7088	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
6	1, 2, 5	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-fv 6574

This theorem is used by:  fpwwe2lem8  10762  rhmpreimaidl  21622  rhmpreimaprmidl  21686  evlslem3  22444  elrgspnsubrunlem2  33908  ply1degltel  34229  ply1degleel  34230  ply1degltlss  34231  exsslsb  34340  ply1degltdimlem  34365  ply1degltdim  34366  dimkerim  34370  lvecendof1f1o  34376  zndvdchrrhm  43289  smfsuplem1  48094