Theorem elpreimad 7052

Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpreimad.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
elpreimad.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
elpreimad.c	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
elpreimad	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶))

Proof of Theorem elpreimad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreimad.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
2		elpreimad.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
3		elpreimad.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		elpreima 7051	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
6	1, 2, 5	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   Fn wfn 6529  ‘cfv 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-fv 6542

This theorem is referenced by:  fpwwe2lem8  10619  rhmpreimaidl  21383  rhmpreimaprmidl  21444  evlslem3  22196  elrgspnsubrunlem2  33505  ply1degltel  33825  ply1degleel  33826  ply1degltlss  33827  exsslsb  33928  ply1degltdimlem  33953  ply1degltdim  33954  dimkerim  33958  lvecendof1f1o  33964  zndvdchrrhm  42625  smfsuplem1  47412