Theorem elpreimad 7031

Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpreimad.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
elpreimad.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
elpreimad.c	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
elpreimad	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶))

Proof of Theorem elpreimad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreimad.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
2		elpreimad.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
3		elpreimad.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
4		elpreima 7030	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
6	1, 2, 5	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  fpwwe2lem8  10591  rhmpreimaidl  21187  evlslem3  21987  elrgspnsubrunlem2  33199  rhmpreimaprmidl  33422  ply1degltel  33560  ply1degleel  33561  ply1degltlss  33562  exsslsb  33592  ply1degltdimlem  33618  ply1degltdim  33619  dimkerim  33623  lvecendof1f1o  33629  zndvdchrrhm  41960  smfsuplem1  46809