Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmpreimaidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpreimaidl 31014
 Description: The preimage of an ideal by a ring homomorphism is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
rhmpreimaidl.i 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
rhmpreimaidl ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝐽) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rhmpreimaidl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5920 . . . 4 (𝐹𝐽) ⊆ dom 𝐹
2 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
42, 3rhmf 19477 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
51, 4fssdm 6508 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
65adantr 484 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
74adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
87ffund 6495 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → Fun 𝐹)
9 rhmrcl1 19470 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
109adantr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
11 eqid 2801 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
122, 11ring0cl 19318 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
147fdmd 6501 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → dom 𝐹 = (Base‘𝑅))
1513, 14eleqtrrd 2896 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (0g𝑅) ∈ dom 𝐹)
16 rhmghm 19476 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
17 ghmmhm 18363 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
18 eqid 2801 . . . . . . . 8 (0g𝑆) = (0g𝑆)
1911, 18mhm0 17959 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
2016, 17, 193syl 18 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
2120adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
22 rhmrcl2 19471 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
23 eqid 2801 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑆) = (LIdeal‘𝑆)
2423, 18lidl0cl 19981 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (0g𝑆) ∈ 𝐽)
2522, 24sylan 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (0g𝑆) ∈ 𝐽)
2621, 25eqeltrd 2893 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹‘(0g𝑅)) ∈ 𝐽)
27 fvimacnv 6804 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ (0g𝑅) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘(0g𝑅)) ∈ 𝐽 ↔ (0g𝑅) ∈ (𝐹𝐽)))
2827biimpa 480 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ (0g𝑅) ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐹‘(0g𝑅)) ∈ 𝐽) → (0g𝑅) ∈ (𝐹𝐽))
298, 15, 26, 28syl21anc 836 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (0g𝑅) ∈ (𝐹𝐽))
3029ne0d 4254 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝐽) ≠ ∅)
317ffnd 6492 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
3231ad3antrrr 729 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
3310ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
34 simpllr 775 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
355ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
3635sselda 3918 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
3736adantr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
392, 38ringcl 19310 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
4033, 34, 37, 39syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
4135adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
4241sselda 3918 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))
43 eqid 2801 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
442, 43ringacl 19327 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
4533, 40, 42, 44syl3anc 1368 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
4616ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
47 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (+g𝑆) = (+g𝑆)
482, 43, 47ghmlin 18358 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎))(+g𝑆)(𝐹𝑏)))
4946, 40, 42, 48syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹‘((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎))(+g𝑆)(𝐹𝑏)))
50 simp-4l 782 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
5150, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑆 ∈ Ring)
52 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆))
5352ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆))
54 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑆) = (.r𝑆)
552, 38, 54rhmmul 19478 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎)) = ((𝐹𝑥)(.r𝑆)(𝐹𝑎)))
5650, 34, 37, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎)) = ((𝐹𝑥)(.r𝑆)(𝐹𝑎)))
577ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
59 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑎 ∈ (𝐹𝐽))
60 elpreima 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑎 ∈ (𝐹𝐽) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)))
6160simplbda 503 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
6232, 59, 61syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
6323, 3, 54lidlmcl 19986 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)) → ((𝐹𝑥)(.r𝑆)(𝐹𝑎)) ∈ 𝐽)
6451, 53, 58, 62, 63syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → ((𝐹𝑥)(.r𝑆)(𝐹𝑎)) ∈ 𝐽)
6556, 64eqeltrd 2893 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎)) ∈ 𝐽)
66 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑏 ∈ (𝐹𝐽))
67 elpreima 6809 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑏 ∈ (𝐹𝐽) ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝐽)))
6867simplbda 503 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐽)
6932, 66, 68syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐽)
7023, 47lidlacl 19982 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝐽)) → ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎))(+g𝑆)(𝐹𝑏)) ∈ 𝐽)
7151, 53, 65, 69, 70syl22anc 837 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎))(+g𝑆)(𝐹𝑏)) ∈ 𝐽)
7249, 71eqeltrd 2893 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹‘((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏)) ∈ 𝐽)
7332, 45, 72elpreimad 6810 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (𝐹𝐽))
7473anasss 470 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑎 ∈ (𝐹𝐽) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽))) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (𝐹𝐽))
7574ralrimivva 3159 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑎 ∈ (𝐹𝐽)∀𝑏 ∈ (𝐹𝐽)((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (𝐹𝐽))
7675ralrimiva 3152 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ (𝐹𝐽)∀𝑏 ∈ (𝐹𝐽)((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (𝐹𝐽))
77 rhmpreimaidl.i . . 3 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
7877, 2, 43, 38islidl 19980 . 2 ((𝐹𝐽) ∈ 𝐼 ↔ ((𝐹𝐽) ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝐽) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ (𝐹𝐽)∀𝑏 ∈ (𝐹𝐽)((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (𝐹𝐽)))
796, 30, 76, 78syl3anbrc 1340 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝐽) ∈ 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523   “ cima 5526  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  0gc0g 16708   MndHom cmhm 17949   GrpHom cghm 18350  Ringcrg 19293   RingHom crh 19463  LIdealclidl 19938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-rnghom 19466  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942 This theorem is referenced by:  kerlidl  31015  rhmpreimaprmidl  31035
 Copyright terms: Public domain W3C validator