Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmpreimaidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpreimaidl 31014
Description: The preimage of an ideal by a ring homomorphism is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
rhmpreimaidl.i 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
rhmpreimaidl ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝐽) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rhmpreimaidl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5920 . . . 4 (𝐹𝐽) ⊆ dom 𝐹
2 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
42, 3rhmf 19477 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
51, 4fssdm 6508 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
65adantr 484 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
74adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
87ffund 6495 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → Fun 𝐹)
9 rhmrcl1 19470 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
109adantr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
11 eqid 2801 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
122, 11ring0cl 19318 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
147fdmd 6501 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → dom 𝐹 = (Base‘𝑅))
1513, 14eleqtrrd 2896 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (0g𝑅) ∈ dom 𝐹)
16 rhmghm 19476 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
17 ghmmhm 18363 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆))
18 eqid 2801 . . . . . . . 8 (0g𝑆) = (0g𝑆)
1911, 18mhm0 17959 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 MndHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
2016, 17, 193syl 18 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
2120adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹‘(0g𝑅)) = (0g𝑆))
22 rhmrcl2 19471 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
23 eqid 2801 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑆) = (LIdeal‘𝑆)
2423, 18lidl0cl 19981 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (0g𝑆) ∈ 𝐽)
2522, 24sylan 583 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (0g𝑆) ∈ 𝐽)
2621, 25eqeltrd 2893 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹‘(0g𝑅)) ∈ 𝐽)
27 fvimacnv 6804 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ (0g𝑅) ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘(0g𝑅)) ∈ 𝐽 ↔ (0g𝑅) ∈ (𝐹𝐽)))
2827biimpa 480 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ (0g𝑅) ∈ dom 𝐹) ∧ (𝐹‘(0g𝑅)) ∈ 𝐽) → (0g𝑅) ∈ (𝐹𝐽))
298, 15, 26, 28syl21anc 836 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (0g𝑅) ∈ (𝐹𝐽))
3029ne0d 4254 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝐽) ≠ ∅)
317ffnd 6492 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
3231ad3antrrr 729 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
3310ad3antrrr 729 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
34 simpllr 775 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
355ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
3635sselda 3918 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
3736adantr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
392, 38ringcl 19310 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
4033, 34, 37, 39syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ (Base‘𝑅))
4135adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
4241sselda 3918 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅))
43 eqid 2801 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
442, 43ringacl 19327 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
4533, 40, 42, 44syl3anc 1368 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝑅))
4616ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
47 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (+g𝑆) = (+g𝑆)
482, 43, 47ghmlin 18358 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎))(+g𝑆)(𝐹𝑏)))
4946, 40, 42, 48syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹‘((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏)) = ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎))(+g𝑆)(𝐹𝑏)))
50 simp-4l 782 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
5150, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑆 ∈ Ring)
52 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆))
5352ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆))
54 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑆) = (.r𝑆)
552, 38, 54rhmmul 19478 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎)) = ((𝐹𝑥)(.r𝑆)(𝐹𝑎)))
5650, 34, 37, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎)) = ((𝐹𝑥)(.r𝑆)(𝐹𝑎)))
577ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑆))
59 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑎 ∈ (𝐹𝐽))
60 elpreima 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑎 ∈ (𝐹𝐽) ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)))
6160simplbda 503 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
6232, 59, 61syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
6323, 3, 54lidlmcl 19986 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)) → ((𝐹𝑥)(.r𝑆)(𝐹𝑎)) ∈ 𝐽)
6451, 53, 58, 62, 63syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → ((𝐹𝑥)(.r𝑆)(𝐹𝑎)) ∈ 𝐽)
6556, 64eqeltrd 2893 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎)) ∈ 𝐽)
66 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → 𝑏 ∈ (𝐹𝐽))
67 elpreima 6809 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑏 ∈ (𝐹𝐽) ↔ (𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝐽)))
6867simplbda 503 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐽)
6932, 66, 68syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐽)
7023, 47lidlacl 19982 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎)) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝐽)) → ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎))(+g𝑆)(𝐹𝑏)) ∈ 𝐽)
7151, 53, 65, 69, 70syl22anc 837 . . . . . . 7 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑎))(+g𝑆)(𝐹𝑏)) ∈ 𝐽)
7249, 71eqeltrd 2893 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → (𝐹‘((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏)) ∈ 𝐽)
7332, 45, 72elpreimad 6810 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐹𝐽)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (𝐹𝐽))
7473anasss 470 . . . 4 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑎 ∈ (𝐹𝐽) ∧ 𝑏 ∈ (𝐹𝐽))) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (𝐹𝐽))
7574ralrimivva 3159 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑎 ∈ (𝐹𝐽)∀𝑏 ∈ (𝐹𝐽)((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (𝐹𝐽))
7675ralrimiva 3152 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ (𝐹𝐽)∀𝑏 ∈ (𝐹𝐽)((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (𝐹𝐽))
77 rhmpreimaidl.i . . 3 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
7877, 2, 43, 38islidl 19980 . 2 ((𝐹𝐽) ∈ 𝐼 ↔ ((𝐹𝐽) ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹𝐽) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ (𝐹𝐽)∀𝑏 ∈ (𝐹𝐽)((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ (𝐹𝐽)))
796, 30, 76, 78syl3anbrc 1340 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐽 ∈ (LIdeal‘𝑆)) → (𝐹𝐽) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wss 3884  c0 4246  ccnv 5522  dom cdm 5523  cima 5526  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  0gc0g 16708   MndHom cmhm 17949   GrpHom cghm 18350  Ringcrg 19293   RingHom crh 19463  LIdealclidl 19938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-rnghom 19466  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942
This theorem is referenced by:  kerlidl  31015  rhmpreimaprmidl  31035
  Copyright terms: Public domain W3C validator