Theorem ply1degltel 33197

Description: Characterize elementhood in the set 𝑆 of polynomials of degree less than 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltlss.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltlss.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
ply1degltlss.1	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltlss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1degltel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltel	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem ply1degltel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 = (0g‘𝑃))
2		ply1degltlss.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3		ply1degltlss.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1degltel.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	2, 3, 4	deg1xrf 26004	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶ℝ*)
7	6	ffnd 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn 𝐵)
8		ply1degltlss.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	3	ply1ring 22153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
11	4, 10	ring0cl 20192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
13	2, 3, 10	deg1z 26010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
15		mnfxr 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
17		ply1degltlss.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
20	16	xrleidd 13155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ -∞)
21	18	mnfltd 13128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑁)
22	16, 19, 16, 20, 21	elicod 13398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
23	14, 22	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) ∈ (-∞[,)𝑁))
24	7, 12, 23	elpreimad 7062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
25		ply1degltlss.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
26	24, 25	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
28	1, 27	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑆)
29		cnvimass 6079	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ⊆ dom 𝐷
30	25, 29	eqsstri 4012	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ dom 𝐷
31	5	fdmi 6728	. . . . 5 ⊢ dom 𝐷 = 𝐵
32	30, 31	sseqtri 4014	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐵
33	32, 28	sselid 3976	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
34	1	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(0g‘𝑃)))
35	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
36	34, 35	eqtrd 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) = -∞)
37		1red 11237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
38	18, 37	resubcld 11664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
41	40	mnfled 13139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → -∞ ≤ (𝑁 − 1))
42	36, 41	eqbrtrd 5164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))
43		pm5.1 823	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
44	28, 33, 42, 43	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
45	25	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
46	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 Fn 𝐵)
47		elpreima 7061	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Fn 𝐵 → (𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
48	46, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
49	45, 48	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
50	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
51	19	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℝ*)
52		elico1 13391	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
53	50, 51, 52	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
54		df-3an 1087	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁) ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁))
55	53, 54	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
56	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
57		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
58		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
59	2, 3, 10, 4	deg1nn0cl 26011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
61	60	nn0red 12555	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
63	62	mnfled 13139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → -∞ ≤ (𝐷‘𝐹))
64	62, 63	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)))
65	64	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 𝑁 ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
66	60	nn0zd 12606	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℤ)
67	17	nn0zd 12606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
68	67	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
69		zltlem1 12637	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐷‘𝐹) < 𝑁 ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
70	66, 68, 69	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 𝑁 ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
71	55, 65, 70	3bitr2d 307	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
72	71	pm5.32da 578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
73	49, 72	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
74	44, 73	pm2.61dane 3024	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5671  dom cdm 5672   “ cima 5675   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131  -∞cmnf 11268  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12580  [,)cico 13350  Basecbs 17171  0_gc0g 17412  Ringcrg 20164  Poly₁cpl1 22083   deg₁ cdg1 25974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-cnfld 21267  df-psr 21829  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-psr1 22086  df-ply1 22088  df-mdeg 25975  df-deg1 25976

This theorem is referenced by:  ply1degltlss  33199  algextdeglem8  33328