Theorem ply1degltel 33616

Description: Characterize elementhood in the set 𝑆 of polynomials of degree less than 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltlss.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltlss.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltlss.1	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltlss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1degltel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltel	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem ply1degltel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 = (0g‘𝑃))
2		ply1degltlss.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1degltlss.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1degltel.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	2, 3, 4	deg1xrf 26121	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶ℝ*)
7	6	ffnd 6736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn 𝐵)
8		ply1degltlss.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	3	ply1ring 22250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
11	4, 10	ring0cl 20265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
13	2, 3, 10	deg1z 26127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
15		mnfxr 11319	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
17		ply1degltlss.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
20	16	xrleidd 13195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ -∞)
21	18	mnfltd 13167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑁)
22	16, 19, 16, 20, 21	elicod 13438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
23	14, 22	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) ∈ (-∞[,)𝑁))
24	7, 12, 23	elpreimad 7078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
25		ply1degltlss.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
26	24, 25	eleqtrrdi 2851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
28	1, 27	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑆)
29		cnvimass 6099	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ⊆ dom 𝐷
30	25, 29	eqsstri 4029	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ dom 𝐷
31	5	fdmi 6746	. . . . 5 ⊢ dom 𝐷 = 𝐵
32	30, 31	sseqtri 4031	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐵
33	32, 28	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
34	1	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(0g‘𝑃)))
35	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
36	34, 35	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) = -∞)
37		1red 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
38	18, 37	resubcld 11692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 11312	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
41	40	mnfled 13179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → -∞ ≤ (𝑁 − 1))
42	36, 41	eqbrtrd 5164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))
43		pm5.1 823	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
44	28, 33, 42, 43	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
45	25	eleq2i 2832	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
46	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 Fn 𝐵)
47		elpreima 7077	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Fn 𝐵 → (𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
48	46, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
49	45, 48	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
50	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
51	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℝ*)
52		elico1 13431	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
53	50, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
54		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁) ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁))
55	53, 54	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
56	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
57		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
58		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
59	2, 3, 10, 4	deg1nn0cl 26128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
61	60	nn0red 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11312	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
63	62	mnfled 13179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → -∞ ≤ (𝐷‘𝐹))
64	62, 63	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)))
65	64	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 𝑁 ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
66	60	nn0zd 12641	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℤ)
67	17	nn0zd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
68	67	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
69		zltlem1 12672	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐷‘𝐹) < 𝑁 ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
70	66, 68, 69	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 𝑁 ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
71	55, 65, 70	3bitr2d 307	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
72	71	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
73	49, 72	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
74	44, 73	pm2.61dane 3028	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5683  dom cdm 5684   “ cima 5687   Fn wfn 6555  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157  -∞cmnf 11294  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  [,)cico 13390  Basecbs 17248  0_gc0g 17485  Ringcrg 20231  Poly₁cpl1 22179  deg₁cdg1 26094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-ico 13394  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-cnfld 21366  df-psr 21930  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-ply1 22184  df-mdeg 26095  df-deg1 26096

This theorem is referenced by:  ply1degltlss  33618  algextdeglem8  33766