Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1degltel Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ply1degltel 32654
Description: Characterize elementhood to the set 𝑆 of polynomials of degree less than 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1degltlss.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1degltlss.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ply1degltlss.1 𝑆 = (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
ply1degltlss.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
ply1degltel.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
ply1degltel (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
Proof of Theorem ply1degltel
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ))
2 ply1degltlss.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
3 ply1degltlss.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 ply1degltel.1 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
52, 3, 4deg1xrf 25590 . . . . . . . . 9 𝐷:π΅βŸΆβ„*
65a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷:π΅βŸΆβ„*)
76ffnd 6715 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn 𝐡)
8 ply1degltlss.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
93ply1ring 21761 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
10 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
114, 10ring0cl 20077 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
128, 9, 113syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
132, 3, 10deg1z 25596 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
148, 13syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
15 mnfxr 11267 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
17 ply1degltlss.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1817nn0red 12529 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1918rexrd 11260 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
2016xrleidd 13127 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ ≀ -∞)
2118mnfltd 13100 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑁)
2216, 19, 16, 20, 21elicod 13370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
2314, 22eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ (-∞[,)𝑁))
247, 12, 23elpreimad 7057 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)))
25 ply1degltlss.1 . . . . . 6 𝑆 = (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁))
2624, 25eleqtrrdi 2844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑆)
2726adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑆)
281, 27eqeltrd 2833 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
29 cnvimass 6077 . . . . . 6 (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)) βŠ† dom 𝐷
3025, 29eqsstri 4015 . . . . 5 𝑆 βŠ† dom 𝐷
315fdmi 6726 . . . . 5 dom 𝐷 = 𝐡
3230, 31sseqtri 4017 . . . 4 𝑆 βŠ† 𝐡
3332, 28sselid 3979 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
341fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜πΉ) = (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)))
3514adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
3634, 35eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜πΉ) = -∞)
37 1red 11211 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
3818, 37resubcld 11638 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3938rexrd 11260 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
4039adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
4140mnfled 13111 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ -∞ ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
4236, 41eqbrtrd 5169 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
43 pm5.1 822 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
4428, 33, 42, 43syl12anc 835 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
4525eleq2i 2825 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)))
467adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐷 Fn 𝐡)
47 elpreima 7056 . . . . 5 (𝐷 Fn 𝐡 β†’ (𝐹 ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁))))
4846, 47syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁))))
4945, 48bitrid 282 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁))))
5015a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
5119ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
52 elico1 13363 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
5350, 51, 52syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
54 df-3an 1089 . . . . . 6 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁) ↔ (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ)) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁))
5553, 54bitrdi 286 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ)) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
568ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
57 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
58 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
592, 3, 10, 4deg1nn0cl 25597 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
6056, 57, 58, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
6160nn0red 12529 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6261rexrd 11260 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
6362mnfled 13111 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ))
6462, 63jca 512 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ)))
6564biantrurd 533 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) < 𝑁 ↔ (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ)) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
6660nn0zd 12580 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„€)
6717nn0zd 12580 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6867ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
69 zltlem1 12611 . . . . . 6 (((π·β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((π·β€˜πΉ) < 𝑁 ↔ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
7066, 68, 69syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) < 𝑁 ↔ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
7155, 65, 703bitr2d 306 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1)))
7271pm5.32da 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7349, 72bitrd 278 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
7444, 73pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ≀ (𝑁 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  [,)cico 13322  Basecbs 17140  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  Poly1cpl1 21692   deg1 cdg1 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-cnfld 20937  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-ply1 21697  df-mdeg 25561  df-deg1 25562
This theorem is referenced by:  ply1degltlss  32655
  Copyright terms: Public domain W3C validator