Theorem ply1degltel 33553

Description: Characterize elementhood in the set 𝑆 of polynomials of degree less than 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltlss.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltlss.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltlss.1	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltlss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1degltel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltel	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem ply1degltel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 = (0g‘𝑃))
2		ply1degltlss.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1degltlss.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1degltel.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	2, 3, 4	deg1xrf 26019	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶ℝ*)
7	6	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn 𝐵)
8		ply1degltlss.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	3	ply1ring 22165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
11	4, 10	ring0cl 20187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
13	2, 3, 10	deg1z 26025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
15		mnfxr 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
17		ply1degltlss.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
20	16	xrleidd 13088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ -∞)
21	18	mnfltd 13060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑁)
22	16, 19, 16, 20, 21	elicod 13332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
23	14, 22	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) ∈ (-∞[,)𝑁))
24	7, 12, 23	elpreimad 7013	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
25		ply1degltlss.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
26	24, 25	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
28	1, 27	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑆)
29		cnvimass 6042	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ⊆ dom 𝐷
30	25, 29	eqsstri 3990	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ dom 𝐷
31	5	fdmi 6681	. . . . 5 ⊢ dom 𝐷 = 𝐵
32	30, 31	sseqtri 3992	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐵
33	32, 28	sselid 3941	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
34	1	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(0g‘𝑃)))
35	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
36	34, 35	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) = -∞)
37		1red 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
38	18, 37	resubcld 11582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 11200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ*)
41	40	mnfled 13072	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → -∞ ≤ (𝑁 − 1))
42	36, 41	eqbrtrd 5124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))
43		pm5.1 823	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
44	28, 33, 42, 43	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
45	25	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
46	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 Fn 𝐵)
47		elpreima 7012	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Fn 𝐵 → (𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
48	46, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
49	45, 48	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
50	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
51	19	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℝ*)
52		elico1 13325	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
53	50, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
54		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁) ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁))
55	53, 54	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
56	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
57		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
58		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
59	2, 3, 10, 4	deg1nn0cl 26026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
60	56, 57, 58, 59	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
61	60	nn0red 12480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
63	62	mnfled 13072	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → -∞ ≤ (𝐷‘𝐹))
64	62, 63	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)))
65	64	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 𝑁 ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
66	60	nn0zd 12531	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℤ)
67	17	nn0zd 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
68	67	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
69		zltlem1 12562	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐷‘𝐹) < 𝑁 ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
70	66, 68, 69	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) < 𝑁 ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
71	55, 65, 70	3bitr2d 307	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1)))
72	71	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
73	49, 72	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))
74	44, 73	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ≤ (𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11045  -∞cmnf 11182  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  [,)cico 13284  Basecbs 17155  0_gc0g 17378  Ringcrg 20153  Poly₁cpl1 22094  deg₁cdg1 25992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-cnfld 21297  df-psr 21851  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-ply1 22099  df-mdeg 25993  df-deg1 25994

This theorem is referenced by:  ply1degltlss  33555  algextdeglem8  33707