Theorem ply1degltdim 33619

Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 has dimension 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltdim.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltdim.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltdim.s	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltdim.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltdim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ply1degltdim.e	⊢ 𝐸 = (𝑃 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = 𝑁)

Proof of Theorem ply1degltdim

Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1degltdim.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1degltdim.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
3	1, 2	ply1lvec 33528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LVec)
4		ply1degltdim.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		ply1degltdim.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
6		ply1degltdim.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	2	drngringd 20646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 4, 5, 6, 7	ply1degltlss 33562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))
9		ply1degltdim.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑃 ↾s 𝑆)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
11	9, 10	lsslvec 21016	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃)) → 𝐸 ∈ LVec)
12	3, 8, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
13		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
14	13	cbvmptv 5211	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
15	1, 4, 5, 6, 2, 9, 14	ply1degltdimlem 33618	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸))
16		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	4, 1, 16	deg1xrf 25986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
18		ffn 6688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
20		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
21	20, 16	mgpbas 20054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
22		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23	1	ply1ring 22132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
24	20	ringmgp 20148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
25	7, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
27		elfzonn0 13668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
30	29, 1, 16	vr1cl 22102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
31	7, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
33	21, 22, 26, 28, 32	mulgnn0cld 19027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
34		mnfxr 11231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → -∞ ∈ ℝ*)
36	6	nn0red 12504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
39	4, 1, 16	deg1xrcl 25987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
40	33, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
41	40	mnfled 13096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → -∞ ≤ (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
42	27	nn0red 12504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ*)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
45	4, 1, 29, 20, 22	deg1pwle 26025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ 𝑛)
46	7, 27, 45	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ 𝑛)
47		elfzolt2 13629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 < 𝑁)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 < 𝑁)
49	40, 44, 38, 46, 48	xrlelttrd 13120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) < 𝑁)
50	35, 38, 40, 41, 49	elicod 13356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (-∞[,)𝑁))
51	19, 33, 50	elpreimad 7031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
52	51, 5	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ 𝑆)
53	16, 10	lssss 20842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃))
54	9, 16	ressbas2 17208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑃) → 𝑆 = (Base‘𝐸))
55	8, 53, 54	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐸))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 = (Base‘𝐸))
57	52, 56	eleqtrd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸))
58	57, 14	fmptd 7086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐸))
59	58	ffnd 6689	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) Fn (0..^𝑁))
60		hashfn 14340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) Fn (0..^𝑁) → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘(0..^𝑁)))
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘(0..^𝑁)))
62		ovexd 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
63	57	ralrimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸))
64		drngnzr 20657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
65	2, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
66	65	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ NzRing)
67	28	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
68		elfzonn0 13668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
70	1, 29, 22, 66, 67, 69	ply1moneq 33555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ↔ 𝑛 = 𝑖))
71	70	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
72	71	anasss 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
73	72	ralrimivva 3180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
74		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
75	14, 74	f1mpt 7236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸) ↔ (∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖)))
76	63, 73, 75	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸))
77		hashf1rn 14317	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸)) → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
78	62, 76, 77	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
79		hashfzo0 14395	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
80	6, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
81	61, 78, 80	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁)
82		hashvnfin 14325	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin))
83	82	imp 406	. . . 4 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁) → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin)
84	15, 6, 81, 83	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin)
85		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
86	85	dimvalfi 33597	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin) → (dim‘𝐸) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
87	12, 15, 84, 86	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
88	87, 81	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637  ran crn 5639   “ cima 5641   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  0cc0 11068  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕ₀cn0 12442  [,)cico 13308  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Mndcmnd 18661  ._gcmg 18999  mulGrpcmgp 20049  Ringcrg 20142  NzRingcnzr 20421  DivRingcdr 20638  LSubSpclss 20837  LBasisclbs 20981  LVecclvec 21009  var₁cv1 22060  Poly₁cpl1 22061  deg₁cdg1 25959  dimcldim 33594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-mri 17549  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-nzr 20422  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lmhm 20929  df-lbs 20982  df-lvec 21010  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-cnfld 21265  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-uvc 21692  df-lindf 21715  df-linds 21716  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-dim 33595

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33714