Theorem ply1degltdim 33609

Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 has dimension 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltdim.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltdim.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltdim.s	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltdim.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltdim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ply1degltdim.e	⊢ 𝐸 = (𝑃 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = 𝑁)

Proof of Theorem ply1degltdim

Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1degltdim.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1degltdim.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
3	1, 2	ply1lvec 33518	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LVec)
4		ply1degltdim.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		ply1degltdim.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
6		ply1degltdim.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	2	drngringd 20695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 4, 5, 6, 7	ply1degltlss 33552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))
9		ply1degltdim.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑃 ↾s 𝑆)
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
11	9, 10	lsslvec 21065	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃)) → 𝐸 ∈ LVec)
12	3, 8, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
13		oveq1 7410	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
14	13	cbvmptv 5225	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
15	1, 4, 5, 6, 2, 9, 14	ply1degltdimlem 33608	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸))
16		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	4, 1, 16	deg1xrf 26036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
18		ffn 6705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
20		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
21	20, 16	mgpbas 20103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
22		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23	1	ply1ring 22181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
24	20	ringmgp 20197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
25	7, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
27		elfzonn0 13722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
30	29, 1, 16	vr1cl 22151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
31	7, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
33	21, 22, 26, 28, 32	mulgnn0cld 19076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
34		mnfxr 11290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → -∞ ∈ ℝ*)
36	6	nn0red 12561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
39	4, 1, 16	deg1xrcl 26037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
40	33, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
41	40	mnfled 13150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → -∞ ≤ (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
42	27	nn0red 12561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 11283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ*)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
45	4, 1, 29, 20, 22	deg1pwle 26075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ 𝑛)
46	7, 27, 45	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ 𝑛)
47		elfzolt2 13683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 < 𝑁)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 < 𝑁)
49	40, 44, 38, 46, 48	xrlelttrd 13174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) < 𝑁)
50	35, 38, 40, 41, 49	elicod 13410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (-∞[,)𝑁))
51	19, 33, 50	elpreimad 7048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
52	51, 5	eleqtrrdi 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ 𝑆)
53	16, 10	lssss 20891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃))
54	9, 16	ressbas2 17257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑃) → 𝑆 = (Base‘𝐸))
55	8, 53, 54	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐸))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 = (Base‘𝐸))
57	52, 56	eleqtrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸))
58	57, 14	fmptd 7103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐸))
59	58	ffnd 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) Fn (0..^𝑁))
60		hashfn 14391	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) Fn (0..^𝑁) → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘(0..^𝑁)))
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘(0..^𝑁)))
62		ovexd 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
63	57	ralrimiva 3132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸))
64		drngnzr 20706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
65	2, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
66	65	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ NzRing)
67	28	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
68		elfzonn0 13722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
70	1, 29, 22, 66, 67, 69	ply1moneq 33545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ↔ 𝑛 = 𝑖))
71	70	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
72	71	anasss 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
73	72	ralrimivva 3187	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
74		oveq1 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
75	14, 74	f1mpt 7253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸) ↔ (∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖)))
76	63, 73, 75	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸))
77		hashf1rn 14368	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸)) → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
78	62, 76, 77	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
79		hashfzo0 14446	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
80	6, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
81	61, 78, 80	3eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁)
82		hashvnfin 14376	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin))
83	82	imp 406	. . . 4 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁) → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin)
84	15, 6, 81, 83	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin)
85		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
86	85	dimvalfi 33587	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin) → (dim‘𝐸) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
87	12, 15, 84, 86	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
88	87, 81	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653  ran crn 5655   “ cima 5657   Fn wfn 6525  ⟶wf 6526  –1-1→wf1 6527  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Fincfn 8957  0cc0 11127  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12499  [,)cico 13362  ..^cfzo 13669  ♯chash 14346  Basecbs 17226   ↾_s cress 17249  Mndcmnd 18710  ._gcmg 19048  mulGrpcmgp 20098  Ringcrg 20191  NzRingcnzr 20470  DivRingcdr 20687  LSubSpclss 20886  LBasisclbs 21030  LVecclvec 21058  var₁cv1 22109  Poly₁cpl1 22110  deg₁cdg1 26009  dimcldim 33584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-ico 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-hash 14347  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-mri 17598  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mulg 19049  df-subg 19104  df-ghm 19194  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-srg 20145  df-ring 20193  df-cring 20194  df-oppr 20295  df-dvdsr 20315  df-unit 20316  df-invr 20346  df-nzr 20471  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-drng 20689  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lmhm 20978  df-lbs 21031  df-lvec 21059  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-cnfld 21314  df-dsmm 21690  df-frlm 21705  df-uvc 21741  df-lindf 21764  df-linds 21765  df-psr 21867  df-mvr 21868  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22113  df-vr1 22114  df-ply1 22115  df-coe1 22116  df-mdeg 26010  df-deg1 26011  df-dim 33585

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33704