Theorem ply1degltdim 34079

Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 has dimension 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltdim.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltdim.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltdim.s	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltdim.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltdim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ply1degltdim.e	⊢ 𝐸 = (𝑃 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = 𝑁)

Proof of Theorem ply1degltdim

Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1degltdim.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1degltdim.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
3	1, 2	ply1lvec 33915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LVec)
4		ply1degltdim.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		ply1degltdim.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
6		ply1degltdim.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	2	drngringd 20887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 4, 5, 6, 7	ply1degltlss 33952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))
9		ply1degltdim.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑃 ↾s 𝑆)
10		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
11	9, 10	lsslvec 21282	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃)) → 𝐸 ∈ LVec)
12	3, 8, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
13		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
14	13	cbvmptv 5217	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
15	1, 4, 5, 6, 2, 9, 14	ply1degltdimlem 34078	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸))
16		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	4, 1, 16	deg1xrf 26291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
18		ffn 6709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
19	17, 18	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
20		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
21	20, 16	mgpbas 20267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
22		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23	1	ply1ring 22459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
24	20	ringmgp 20367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
25	7, 23, 24	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
27		elfzonn0 13755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
30	29, 1, 16	vr1cl 22429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
31	7, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
33	21, 22, 26, 28, 32	mulgnn0cld 19207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
34		mnfxr 11283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → -∞ ∈ ℝ*)
36	6	nn0red 12583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
39	4, 1, 16	deg1xrcl 26292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
40	33, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
41	40	mnfled 13179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → -∞ ≤ (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
42	27	nn0red 12583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ*)
44	43	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
45	4, 1, 29, 20, 22	deg1pwle 26330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ 𝑛)
46	7, 27, 45	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ 𝑛)
47		elfzolt2 13716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 < 𝑁)
48	47	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 < 𝑁)
49	40, 44, 38, 46, 48	xrlelttrd 13203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) < 𝑁)
50	35, 38, 40, 41, 49	elicod 13440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (-∞[,)𝑁))
51	19, 33, 50	elpreimad 7058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
52	51, 5	eleqtrrdi 2876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ 𝑆)
53	16, 10	lssss 21109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃))
54	9, 16	ressbas2 17322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑃) → 𝑆 = (Base‘𝐸))
55	8, 53, 54	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐸))
56	55	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 = (Base‘𝐸))
57	52, 56	eleqtrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸))
58	57, 14	fmptd 7113	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐸))
59	58	ffnd 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) Fn (0..^𝑁))
60		hashfn 14431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) Fn (0..^𝑁) → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘(0..^𝑁)))
61	59, 60	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘(0..^𝑁)))
62		ovexd 7454	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
63	57	ralrimiva 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸))
64		drngnzr 20900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
65	2, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
66	65	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ NzRing)
67	28	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
68		elfzonn0 13755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
69	68	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
70	1, 29, 22, 66, 67, 69	ply1moneq 33944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ↔ 𝑛 = 𝑖))
71	70	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
72	71	anasss 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
73	72	ralrimivva 3210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
74		oveq1 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
75	14, 74	f1mpt 7264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸) ↔ (∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖)))
76	63, 73, 75	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸))
77		hashf1rn 14408	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸)) → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
78	62, 76, 77	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
79		hashfzo0 14487	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
80	6, 79	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
81	61, 78, 80	3eqtr3d 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁)
82		hashvnfin 14416	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin))
83	82	imp 412	. . . 4 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁) → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin)
84	15, 6, 81, 83	syl21anc 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin)
85		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
86	85	dimvalfi 34058	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin) → (dim‘𝐸) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
87	12, 15, 84, 86	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
88	87, 81	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662  ran crn 5664   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  0cc0 11117  -∞cmnf 11258  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261  ℕ₀cn0 12521  [,)cico 13392  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314  Mndcmnd 18826  ._gcmg 19179  mulGrpcmgp 20262  Ringcrg 20361  NzRingcnzr 20661  DivRingcdr 20879  LSubSpclss 21104  LBasisclbs 21247  LVecclvec 21275  var₁cv1 22388  Poly₁cpl1 22389  deg₁cdg1 26264  dimcldim 34055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-prds 17524  df-pws 17526  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-mri 17664  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-srg 20315  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-nzr 20662  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lmhm 21195  df-lbs 21248  df-lvec 21276  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-cnfld 21575  df-dsmm 21934  df-frlm 21949  df-uvc 21985  df-lindf 22008  df-linds 22009  df-psr 22111  df-mvr 22112  df-mpl 22113  df-opsr 22115  df-psr1 22392  df-vr1 22393  df-ply1 22394  df-coe1 22395  df-mdeg 26265  df-deg1 26266  df-dim 34056

This theorem is used by:  algextdeglem8  34180