Theorem ply1degltdim 33650

Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 has dimension 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltdim.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltdim.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltdim.s	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltdim.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltdim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ply1degltdim.e	⊢ 𝐸 = (𝑃 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = 𝑁)

Proof of Theorem ply1degltdim

Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1degltdim.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1degltdim.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
3	1, 2	ply1lvec 33564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LVec)
4		ply1degltdim.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		ply1degltdim.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
6		ply1degltdim.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	2	drngringd 20753	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 4, 5, 6, 7	ply1degltlss 33596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))
9		ply1degltdim.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑃 ↾s 𝑆)
10		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
11	9, 10	lsslvec 21125	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃)) → 𝐸 ∈ LVec)
12	3, 8, 11	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
13		oveq1 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
14	13	cbvmptv 5260	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
15	1, 4, 5, 6, 2, 9, 14	ply1degltdimlem 33649	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸))
16		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	4, 1, 16	deg1xrf 26134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
18		ffn 6736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
20		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
21	20, 16	mgpbas 20157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
22		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23	1	ply1ring 22264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
24	20	ringmgp 20256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
25	7, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
27		elfzonn0 13743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
30	29, 1, 16	vr1cl 22234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
31	7, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
33	21, 22, 26, 28, 32	mulgnn0cld 19125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
34		mnfxr 11315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → -∞ ∈ ℝ*)
36	6	nn0red 12585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
39	4, 1, 16	deg1xrcl 26135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
40	33, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
41	40	mnfled 13174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → -∞ ≤ (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
42	27	nn0red 12585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 11308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ*)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
45	4, 1, 29, 20, 22	deg1pwle 26173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ 𝑛)
46	7, 27, 45	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ 𝑛)
47		elfzolt2 13704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 < 𝑁)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 < 𝑁)
49	40, 44, 38, 46, 48	xrlelttrd 13198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) < 𝑁)
50	35, 38, 40, 41, 49	elicod 13433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (-∞[,)𝑁))
51	19, 33, 50	elpreimad 7078	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
52	51, 5	eleqtrrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ 𝑆)
53	16, 10	lssss 20951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃))
54	9, 16	ressbas2 17282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑃) → 𝑆 = (Base‘𝐸))
55	8, 53, 54	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐸))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 = (Base‘𝐸))
57	52, 56	eleqtrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸))
58	57, 14	fmptd 7133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐸))
59	58	ffnd 6737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) Fn (0..^𝑁))
60		hashfn 14410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) Fn (0..^𝑁) → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘(0..^𝑁)))
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘(0..^𝑁)))
62		ovexd 7465	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
63	57	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸))
64		drngnzr 20764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
65	2, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
66	65	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ NzRing)
67	28	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
68		elfzonn0 13743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
70	1, 29, 22, 66, 67, 69	ply1moneq 33590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ↔ 𝑛 = 𝑖))
71	70	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
72	71	anasss 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
73	72	ralrimivva 3199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
74		oveq1 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
75	14, 74	f1mpt 7280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸) ↔ (∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖)))
76	63, 73, 75	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸))
77		hashf1rn 14387	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸)) → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
78	62, 76, 77	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
79		hashfzo0 14465	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
80	6, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
81	61, 78, 80	3eqtr3d 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁)
82		hashvnfin 14395	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin))
83	82	imp 406	. . . 4 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁) → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin)
84	15, 6, 81, 83	syl21anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin)
85		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
86	85	dimvalfi 33628	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin) → (dim‘𝐸) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
87	12, 15, 84, 86	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
88	87, 81	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5687  ran crn 5689   “ cima 5691   Fn wfn 6557  ⟶wf 6558  –1-1→wf1 6559  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  0cc0 11152  -∞cmnf 11290  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293  ℕ₀cn0 12523  [,)cico 13385  ..^cfzo 13690  ♯chash 14365  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  Mndcmnd 18759  ._gcmg 19097  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  NzRingcnzr 20528  DivRingcdr 20745  LSubSpclss 20946  LBasisclbs 21090  LVecclvec 21118  var₁cv1 22192  Poly₁cpl1 22193  deg₁cdg1 26107  dimcldim 33625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-mri 17632  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lmhm 21038  df-lbs 21091  df-lvec 21119  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-cnfld 21382  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-uvc 21820  df-lindf 21843  df-linds 21844  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-mdeg 26108  df-deg1 26109  df-dim 33626

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33729