Theorem ply1degltdim 33805

Description: The space 𝑆 of the univariate polynomials of degree less than 𝑁 has dimension 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltdim.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltdim.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltdim.s	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltdim.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltdim.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ply1degltdim.e	⊢ 𝐸 = (𝑃 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ply1degltdim	⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = 𝑁)

Proof of Theorem ply1degltdim

Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1degltdim.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1degltdim.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
3	1, 2	ply1lvec 33656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LVec)
4		ply1degltdim.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
5		ply1degltdim.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
6		ply1degltdim.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	2	drngringd 20685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 4, 5, 6, 7	ply1degltlss 33693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃))
9		ply1degltdim.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑃 ↾s 𝑆)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
11	9, 10	lsslvec 21076	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃)) → 𝐸 ∈ LVec)
12	3, 8, 11	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ LVec)
13		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
14	13	cbvmptv 5204	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
15	1, 4, 5, 6, 2, 9, 14	ply1degltdimlem 33804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸))
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	4, 1, 16	deg1xrf 26057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ*
18		ffn 6670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷:(Base‘𝑃)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 Fn (Base‘𝑃))
20		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
21	20, 16	mgpbas 20095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
22		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23	1	ply1ring 22203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
24	20	ringmgp 20189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
25	7, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
27		elfzonn0 13635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
29		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
30	29, 1, 16	vr1cl 22173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
31	7, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘𝑃))
33	21, 22, 26, 28, 32	mulgnn0cld 19040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
34		mnfxr 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → -∞ ∈ ℝ*)
36	6	nn0red 12475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ*)
39	4, 1, 16	deg1xrcl 26058	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
40	33, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ ℝ*)
41	40	mnfled 13062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → -∞ ≤ (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))))
42	27	nn0red 12475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	42	rexrd 11194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ*)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ*)
45	4, 1, 29, 20, 22	deg1pwle 26096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ 𝑛)
46	7, 27, 45	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ≤ 𝑛)
47		elfzolt2 13596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 < 𝑁)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 < 𝑁)
49	40, 44, 38, 46, 48	xrlelttrd 13086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) < 𝑁)
50	35, 38, 40, 41, 49	elicod 13323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (-∞[,)𝑁))
51	19, 33, 50	elpreimad 7013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
52	51, 5	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ 𝑆)
53	16, 10	lssss 20902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑃) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑃))
54	9, 16	ressbas2 17177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑃) → 𝑆 = (Base‘𝐸))
55	8, 53, 54	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐸))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 = (Base‘𝐸))
57	52, 56	eleqtrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸))
58	57, 14	fmptd 7068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐸))
59	58	ffnd 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) Fn (0..^𝑁))
60		hashfn 14310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) Fn (0..^𝑁) → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘(0..^𝑁)))
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘(0..^𝑁)))
62		ovexd 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
63	57	ralrimiva 3130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸))
64		drngnzr 20696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
65	2, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
66	65	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ NzRing)
67	28	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
68		elfzonn0 13635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
70	1, 29, 22, 66, 67, 69	ply1moneq 33685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ↔ 𝑛 = 𝑖))
71	70	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
72	71	anasss 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁))) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
73	72	ralrimivva 3181	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖))
74		oveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))
75	14, 74	f1mpt 7217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸) ↔ (∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)(𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐸) ∧ ∀𝑛 ∈ (0..^𝑁)∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) = (𝑖(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)) → 𝑛 = 𝑖)))
76	63, 73, 75	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸))
77		hashf1rn 14287	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))):(0..^𝑁)–1-1→(Base‘𝐸)) → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
78	62, 76, 77	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
79		hashfzo0 14365	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
80	6, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
81	61, 78, 80	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁)
82		hashvnfin 14295	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin))
83	82	imp 406	. . . 4 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))) = 𝑁) → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin)
84	15, 6, 81, 83	syl21anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin)
85		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LBasis‘𝐸) = (LBasis‘𝐸)
86	85	dimvalfi 33783	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ LVec ∧ ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ (LBasis‘𝐸) ∧ ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅))) ∈ Fin) → (dim‘𝐸) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
87	12, 15, 84, 86	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = (♯‘ran (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑘(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1‘𝑅)))))
88	87, 81	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (dim‘𝐸) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631  ran crn 5633   “ cima 5635   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  0cc0 11038  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  [,)cico 13275  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  Mndcmnd 18671  ._gcmg 19012  mulGrpcmgp 20090  Ringcrg 20183  NzRingcnzr 20460  DivRingcdr 20677  LSubSpclss 20897  LBasisclbs 21041  LVecclvec 21069  var₁cv1 22131  Poly₁cpl1 22132  deg₁cdg1 26030  dimcldim 33780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-mri 17519  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-mulg 19013  df-subg 19068  df-ghm 19157  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-srg 20137  df-ring 20185  df-cring 20186  df-oppr 20288  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-nzr 20461  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-drng 20679  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-lmhm 20989  df-lbs 21042  df-lvec 21070  df-sra 21140  df-rgmod 21141  df-cnfld 21325  df-dsmm 21702  df-frlm 21717  df-uvc 21753  df-lindf 21776  df-linds 21777  df-psr 21880  df-mvr 21881  df-mpl 21882  df-opsr 21884  df-psr1 22135  df-vr1 22136  df-ply1 22137  df-coe1 22138  df-mdeg 26031  df-deg1 26032  df-dim 33781

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33906