Theorem elpreima 6991

Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
elpreima	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))

Proof of Theorem elpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 6031	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐶) ⊆ dom 𝐹
2	1	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
3		fndm 6584	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	2, 4	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐴))
6		fnfun 6581	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
7		fvimacnvi 6985	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
8	6, 7	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
9	8	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶))
10	5, 9	jcad 512	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
11		fvimacnv 6986	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
12	11	funfni 6587	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
13	12	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
14	13	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
15	10, 14	impbid 212	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616   “ cima 5619  Fun wfun 6475   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  elpreimad  6992  fniniseg  6993  fncnvima2  6994  unpreima  6996  respreima  6999  fnse  8063  brwitnlem  8422  unxpwdom2  9474  smobeth  10477  fpwwe2lem5  10526  hashkf  14239  isercolllem2  15573  isercolllem3  15574  isercoll  15575  fsumss  15632  fprodss  15855  tanval  16037  1arith  16839  0ram  16932  ghmpreima  19151  ghmnsgpreima  19154  kerf1ghm  19160  torsubg  19767  lmhmpreima  20983  rhmpreimaidl  21215  znunithash  21502  mpfind  22043  cncnpi  23194  cncnp  23196  cnpdis  23209  cnt0  23262  cnhaus  23270  2ndcomap  23374  1stccnp  23378  ptpjpre1  23487  tx1cn  23525  tx2cn  23526  txcnmpt  23540  txdis1cn  23551  hauseqlcld  23562  xkoptsub  23570  xkococn  23576  kqsat  23647  kqcldsat  23649  kqreglem1  23657  kqreglem2  23658  reghmph  23709  ordthmeolem  23717  tmdcn2  24005  clssubg  24025  tgphaus  24033  qustgplem  24037  ucncn  24200  xmeterval  24348  imasf1obl  24404  blval2  24478  metuel2  24481  isnghm  24639  cnbl0  24689  cnblcld  24690  cnheiborlem  24881  nmhmcn  25048  ismbl  25455  mbfeqalem1  25570  mbfmulc2lem  25576  mbfmax  25578  mbfposr  25581  mbfimaopnlem  25584  mbfaddlem  25589  mbfsup  25593  i1f1lem  25618  i1fpos  25635  mbfi1fseqlem4  25647  itg2monolem1  25679  itg2gt0  25689  itg2cnlem1  25690  itg2cnlem2  25691  plyeq0lem  26143  dgrlem  26162  dgrub  26167  dgrlb  26169  pserulm  26359  psercnlem2  26362  psercnlem1  26363  psercn  26364  abelth  26379  eff1olem  26485  ellogrn  26496  dvloglem  26585  logf1o2  26587  efopnlem1  26593  efopnlem2  26594  logtayl  26597  cxpcn3lem  26685  cxpcn3  26686  resqrtcn  26687  asinneg  26824  areambl  26896  sqff1o  27120  ubthlem1  30848  unipreima  32623  suppiniseg  32665  1stpreima  32686  2ndpreima  32687  suppss3  32704  hashgt1  32788  pwrssmgc  32979  tocyc01  33085  cyc3evpm  33117  elrgspnsubrunlem2  33213  kerunit  33288  elrspunidl  33391  rhmpreimaprmidl  33414  ply1degltel  33553  ply1degleel  33554  ply1degltdimlem  33633  irngnminplynz  33723  smatrcl  33807  rhmpreimacnlem  33895  cnre2csqlem  33921  elzrhunit  33988  qqhval2lem  33992  qqhf  33997  1stmbfm  34271  2ndmbfm  34272  mbfmcnt  34279  eulerpartlemsv2  34369  eulerpartlemv  34375  eulerpartlemf  34381  eulerpartlemgvv  34387  eulerpartlemgh  34389  eulerpartlemgs2  34391  sseqmw  34402  sseqf  34403  sseqp1  34406  fiblem  34409  fibp1  34412  cvmseu  35318  cvmliftmolem1  35323  cvmliftmolem2  35324  cvmliftlem15  35340  cvmlift2lem10  35354  cvmlift3lem8  35368  elmthm  35618  mthmblem  35622  mclsppslem  35625  mclspps  35626  cnambfre  37714  dvtan  37716  ftc1anclem3  37741  ftc1anclem5  37743  areacirc  37759  sstotbnd2  37820  keridl  38078  ellkr  39134  pw2f1ocnv  43076  binomcxplemdvbinom  44392  binomcxplemcvg  44393  binomcxplemnotnn0  44395  permaxpow  45048  rfcnpre1  45062  rfcnpre2  45074  rfcnpre3  45076  rfcnpre4  45077  limsupresxr  45810  liminfresxr  45811  icccncfext  45931  sge0fodjrnlem  46460  smfsuplem1  46855