Theorem elpreima 7091

Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
elpreima	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))

Proof of Theorem elpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 6111	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐶) ⊆ dom 𝐹
2	1	sseli 4004	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
3		fndm 6682	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2830	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	2, 4	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐴))
6		fnfun 6679	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
7		fvimacnvi 7085	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
8	6, 7	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
9	8	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶))
10	5, 9	jcad 512	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
11		fvimacnv 7086	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
12	11	funfni 6685	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
13	12	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
14	13	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
15	10, 14	impbid 212	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700   “ cima 5703  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  elpreimad  7092  fniniseg  7093  fncnvima2  7094  unpreima  7096  respreima  7099  fnse  8174  brwitnlem  8563  unxpwdom2  9657  smobeth  10655  fpwwe2lem5  10704  hashkf  14381  isercolllem2  15714  isercolllem3  15715  isercoll  15716  fsumss  15773  fprodss  15996  tanval  16176  1arith  16974  0ram  17067  ghmpreima  19278  ghmnsgpreima  19281  kerf1ghm  19287  torsubg  19896  lmhmpreima  21070  rhmpreimaidl  21310  znunithash  21606  mpfind  22154  cncnpi  23307  cncnp  23309  cnpdis  23322  cnt0  23375  cnhaus  23383  2ndcomap  23487  1stccnp  23491  ptpjpre1  23600  tx1cn  23638  tx2cn  23639  txcnmpt  23653  txdis1cn  23664  hauseqlcld  23675  xkoptsub  23683  xkococn  23689  kqsat  23760  kqcldsat  23762  kqreglem1  23770  kqreglem2  23771  reghmph  23822  ordthmeolem  23830  tmdcn2  24118  clssubg  24138  tgphaus  24146  qustgplem  24150  ucncn  24315  xmeterval  24463  imasf1obl  24522  blval2  24596  metuel2  24599  isnghm  24765  cnbl0  24815  cnblcld  24816  cnheiborlem  25005  nmhmcn  25172  ismbl  25580  mbfeqalem1  25695  mbfmulc2lem  25701  mbfmax  25703  mbfposr  25706  mbfimaopnlem  25709  mbfaddlem  25714  mbfsup  25718  i1f1lem  25743  i1fpos  25761  mbfi1fseqlem4  25773  itg2monolem1  25805  itg2gt0  25815  itg2cnlem1  25816  itg2cnlem2  25817  plyeq0lem  26269  dgrlem  26288  dgrub  26293  dgrlb  26295  pserulm  26483  psercnlem2  26486  psercnlem1  26487  psercn  26488  abelth  26503  eff1olem  26608  ellogrn  26619  dvloglem  26708  logf1o2  26710  efopnlem1  26716  efopnlem2  26717  logtayl  26720  cxpcn3lem  26808  cxpcn3  26809  resqrtcn  26810  asinneg  26947  areambl  27019  sqff1o  27243  ubthlem1  30902  unipreima  32662  suppiniseg  32698  1stpreima  32718  2ndpreima  32719  suppss3  32738  hashgt1  32815  pwrssmgc  32973  tocyc01  33111  cyc3evpm  33143  kerunit  33314  elrspunidl  33421  rhmpreimaprmidl  33444  ply1degltel  33580  ply1degleel  33581  ply1degltdimlem  33635  irngnminplynz  33705  smatrcl  33742  rhmpreimacnlem  33830  cnre2csqlem  33856  elzrhunit  33925  qqhval2lem  33927  qqhf  33932  1stmbfm  34225  2ndmbfm  34226  mbfmcnt  34233  eulerpartlemsv2  34323  eulerpartlemv  34329  eulerpartlemf  34335  eulerpartlemgvv  34341  eulerpartlemgh  34343  eulerpartlemgs2  34345  sseqmw  34356  sseqf  34357  sseqp1  34360  fiblem  34363  fibp1  34366  cvmseu  35244  cvmliftmolem1  35249  cvmliftmolem2  35250  cvmliftlem15  35266  cvmlift2lem10  35280  cvmlift3lem8  35294  elmthm  35544  mthmblem  35548  mclsppslem  35551  mclspps  35552  cnambfre  37628  dvtan  37630  ftc1anclem3  37655  ftc1anclem5  37657  areacirc  37673  sstotbnd2  37734  keridl  37992  ellkr  39045  pw2f1ocnv  42994  binomcxplemdvbinom  44322  binomcxplemcvg  44323  binomcxplemnotnn0  44325  rfcnpre1  44919  rfcnpre2  44931  rfcnpre3  44933  rfcnpre4  44934  limsupresxr  45687  liminfresxr  45688  icccncfext  45808  sge0fodjrnlem  46337  smfsuplem1  46732