Theorem elpreima 6585

Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
elpreima	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))

Proof of Theorem elpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 5725	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐶) ⊆ dom 𝐹
2	1	sseli 3822	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
3		fndm 6222	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2891	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	2, 4	syl5ib 236	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐴))
6		fnfun 6220	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
7		fvimacnvi 6579	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
8	6, 7	sylan 577	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
9	8	ex 403	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶))
10	5, 9	jcad 510	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
11		fvimacnv 6580	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
12	11	funfni 6223	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
13	12	biimpd 221	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
14	13	expimpd 447	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
15	10, 14	impbid 204	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166  ^◡ccnv 5340  dom cdm 5341   “ cima 5344  Fun wfun 6116   Fn wfn 6117  ‘cfv 6122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pr 5126

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-id 5249  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-fv 6130

This theorem is referenced by:  fniniseg  6586  fncnvima2  6587  unpreima  6589  respreima  6592  fnse  7557  brwitnlem  7853  unxpwdom2  8761  smobeth  9722  fpwwe2lem6  9771  fpwwe2lem9  9774  hashkf  13411  isercolllem2  14772  isercolllem3  14773  isercoll  14774  fsumss  14832  fprodss  15050  tanval  15229  1arith  16001  0ram  16094  ghmpreima  18032  ghmnsgpreima  18035  torsubg  18609  kerf1hrm  19098  lmhmpreima  19406  evlslem3  19873  mpfind  19895  znunithash  20271  cncnpi  21452  cncnp  21454  cnpdis  21467  cnt0  21520  cnhaus  21528  2ndcomap  21631  1stccnp  21635  ptpjpre1  21744  tx1cn  21782  tx2cn  21783  txcnmpt  21797  txdis1cn  21808  hauseqlcld  21819  xkoptsub  21827  xkococn  21833  kqsat  21904  kqcldsat  21906  kqreglem1  21914  kqreglem2  21915  reghmph  21966  ordthmeolem  21974  tmdcn2  22262  clssubg  22281  tgphaus  22289  qustgplem  22293  ucncn  22458  xmeterval  22606  imasf1obl  22662  blval2  22736  metuel2  22739  isnghm  22896  cnbl0  22946  cnblcld  22947  cnheiborlem  23122  nmhmcn  23288  ismbl  23691  mbfeqalem1  23806  mbfmulc2lem  23812  mbfmax  23814  mbfposr  23817  mbfimaopnlem  23820  mbfaddlem  23825  mbfsup  23829  i1f1lem  23854  i1fpos  23871  mbfi1fseqlem4  23883  itg2monolem1  23915  itg2gt0  23925  itg2cnlem1  23926  itg2cnlem2  23927  plyeq0lem  24364  dgrlem  24383  dgrub  24388  dgrlb  24390  pserulm  24574  psercnlem2  24576  psercnlem1  24577  psercn  24578  abelth  24593  eff1olem  24693  ellogrn  24704  dvloglem  24792  logf1o2  24794  efopnlem1  24800  efopnlem2  24801  logtayl  24804  cxpcn3lem  24889  cxpcn3  24890  resqrtcn  24891  asinneg  25025  areambl  25097  sqff1o  25320  ubthlem1  28280  unipreima  29994  1stpreima  30031  2ndpreima  30032  suppss3  30049  kerunit  30367  smatrcl  30406  cnre2csqlem  30500  elzrhunit  30567  qqhval2lem  30569  qqhf  30574  1stmbfm  30866  2ndmbfm  30867  mbfmcnt  30874  eulerpartlemsv2  30964  eulerpartlemv  30970  eulerpartlemf  30976  eulerpartlemgvv  30982  eulerpartlemgh  30984  eulerpartlemgs2  30986  sseqmw  30998  sseqf  30999  sseqp1  31002  fiblem  31005  fibp1  31008  cvmseu  31803  cvmliftmolem1  31808  cvmliftmolem2  31809  cvmliftlem15  31825  cvmlift2lem10  31839  cvmlift3lem8  31853  elmthm  32018  mthmblem  32022  mclsppslem  32025  mclspps  32026  cnambfre  34000  dvtan  34002  ftc1anclem3  34029  ftc1anclem5  34031  areacirc  34047  sstotbnd2  34114  keridl  34372  ellkr  35163  pw2f1ocnv  38446  binomcxplemdvbinom  39391  binomcxplemcvg  39392  binomcxplemnotnn0  39394  rfcnpre1  39995  rfcnpre2  40007  rfcnpre3  40009  rfcnpre4  40010  elpreimad  40254  limsupresxr  40792  liminfresxr  40793  icccncfext  40894  sge0fodjrnlem  41423  smfsuplem1  41810