Theorem elpreima 7048

Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
elpreima	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))

Proof of Theorem elpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 6069	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐶) ⊆ dom 𝐹
2	1	sseli 3954	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
3		fndm 6641	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2820	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	2, 4	imbitrid 244	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐴))
6		fnfun 6638	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
7		fvimacnvi 7042	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
8	6, 7	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
9	8	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶))
10	5, 9	jcad 512	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
11		fvimacnv 7043	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
12	11	funfni 6644	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
13	12	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
14	13	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
15	10, 14	impbid 212	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654   “ cima 5657  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-fv 6539

This theorem is referenced by:  elpreimad  7049  fniniseg  7050  fncnvima2  7051  unpreima  7053  respreima  7056  fnse  8132  brwitnlem  8519  unxpwdom2  9602  smobeth  10600  fpwwe2lem5  10649  hashkf  14350  isercolllem2  15682  isercolllem3  15683  isercoll  15684  fsumss  15741  fprodss  15964  tanval  16146  1arith  16947  0ram  17040  ghmpreima  19221  ghmnsgpreima  19224  kerf1ghm  19230  torsubg  19835  lmhmpreima  21006  rhmpreimaidl  21238  znunithash  21525  mpfind  22065  cncnpi  23216  cncnp  23218  cnpdis  23231  cnt0  23284  cnhaus  23292  2ndcomap  23396  1stccnp  23400  ptpjpre1  23509  tx1cn  23547  tx2cn  23548  txcnmpt  23562  txdis1cn  23573  hauseqlcld  23584  xkoptsub  23592  xkococn  23598  kqsat  23669  kqcldsat  23671  kqreglem1  23679  kqreglem2  23680  reghmph  23731  ordthmeolem  23739  tmdcn2  24027  clssubg  24047  tgphaus  24055  qustgplem  24059  ucncn  24223  xmeterval  24371  imasf1obl  24427  blval2  24501  metuel2  24504  isnghm  24662  cnbl0  24712  cnblcld  24713  cnheiborlem  24904  nmhmcn  25071  ismbl  25479  mbfeqalem1  25594  mbfmulc2lem  25600  mbfmax  25602  mbfposr  25605  mbfimaopnlem  25608  mbfaddlem  25613  mbfsup  25617  i1f1lem  25642  i1fpos  25659  mbfi1fseqlem4  25671  itg2monolem1  25703  itg2gt0  25713  itg2cnlem1  25714  itg2cnlem2  25715  plyeq0lem  26167  dgrlem  26186  dgrub  26191  dgrlb  26193  pserulm  26383  psercnlem2  26386  psercnlem1  26387  psercn  26388  abelth  26403  eff1olem  26509  ellogrn  26520  dvloglem  26609  logf1o2  26611  efopnlem1  26617  efopnlem2  26618  logtayl  26621  cxpcn3lem  26709  cxpcn3  26710  resqrtcn  26711  asinneg  26848  areambl  26920  sqff1o  27144  ubthlem1  30851  unipreima  32621  suppiniseg  32663  1stpreima  32684  2ndpreima  32685  suppss3  32701  hashgt1  32787  pwrssmgc  32980  tocyc01  33129  cyc3evpm  33161  elrgspnsubrunlem2  33243  kerunit  33341  elrspunidl  33443  rhmpreimaprmidl  33466  ply1degltel  33604  ply1degleel  33605  ply1degltdimlem  33662  irngnminplynz  33746  smatrcl  33827  rhmpreimacnlem  33915  cnre2csqlem  33941  elzrhunit  34008  qqhval2lem  34012  qqhf  34017  1stmbfm  34292  2ndmbfm  34293  mbfmcnt  34300  eulerpartlemsv2  34390  eulerpartlemv  34396  eulerpartlemf  34402  eulerpartlemgvv  34408  eulerpartlemgh  34410  eulerpartlemgs2  34412  sseqmw  34423  sseqf  34424  sseqp1  34427  fiblem  34430  fibp1  34433  cvmseu  35298  cvmliftmolem1  35303  cvmliftmolem2  35304  cvmliftlem15  35320  cvmlift2lem10  35334  cvmlift3lem8  35348  elmthm  35598  mthmblem  35602  mclsppslem  35605  mclspps  35606  cnambfre  37692  dvtan  37694  ftc1anclem3  37719  ftc1anclem5  37721  areacirc  37737  sstotbnd2  37798  keridl  38056  ellkr  39107  pw2f1ocnv  43061  binomcxplemdvbinom  44377  binomcxplemcvg  44378  binomcxplemnotnn0  44380  permaxpow  45034  rfcnpre1  45043  rfcnpre2  45055  rfcnpre3  45057  rfcnpre4  45058  limsupresxr  45795  liminfresxr  45796  icccncfext  45916  sge0fodjrnlem  46445  smfsuplem1  46840