Theorem elpreima 6805

Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
elpreima	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))

Proof of Theorem elpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimass 5916	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ 𝐶) ⊆ dom 𝐹
2	1	sseli 3911	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → 𝐵 ∈ dom 𝐹)
3		fndm 6425	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	eleq2d 2875	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	2, 4	syl5ib 247	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐴))
6		fnfun 6423	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
7		fvimacnvi 6799	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
8	6, 7	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)
9	8	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶))
10	5, 9	jcad 516	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))
11		fvimacnv 6800	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
12	11	funfni 6428	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 ↔ 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
13	12	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
14	13	expimpd 457	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶)))
15	10, 14	impbid 215	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ (◡𝐹 “ 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519   “ cima 5522  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  elpreimad  6806  fniniseg  6807  fncnvima2  6808  unpreima  6810  respreima  6813  fnse  7810  brwitnlem  8115  unxpwdom2  9036  smobeth  9997  fpwwe2lem6  10046  fpwwe2lem9  10049  hashkf  13688  isercolllem2  15014  isercolllem3  15015  isercoll  15016  fsumss  15074  fprodss  15294  tanval  15473  1arith  16253  0ram  16346  ghmpreima  18372  ghmnsgpreima  18375  torsubg  18967  kerf1ghm  19491  lmhmpreima  19813  znunithash  20256  mpfind  20779  cncnpi  21883  cncnp  21885  cnpdis  21898  cnt0  21951  cnhaus  21959  2ndcomap  22063  1stccnp  22067  ptpjpre1  22176  tx1cn  22214  tx2cn  22215  txcnmpt  22229  txdis1cn  22240  hauseqlcld  22251  xkoptsub  22259  xkococn  22265  kqsat  22336  kqcldsat  22338  kqreglem1  22346  kqreglem2  22347  reghmph  22398  ordthmeolem  22406  tmdcn2  22694  clssubg  22714  tgphaus  22722  qustgplem  22726  ucncn  22891  xmeterval  23039  imasf1obl  23095  blval2  23169  metuel2  23172  isnghm  23329  cnbl0  23379  cnblcld  23380  cnheiborlem  23559  nmhmcn  23725  ismbl  24130  mbfeqalem1  24245  mbfmulc2lem  24251  mbfmax  24253  mbfposr  24256  mbfimaopnlem  24259  mbfaddlem  24264  mbfsup  24268  i1f1lem  24293  i1fpos  24310  mbfi1fseqlem4  24322  itg2monolem1  24354  itg2gt0  24364  itg2cnlem1  24365  itg2cnlem2  24366  plyeq0lem  24807  dgrlem  24826  dgrub  24831  dgrlb  24833  pserulm  25017  psercnlem2  25019  psercnlem1  25020  psercn  25021  abelth  25036  eff1olem  25140  ellogrn  25151  dvloglem  25239  logf1o2  25241  efopnlem1  25247  efopnlem2  25248  logtayl  25251  cxpcn3lem  25336  cxpcn3  25337  resqrtcn  25338  asinneg  25472  areambl  25544  sqff1o  25767  ubthlem1  28653  unipreima  30405  suppiniseg  30446  1stpreima  30466  2ndpreima  30467  suppss3  30486  hashgt1  30556  pwrssmgc  30706  tocyc01  30810  cyc3evpm  30842  kerunit  30947  rhmpreimaidl  31011  elrspunidl  31014  rhmpreimaprmidl  31035  smatrcl  31149  rhmpreimacnlem  31237  cnre2csqlem  31263  elzrhunit  31330  qqhval2lem  31332  qqhf  31337  1stmbfm  31628  2ndmbfm  31629  mbfmcnt  31636  eulerpartlemsv2  31726  eulerpartlemv  31732  eulerpartlemf  31738  eulerpartlemgvv  31744  eulerpartlemgh  31746  eulerpartlemgs2  31748  sseqmw  31759  sseqf  31760  sseqp1  31763  fiblem  31766  fibp1  31769  cvmseu  32636  cvmliftmolem1  32641  cvmliftmolem2  32642  cvmliftlem15  32658  cvmlift2lem10  32672  cvmlift3lem8  32686  elmthm  32936  mthmblem  32940  mclsppslem  32943  mclspps  32944  cnambfre  35105  dvtan  35107  ftc1anclem3  35132  ftc1anclem5  35134  areacirc  35150  sstotbnd2  35212  keridl  35470  ellkr  36385  pw2f1ocnv  39978  binomcxplemdvbinom  41057  binomcxplemcvg  41058  binomcxplemnotnn0  41060  rfcnpre1  41648  rfcnpre2  41660  rfcnpre3  41662  rfcnpre4  41663  limsupresxr  42408  liminfresxr  42409  icccncfext  42529  sge0fodjrnlem  43055  smfsuplem1  43442