MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem3 22104
Description: Lemma for evlseu 22107. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem3.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem3.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem3.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem3.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem3.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem3.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem3.x = (.g𝑇)
evlslem3.m · = (.r𝑆)
evlslem3.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem3.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
evlslem3.i (𝜑𝐼𝑊)
evlslem3.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem3.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem3.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem3.z 0 = (0g𝑅)
evlslem3.a (𝜑𝐴𝐷)
evlslem3.q (𝜑𝐻𝐾)
Assertion
Ref Expression
evlslem3 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝑥, 0   𝐵,𝑝   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏,𝑝,𝑥   𝐹,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝐴,𝑝,𝑥   ,𝐼   𝑥,𝐾   𝜑,𝑏,𝑥   𝐺,𝑏,𝑝   𝐻,𝑏,𝑝,𝑥   𝑆,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑝)   𝐵(𝑥,,𝑏)   𝐶(𝑥,,𝑝)   𝐷()   𝑃(𝑥,,𝑝,𝑏)   𝑅(,𝑝,𝑏)   𝑆(𝑥,)   𝑇(𝑥,)   · (𝑥,)   𝐸(𝑥,,𝑝,𝑏)   (𝑥,)   𝐹(𝑥,)   𝐺(𝑥,)   𝐻()   𝐼(𝑥,𝑝,𝑏)   𝐾(,𝑝,𝑏)   𝑉(𝑥,,𝑝,𝑏)   𝑊(𝑥,,𝑝,𝑏)   0 ()

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem3.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 evlslem3.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 evlslem3.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
4 evlslem3.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 evlslem3.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
6 evlslem3.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 crngring 20242 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 evlslem3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
10 evlslem3.q . . . 4 (𝜑𝐻𝐾)
11 evlslem3.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐷)
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 22092 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵)
13 fveq1 6905 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑝𝑏) = ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏))
1413fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)))
1514oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
1615mpteq2dv 5244 . . . . 5 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
1716oveq2d 7447 . . . 4 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
18 evlslem3.e . . . 4 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
19 ovex 7464 . . . 4 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 7016 . . 3 ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
2112, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
22 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
23 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐴𝑏 = 𝐴))
2423ifbid 4549 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
25 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
263fvexi 6920 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑0 ∈ V)
2810, 27ifexd 4574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
3022, 24, 25, 29fvmptd3 7039 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3130fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) = (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )))
3231oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
3332mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
3433oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
35 evlslem3.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑆)
36 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
37 evlslem3.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
38 crngring 20242 . . . . . 6 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
40 ringmnd 20240 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
42 ovex 7464 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
432, 42rabex2 5341 . . . . 5 𝐷 ∈ V
4443a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
4539adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
46 evlslem3.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
474, 35rhmf 20485 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾𝐶)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐾𝐶)
494, 3ring0cl 20264 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
508, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑0𝐾)
5110, 50ifcld 4572 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ 𝐾)
5248, 51ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
5352adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
54 evlslem3.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
5554, 35mgpbas 20142 . . . . . . 7 𝐶 = (Base‘𝑇)
56 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑇) = (0g𝑇)
5754crngmgp 20238 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
5837, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
5958adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
605adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼𝑊)
61 evlslem3.x . . . . . . . . 9 = (.g𝑇)
62 cmnmnd 19815 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
6463ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑇 ∈ Mnd)
65 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
66 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑧𝐶)
6755, 61, 64, 65, 66mulgnn0cld 19113 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 𝑧) ∈ 𝐶)
682psrbagf 21938 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐷𝑏:𝐼⟶ℕ0)
6968adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
70 evlslem3.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
7170adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
72 inidm 4227 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
7367, 69, 71, 60, 60, 72off 7715 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏f 𝐺):𝐼𝐶)
74 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (𝑏f 𝐺) ∈ V
7574a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏f 𝐺) ∈ V)
7673ffund 6740 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → Fun (𝑏f 𝐺))
77 fvexd 6921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (0g𝑇) ∈ V)
782psrbag 21937 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑊 → (𝑏𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
795, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
8079simplbda 499 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)
8169ffnd 6737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝑏 Fn 𝐼)
8370ffnd 6737 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
8483ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝐺 Fn 𝐼)
855ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝐼𝑊)
86 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ)) → 𝑦𝐼)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝑦𝐼)
88 fnfvof 7714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 Fn 𝐼𝐺 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑊𝑦𝐼)) → ((𝑏f 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)))
8982, 84, 85, 87, 88syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏f 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)))
90 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏:𝐼⟶ℕ0𝑦𝐼) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ0)
9169, 86, 90syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ0)
92 elnn0 12528 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑦) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0))
9391, 92sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0))
94 eldifn 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
9681ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑏 Fn 𝐼)
9786ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦𝐼)
98 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ)
9996, 97, 98elpreimad 7079 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
10095, 99mtand 816 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ¬ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)
10193, 100orcnd 879 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑦) = 0)
102101oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)) = (0 (𝐺𝑦)))
103 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:𝐼𝐶𝑦𝐼) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐶)
10471, 86, 103syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐶)
10555, 56, 61mulg0 19092 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑦) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑦)) = (0g𝑇))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (0 (𝐺𝑦)) = (0g𝑇))
10789, 102, 1063eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏f 𝐺)‘𝑦) = (0g𝑇))
10873, 107suppss 8219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑏f 𝐺) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑏 “ ℕ))
109 suppssfifsupp 9420 . . . . . . . 8 ((((𝑏f 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝑏f 𝐺) ∧ (0g𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑏 “ ℕ) ∈ Fin ∧ ((𝑏f 𝐺) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏f 𝐺) finSupp (0g𝑇))
11075, 76, 77, 80, 108, 109syl32anc 1380 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏f 𝐺) finSupp (0g𝑇))
11155, 56, 59, 60, 73, 110gsumcl 19933 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶)
112 evlslem3.m . . . . . . 7 · = (.r𝑆)
11335, 112ringcl 20247 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) ∈ 𝐶)
11445, 53, 111, 113syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) ∈ 𝐶)
115114fmpttd 7135 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶)
116 eldifsnneq 4791 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
117116iffalsed 4536 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
118117adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
119118fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹0 ))
120 rhmghm 20484 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
12146, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
1223, 36ghmid 19240 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
123121, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
124123adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
125119, 124eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (0g𝑆))
126125oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
12739adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → 𝑆 ∈ Ring)
128 eldifi 4131 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏𝐷)
129128, 111sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶)
13035, 112, 36ringlz 20290 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (0g𝑆))
131127, 129, 130syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (0g𝑆))
132126, 131eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (0g𝑆))
133132, 44suppss2 8225 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ {𝐴})
13435, 36, 41, 44, 11, 115, 133gsumpt 19980 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))‘𝐴))
13534, 134eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))‘𝐴))
136 iftrue 4531 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 𝐻)
137136fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹𝐻))
138 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏f 𝐺) = (𝐴f 𝐺))
139138oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺)))
140137, 139oveq12d 7449 . . . 4 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))))
141 eqid 2737 . . . 4 (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
142 ovex 7464 . . . 4 ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))) ∈ V
143140, 141, 142fvmpt 7016 . . 3 (𝐴𝐷 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))))
14411, 143syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))))
14521, 135, 1443eqtrd 2781 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  .gcmg 19085   GrpHom cghm 19230  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469   mVar cmvr 21925   mPoly cmpl 21926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-psr 21929  df-mpl 21931
This theorem is referenced by:  evlslem1  22106
  Copyright terms: Public domain W3C validator