Theorem evlslem3 22433

Description: Lemma for evlseu 22436. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlslem3.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem3.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem3.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem3.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem3.x	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
evlslem3.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlslem3.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem3.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlslem3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
evlslem3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlslem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlslem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
evlslem3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
evlslem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
evlslem3.q	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evlslem3	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝑥, 0   𝐵,𝑝   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏,𝑝,𝑥   𝐹,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝   ℎ,𝑏,𝐴,𝑝,𝑥   ℎ,𝐼   𝑥,𝐾   𝜑,𝑏,𝑥   𝐺,𝑏,𝑝   𝐻,𝑏,𝑝,𝑥   𝑆,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑝)   𝐵(𝑥, ℎ, 𝑏)   𝐶(𝑥, ℎ, 𝑝)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑥, ℎ, 𝑝, 𝑏)   𝑅(ℎ, 𝑝, 𝑏)   𝑆(𝑥, ℎ)   𝑇(𝑥, ℎ)   · (𝑥, ℎ)   𝐸(𝑥, ℎ, 𝑝, 𝑏)   ↑ (𝑥, ℎ)   𝐹(𝑥, ℎ)   𝐺(𝑥, ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐼(𝑥, 𝑝, 𝑏)   𝐾(ℎ, 𝑝, 𝑏)   𝑉(𝑥, ℎ, 𝑝, 𝑏)   𝑊(𝑥, ℎ, 𝑝, 𝑏)   0 (ℎ)

Proof of Theorem evlslem3

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlslem3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		evlslem3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		evlslem3.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		evlslem3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		evlslem3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		evlslem3.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		crngring 20514	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		evlslem3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		evlslem3.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)
11		evlslem3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11	mplmon2cl 22421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵)
13		fveq1 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑝‘𝑏) = ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏))
14	13	fveq2d 6918	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)))
15	14	oveq1d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
16	15	mpteq2dv 5203	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
17	16	oveq2d 7465	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
18		evlslem3.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
19		ovex 7482	. . . 4 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 7022	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
21	12, 20	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
22		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
23		eqeq1 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝑏 = 𝐴))
24	23	ifbid 4509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
25		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
26	3	fvexi 6928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	10, 27	ifexd 4534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
30	22, 24, 25, 29	fvmptd3 7046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
31	30	fveq2d 6918	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) = (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )))
32	31	oveq1d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
33	32	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
34	33	oveq2d 7465	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
35		evlslem3.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
36		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
37		evlslem3.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
38		crngring 20514	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
39	37, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
40		ringmnd 20512	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
41	39, 40	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
42		ovex 7482	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
43	2, 42	rabex2 5307	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
45	39	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
46		evlslem3.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
47	4, 35	rhmf 20757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
49	4, 3	ring0cl 20538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
50	8, 49	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
51	10, 50	ifcld 4532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ 𝐾)
52	48, 51	ffvelcdmd 7115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
53	52	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
54		evlslem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
55	54, 35	mgpbas 20407	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
56		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
57	54	crngmgp 20509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
58	37, 57	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
59	58	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
60	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑊)
61		evlslem3.x	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
62		cmnmnd 20053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
63	58, 62	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
64	63	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑇 ∈ Mnd)
65		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
66		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
67	55, 61, 64, 65, 66	mulgnn0cld 19346	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ↑ 𝑧) ∈ 𝐶)
68	2	psrbagf 22270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
69	68	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
70		evlslem3.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
71	70	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
72		inidm 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
73	67, 69, 71, 60, 60, 72	off 7741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶)
74		ovex 7482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V
75	74	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V)
76	73	ffund 6742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Fun (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))
77		fvexd 6929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑇) ∈ V)
78	2	psrbag 22269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
79	5, 78	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
80	79	simplbda 505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)
81	69	ffnd 6738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
82	81	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝑏 Fn 𝐼)
83	70	ffnd 6738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
84	83	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝐺 Fn 𝐼)
85	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝐼 ∈ 𝑊)
86		eldifi 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
87	86	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝑦 ∈ 𝐼)
88		fnfvof 7740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 Fn 𝐼 ∧ 𝐺 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)))
89	82, 84, 85, 87, 88	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)))
90		ffvelcdm 7111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0)
91	69, 86, 90	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0)
92		elnn0 12646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏‘𝑦) = 0))
93	91, 92	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏‘𝑦) = 0))
94		eldifn 4071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ)) → ¬ 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
95	94	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ¬ 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
96	81	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑏 Fn 𝐼)
97	86	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ 𝐼)
98		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ)
99	96, 97, 98	elpreimad 7088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
100	95, 99	mtand 828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ¬ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ)
101	93, 100	orcnd 892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏‘𝑦) = 0)
102	101	oveq1d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0 ↑ (𝐺‘𝑦)))
103		ffvelcdm 7111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:𝐼⟶𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶)
104	71, 86, 103	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶)
105	55, 56, 61	mulg0 19325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶 → (0 ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0g‘𝑇))
106	104, 105	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (0 ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0g‘𝑇))
107	89, 102, 106	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = (0g‘𝑇))
108	73, 107	suppss 8247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (◡𝑏 “ ℕ))
109		suppssfifsupp 9407	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∧ (0g‘𝑇) ∈ V) ∧ ((◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
110	75, 76, 77, 80, 108, 109	syl32anc 1406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
111	55, 56, 59, 60, 73, 110	gsumcl 20171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
112		evlslem3.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
113	35, 112	ringcl 20519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ 𝐶)
114	45, 53, 111, 113	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ 𝐶)
115	114	fmpttd 7145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
116		eldifsnneq 4754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
117	116	iffalsed 4496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
118	117	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
119	118	fveq2d 6918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹‘ 0 ))
120		rhmghm 20756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
121	46, 120	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
122	3, 36	ghmid 19477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
123	121, 122	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
124	123	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
125	119, 124	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (0g‘𝑆))
126	125	oveq1d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
127	39	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → 𝑆 ∈ Ring)
128		eldifi 4070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
129	128, 111	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
130	35, 112, 36	ringlz 20566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
131	127, 129, 130	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
132	126, 131	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
133	132, 44	suppss2 8253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ {𝐴})
134	35, 36, 41, 44, 11, 115, 133	gsumpt 20218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴))
135	34, 134	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴))
136		iftrue 4491	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 𝐻)
137	136	fveq2d 6918	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹‘𝐻))
138		oveq1 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) = (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))
139	138	oveq2d 7465	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺)))
140	137, 139	oveq12d 7467	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
141		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
142		ovex 7482	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ V
143	140, 141, 142	fvmpt 7022	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
144	11, 143	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
145	21, 135, 144	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659  Fun wfun 6558   Fn wfn 6559  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ∘_f cof 7721   supp csupp 8212   ↑_m cmap 8883  Fincfn 9009   finSupp cfsupp 9389  0cc0 11237  ℕcn 12373  ℕ₀cn0 12644  Basecbs 17428  ._rcmulr 17470  0_gc0g 17651   Σ_g cgsu 17652  Mndcmnd 18964  ._gcmg 19318   GrpHom cghm 19468  CMndccmn 20036  mulGrpcmgp 20402  Ringcrg 20501  CRingccrg 20502   RingHom crh 20741   mVar cmvr 22257   mPoly cmpl 22258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-hash 14514  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-prds 17659  df-pws 17661  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-mhm 19019  df-submnd 19020  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-mulg 19319  df-subg 19374  df-ghm 19469  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-cring 20504  df-rhm 20744  df-lmod 21179  df-lss 21249  df-psr 22261  df-mpl 22263

This theorem is used by:  evlslem1  22435