MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem3 22043
Description: Lemma for evlseu 22046. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem3.p ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
evlslem3.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
evlslem3.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
evlslem3.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
evlslem3.d ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
evlslem3.t ๐‘‡ = (mulGrpโ€˜๐‘†)
evlslem3.x โ†‘ = (.gโ€˜๐‘‡)
evlslem3.m ยท = (.rโ€˜๐‘†)
evlslem3.v ๐‘‰ = (๐ผ mVar ๐‘…)
evlslem3.e ๐ธ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
evlslem3.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
evlslem3.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
evlslem3.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ CRing)
evlslem3.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†))
evlslem3.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
evlslem3.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
evlslem3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ท)
evlslem3.q (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐พ)
Assertion
Ref Expression
evlslem3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))) = ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
Distinct variable groups:   ๐‘,๐‘,๐‘ฅ, 0   ๐ต,๐‘   ๐ถ,๐‘   ๐ท,๐‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐น,๐‘,๐‘   โ†‘ ,๐‘,๐‘   โ„Ž,๐‘,๐ด,๐‘,๐‘ฅ   โ„Ž,๐ผ   ๐‘ฅ,๐พ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐บ,๐‘,๐‘   ๐ป,๐‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘,๐‘   ๐‘‡,๐‘,๐‘   ยท ,๐‘,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘…
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(โ„Ž,๐‘)   ๐ต(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘)   ๐ถ(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘)   ๐ท(โ„Ž)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘…(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘†(๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐‘‡(๐‘ฅ,โ„Ž)   ยท (๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐ธ(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘,๐‘)   โ†‘ (๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐น(๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐บ(๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐ป(โ„Ž)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘,๐‘)   ๐พ(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘‰(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘Š(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘,๐‘)   0 (โ„Ž)

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem3.p . . . 4 ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
2 evlslem3.d . . . 4 ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
3 evlslem3.z . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘…)
4 evlslem3.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
5 evlslem3.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
6 evlslem3.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
7 crngring 20199 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9 evlslem3.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
10 evlslem3.q . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐พ)
11 evlslem3.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ท)
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 22029 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โˆˆ ๐ต)
13 fveq1 6901 . . . . . . . 8 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘) = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘))
1413fveq2d 6906 . . . . . . 7 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)))
1514oveq1d 7441 . . . . . 6 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
1615mpteq2dv 5254 . . . . 5 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) = (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))))
1716oveq2d 7442 . . . 4 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
18 evlslem3.e . . . 4 ๐ธ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
19 ovex 7459 . . . 4 (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))) โˆˆ V
2017, 18, 19fvmpt 7010 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
2112, 20syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
22 eqid 2728 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))
23 eqeq1 2732 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ = ๐ด โ†” ๐‘ = ๐ด))
2423ifbid 4555 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ) = if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ))
25 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ท)
263fvexi 6916 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ V)
2810, 27ifexd 4580 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) โˆˆ V)
2928adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) โˆˆ V)
3022, 24, 25, 29fvmptd3 7033 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘) = if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ))
3130fveq2d 6906 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) = (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )))
3231oveq1d 7441 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
3332mpteq2dva 5252 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) = (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))))
3433oveq2d 7442 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
35 evlslem3.c . . . 4 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
36 eqid 2728 . . . 4 (0gโ€˜๐‘†) = (0gโ€˜๐‘†)
37 evlslem3.s . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ CRing)
38 crngring 20199 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ CRing โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
40 ringmnd 20197 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ ๐‘† โˆˆ Mnd)
4139, 40syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Mnd)
42 ovex 7459 . . . . . 6 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
432, 42rabex2 5340 . . . . 5 ๐ท โˆˆ V
4443a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
4539adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
46 evlslem3.f . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†))
474, 35rhmf 20438 . . . . . . . . 9 (๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†) โ†’ ๐น:๐พโŸถ๐ถ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐พโŸถ๐ถ)
494, 3ring0cl 20217 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
508, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
5110, 50ifcld 4578 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) โˆˆ ๐พ)
5248, 51ffvelcdmd 7100 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โˆˆ ๐ถ)
5352adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โˆˆ ๐ถ)
54 evlslem3.t . . . . . . . 8 ๐‘‡ = (mulGrpโ€˜๐‘†)
5554, 35mgpbas 20094 . . . . . . 7 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘‡)
56 eqid 2728 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘‡) = (0gโ€˜๐‘‡)
5754crngmgp 20195 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
5837, 57syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
5958adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
605adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
61 evlslem3.x . . . . . . . . 9 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘‡)
62 cmnmnd 19766 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ CMnd โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Mnd)
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Mnd)
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Mnd)
65 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
66 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)
6755, 61, 64, 65, 66mulgnn0cld 19064 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐‘ฆ โ†‘ ๐‘ง) โˆˆ ๐ถ)
682psrbagf 21865 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†’ ๐‘:๐ผโŸถโ„•0)
6968adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘:๐ผโŸถโ„•0)
70 evlslem3.g . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
7170adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
72 inidm 4221 . . . . . . . 8 (๐ผ โˆฉ ๐ผ) = ๐ผ
7367, 69, 71, 60, 60, 72off 7710 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ):๐ผโŸถ๐ถ)
74 ovex 7459 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) โˆˆ V
7574a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) โˆˆ V)
7673ffund 6731 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ Fun (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))
77 fvexd 6917 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (0gโ€˜๐‘‡) โˆˆ V)
782psrbag 21864 . . . . . . . . . 10 (๐ผ โˆˆ ๐‘Š โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†” (๐‘:๐ผโŸถโ„•0 โˆง (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)))
795, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†” (๐‘:๐ผโŸถโ„•0 โˆง (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)))
8079simplbda 498 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)
8169ffnd 6728 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ Fn ๐ผ)
8281adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ๐‘ Fn ๐ผ)
8370ffnd 6728 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn ๐ผ)
8483ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ๐บ Fn ๐ผ)
855ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
86 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
8786adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
88 fnfvof 7709 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ Fn ๐ผ โˆง ๐บ Fn ๐ผ) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)))
8982, 84, 85, 87, 88syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)))
90 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘:๐ผโŸถโ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
9169, 86, 90syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
92 elnn0 12514 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = 0))
9391, 92sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = 0))
94 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•)) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))
9594adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))
9681ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ Fn ๐ผ)
9786ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
98 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
9996, 97, 98elpreimad 7073 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))
10095, 99mtand 814 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ยฌ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
10193, 100orcnd 876 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = 0)
102101oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)) = (0 โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)))
103 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ:๐ผโŸถ๐ถ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ถ)
10471, 86, 103syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ถ)
10555, 56, 61mulg0 19044 . . . . . . . . . . 11 ((๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ถ โ†’ (0 โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)) = (0gโ€˜๐‘‡))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ (0 โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)) = (0gโ€˜๐‘‡))
10789, 102, 1063eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)โ€˜๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘‡))
10873, 107suppss 8207 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) supp (0gโ€˜๐‘‡)) โІ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))
109 suppssfifsupp 9413 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) โˆง (0gโ€˜๐‘‡) โˆˆ V) โˆง ((โ—ก๐‘ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) supp (0gโ€˜๐‘‡)) โІ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) finSupp (0gโ€˜๐‘‡))
11075, 76, 77, 80, 108, 109syl32anc 1375 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) finSupp (0gโ€˜๐‘‡))
11155, 56, 59, 60, 73, 110gsumcl 19884 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ)
112 evlslem3.m . . . . . . 7 ยท = (.rโ€˜๐‘†)
11335, 112ringcl 20204 . . . . . 6 ((๐‘† โˆˆ Ring โˆง (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โˆˆ ๐ถ โˆง (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) โˆˆ ๐ถ)
11445, 53, 111, 113syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) โˆˆ ๐ถ)
115114fmpttd 7130 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))):๐ทโŸถ๐ถ)
116 eldifsnneq 4799 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด}) โ†’ ยฌ ๐‘ = ๐ด)
117116iffalsed 4543 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด}) โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) = 0 )
118117adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) = 0 )
119118fveq2d 6906 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) = (๐นโ€˜ 0 ))
120 rhmghm 20437 . . . . . . . . . . 11 (๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†))
12146, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†))
1223, 36ghmid 19190 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜ 0 ) = (0gโ€˜๐‘†))
123121, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜ 0 ) = (0gโ€˜๐‘†))
124123adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ (๐นโ€˜ 0 ) = (0gโ€˜๐‘†))
125119, 124eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) = (0gโ€˜๐‘†))
126125oveq1d 7441 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = ((0gโ€˜๐‘†) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
12739adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
128 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด}) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ท)
129128, 111sylan2 591 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ)
13035, 112, 36ringlz 20243 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ Ring โˆง (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((0gโ€˜๐‘†) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = (0gโ€˜๐‘†))
131127, 129, 130syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ ((0gโ€˜๐‘†) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = (0gโ€˜๐‘†))
132126, 131eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = (0gโ€˜๐‘†))
133132, 44suppss2 8214 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โІ {๐ด})
13435, 36, 41, 44, 11, 115, 133gsumpt 19931 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))) = ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))โ€˜๐ด))
13534, 134eqtrd 2768 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))) = ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))โ€˜๐ด))
136 iftrue 4538 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ด โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) = ๐ป)
137136fveq2d 6906 . . . . 5 (๐‘ = ๐ด โ†’ (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) = (๐นโ€˜๐ป))
138 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ด โ†’ (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) = (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))
139138oveq2d 7442 . . . . 5 (๐‘ = ๐ด โ†’ (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) = (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))
140137, 139oveq12d 7444 . . . 4 (๐‘ = ๐ด โ†’ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
141 eqid 2728 . . . 4 (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) = (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
142 ovex 7459 . . . 4 ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) โˆˆ V
143140, 141, 142fvmpt 7010 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))โ€˜๐ด) = ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
14411, 143syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))โ€˜๐ด) = ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
14521, 135, 1443eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))) = ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   โˆ– cdif 3946   โІ wss 3949  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ—กccnv 5681   โ€œ cima 5685  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆ˜f cof 7690   supp csupp 8173   โ†‘m cmap 8853  Fincfn 8972   finSupp cfsupp 9395  0cc0 11148  โ„•cn 12252  โ„•0cn0 12512  Basecbs 17189  .rcmulr 17243  0gc0g 17430   ฮฃg cgsu 17431  Mndcmnd 18703  .gcmg 19037   GrpHom cghm 19181  CMndccmn 19749  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188   RingHom crh 20422   mVar cmvr 21852   mPoly cmpl 21853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-rhm 20425  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-psr 21856  df-mpl 21858
This theorem is referenced by:  evlslem1  22045
  Copyright terms: Public domain W3C validator