MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem3 22048
Description: Lemma for evlseu 22051. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem3.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem3.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem3.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem3.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem3.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem3.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem3.x = (.g𝑇)
evlslem3.m · = (.r𝑆)
evlslem3.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem3.e 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
evlslem3.i (𝜑𝐼𝑊)
evlslem3.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evlslem3.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlslem3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem3.g (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
evlslem3.z 0 = (0g𝑅)
evlslem3.a (𝜑𝐴𝐷)
evlslem3.q (𝜑𝐻𝐾)
Assertion
Ref Expression
evlslem3 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝑥, 0   𝐵,𝑝   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏,𝑝,𝑥   𝐹,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝑝   ,𝑏,𝐴,𝑝,𝑥   ,𝐼   𝑥,𝐾   𝜑,𝑏,𝑥   𝐺,𝑏,𝑝   𝐻,𝑏,𝑝,𝑥   𝑆,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑝)   𝐵(𝑥,,𝑏)   𝐶(𝑥,,𝑝)   𝐷()   𝑃(𝑥,,𝑝,𝑏)   𝑅(,𝑝,𝑏)   𝑆(𝑥,)   𝑇(𝑥,)   · (𝑥,)   𝐸(𝑥,,𝑝,𝑏)   (𝑥,)   𝐹(𝑥,)   𝐺(𝑥,)   𝐻()   𝐼(𝑥,𝑝,𝑏)   𝐾(,𝑝,𝑏)   𝑉(𝑥,,𝑝,𝑏)   𝑊(𝑥,,𝑝,𝑏)   0 ()

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem3.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 evlslem3.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
3 evlslem3.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
4 evlslem3.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 evlslem3.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
6 evlslem3.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 crngring 20197 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 evlslem3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
10 evlslem3.q . . . 4 (𝜑𝐻𝐾)
11 evlslem3.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐷)
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 22034 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵)
13 fveq1 6895 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑝𝑏) = ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏))
1413fveq2d 6900 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝐹‘(𝑝𝑏)) = (𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)))
1514oveq1d 7434 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
1615mpteq2dv 5251 . . . . 5 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
1716oveq2d 7435 . . . 4 (𝑝 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
18 evlslem3.e . . . 4 𝐸 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
19 ovex 7452 . . . 4 (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 7004 . . 3 ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
2112, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
22 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
23 eqeq1 2729 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐴𝑏 = 𝐴))
2423ifbid 4553 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
25 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
263fvexi 6910 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑0 ∈ V)
2810, 27ifexd 4578 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
2928adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
3022, 24, 25, 29fvmptd3 7027 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
3130fveq2d 6900 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) = (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )))
3231oveq1d 7434 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
3332mpteq2dva 5249 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))))
3433oveq2d 7435 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))))
35 evlslem3.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑆)
36 eqid 2725 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
37 evlslem3.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
38 crngring 20197 . . . . . 6 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
40 ringmnd 20195 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
42 ovex 7452 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
432, 42rabex2 5337 . . . . 5 𝐷 ∈ V
4443a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
4539adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
46 evlslem3.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
474, 35rhmf 20436 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾𝐶)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐾𝐶)
494, 3ring0cl 20215 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
508, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑0𝐾)
5110, 50ifcld 4576 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ 𝐾)
5248, 51ffvelcdmd 7094 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
5352adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
54 evlslem3.t . . . . . . . 8 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
5554, 35mgpbas 20092 . . . . . . 7 𝐶 = (Base‘𝑇)
56 eqid 2725 . . . . . . 7 (0g𝑇) = (0g𝑇)
5754crngmgp 20193 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
5837, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
5958adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
605adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼𝑊)
61 evlslem3.x . . . . . . . . 9 = (.g𝑇)
62 cmnmnd 19764 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑇 ∈ Mnd)
65 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
66 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → 𝑧𝐶)
6755, 61, 64, 65, 66mulgnn0cld 19058 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑧𝐶)) → (𝑦 𝑧) ∈ 𝐶)
682psrbagf 21868 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐷𝑏:𝐼⟶ℕ0)
6968adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
70 evlslem3.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝐼𝐶)
7170adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐺:𝐼𝐶)
72 inidm 4217 . . . . . . . 8 (𝐼𝐼) = 𝐼
7367, 69, 71, 60, 60, 72off 7703 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏f 𝐺):𝐼𝐶)
74 ovex 7452 . . . . . . . . 9 (𝑏f 𝐺) ∈ V
7574a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏f 𝐺) ∈ V)
7673ffund 6727 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → Fun (𝑏f 𝐺))
77 fvexd 6911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (0g𝑇) ∈ V)
782psrbag 21867 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑊 → (𝑏𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
795, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
8079simplbda 498 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)
8169ffnd 6724 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
8281adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝑏 Fn 𝐼)
8370ffnd 6724 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
8483ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝐺 Fn 𝐼)
855ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝐼𝑊)
86 eldifi 4123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ)) → 𝑦𝐼)
8786adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → 𝑦𝐼)
88 fnfvof 7702 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 Fn 𝐼𝐺 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑊𝑦𝐼)) → ((𝑏f 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)))
8982, 84, 85, 87, 88syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏f 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)))
90 ffvelcdm 7090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏:𝐼⟶ℕ0𝑦𝐼) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ0)
9169, 86, 90syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ0)
92 elnn0 12507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑦) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0))
9391, 92sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏𝑦) = 0))
94 eldifn 4124 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
9594adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ¬ 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
9681ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑏 Fn 𝐼)
9786ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦𝐼)
98 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → (𝑏𝑦) ∈ ℕ)
9996, 97, 98elpreimad 7067 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (𝑏 “ ℕ))
10095, 99mtand 814 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ¬ (𝑏𝑦) ∈ ℕ)
10193, 100orcnd 876 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏𝑦) = 0)
102101oveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏𝑦) (𝐺𝑦)) = (0 (𝐺𝑦)))
103 ffvelcdm 7090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:𝐼𝐶𝑦𝐼) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐶)
10471, 86, 103syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐶)
10555, 56, 61mulg0 19038 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑦) ∈ 𝐶 → (0 (𝐺𝑦)) = (0g𝑇))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → (0 (𝐺𝑦)) = (0g𝑇))
10789, 102, 1063eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑏𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏f 𝐺)‘𝑦) = (0g𝑇))
10873, 107suppss 8199 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝑏f 𝐺) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑏 “ ℕ))
109 suppssfifsupp 9405 . . . . . . . 8 ((((𝑏f 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝑏f 𝐺) ∧ (0g𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑏 “ ℕ) ∈ Fin ∧ ((𝑏f 𝐺) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑏 “ ℕ))) → (𝑏f 𝐺) finSupp (0g𝑇))
11075, 76, 77, 80, 108, 109syl32anc 1375 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑏f 𝐺) finSupp (0g𝑇))
11155, 56, 59, 60, 73, 110gsumcl 19882 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶)
112 evlslem3.m . . . . . . 7 · = (.r𝑆)
11335, 112ringcl 20202 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) ∈ 𝐶)
11445, 53, 111, 113syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) ∈ 𝐶)
115114fmpttd 7124 . . . 4 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))):𝐷𝐶)
116 eldifsnneq 4796 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
117116iffalsed 4541 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
118117adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
119118fveq2d 6900 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹0 ))
120 rhmghm 20435 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
12146, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
1223, 36ghmid 19185 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
123121, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
124123adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹0 ) = (0g𝑆))
125119, 124eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (0g𝑆))
126125oveq1d 7434 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
12739adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → 𝑆 ∈ Ring)
128 eldifi 4123 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏𝐷)
129128, 111sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶)
13035, 112, 36ringlz 20241 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (0g𝑆))
131127, 129, 130syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((0g𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (0g𝑆))
132126, 131eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = (0g𝑆))
133132, 44suppss2 8206 . . . 4 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) supp (0g𝑆)) ⊆ {𝐴})
13435, 36, 41, 44, 11, 115, 133gsumpt 19929 . . 3 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))‘𝐴))
13534, 134eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))) = ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))‘𝐴))
136 iftrue 4536 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 𝐻)
137136fveq2d 6900 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹𝐻))
138 oveq1 7426 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏f 𝐺) = (𝐴f 𝐺))
139138oveq2d 7435 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺)))
140137, 139oveq12d 7437 . . . 4 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))))
141 eqid 2725 . . . 4 (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺)))) = (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))
142 ovex 7452 . . . 4 ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))) ∈ V
143140, 141, 142fvmpt 7004 . . 3 (𝐴𝐷 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))))
14411, 143syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏f 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))))
14521, 135, 1443eqtrd 2769 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴f 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ccnv 5677  cima 5681  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  f cof 7683   supp csupp 8165  m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9387  0cc0 11140  cn 12245  0cn0 12505  Basecbs 17183  .rcmulr 17237  0gc0g 17424   Σg cgsu 17425  Mndcmnd 18697  .gcmg 19031   GrpHom cghm 19175  CMndccmn 19747  mulGrpcmgp 20086  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186   RingHom crh 20420   mVar cmvr 21855   mPoly cmpl 21856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-rhm 20423  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-psr 21859  df-mpl 21861
This theorem is referenced by:  evlslem1  22050
  Copyright terms: Public domain W3C validator