Theorem evlslem3 21963

Description: Lemma for evlseu 21966. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlslem3.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem3.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem3.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem3.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem3.x	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
evlslem3.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlslem3.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem3.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlslem3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
evlslem3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlslem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlslem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
evlslem3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
evlslem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
evlslem3.q	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evlslem3	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝑥, 0   𝐵,𝑝   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏,𝑝,𝑥   𝐹,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝   ℎ,𝑏,𝐴,𝑝,𝑥   ℎ,𝐼   𝑥,𝐾   𝜑,𝑏,𝑥   𝐺,𝑏,𝑝   𝐻,𝑏,𝑝,𝑥   𝑆,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑝)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑏)   𝐶(𝑥,ℎ,𝑝)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑆(𝑥,ℎ)   𝑇(𝑥,ℎ)   · (𝑥,ℎ)   𝐸(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   ↑ (𝑥,ℎ)   𝐹(𝑥,ℎ)   𝐺(𝑥,ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐼(𝑥,𝑝,𝑏)   𝐾(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   𝑊(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   0 (ℎ)

Proof of Theorem evlslem3

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlslem3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		evlslem3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		evlslem3.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		evlslem3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		evlslem3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		evlslem3.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		crngring 20130	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		evlslem3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		evlslem3.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)
11		evlslem3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11	mplmon2cl 21951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵)
13		fveq1 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑝‘𝑏) = ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏))
14	13	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)))
15	14	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
16	15	mpteq2dv 5196	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
17	16	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
18		evlslem3.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
19		ovex 7402	. . . 4 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6950	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
21	12, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
22		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
23		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝑏 = 𝐴))
24	23	ifbid 4508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
26	3	fvexi 6854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	10, 27	ifexd 4533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
30	22, 24, 25, 29	fvmptd3 6973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
31	30	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) = (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )))
32	31	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
33	32	mpteq2dva 5195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
34	33	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
35		evlslem3.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
36		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
37		evlslem3.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
38		crngring 20130	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
40		ringmnd 20128	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
42		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
43	2, 42	rabex2 5291	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
45	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
46		evlslem3.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
47	4, 35	rhmf 20370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
49	4, 3	ring0cl 20152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
50	8, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
51	10, 50	ifcld 4531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ 𝐾)
52	48, 51	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
53	52	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
54		evlslem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
55	54, 35	mgpbas 20030	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
56		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
57	54	crngmgp 20126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
58	37, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
59	58	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
60	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑊)
61		evlslem3.x	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
62		cmnmnd 19703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
64	63	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑇 ∈ Mnd)
65		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
66		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
67	55, 61, 64, 65, 66	mulgnn0cld 19003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ↑ 𝑧) ∈ 𝐶)
68	2	psrbagf 21803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
69	68	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
70		evlslem3.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
71	70	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
72		inidm 4186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
73	67, 69, 71, 60, 60, 72	off 7651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶)
74		ovex 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V
75	74	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V)
76	73	ffund 6674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Fun (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))
77		fvexd 6855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑇) ∈ V)
78	2	psrbag 21802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
79	5, 78	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
80	79	simplbda 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)
81	69	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝑏 Fn 𝐼)
83	70	ffnd 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
84	83	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝐺 Fn 𝐼)
85	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝐼 ∈ 𝑊)
86		eldifi 4090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝑦 ∈ 𝐼)
88		fnfvof 7650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 Fn 𝐼 ∧ 𝐺 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)))
89	82, 84, 85, 87, 88	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)))
90		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0)
91	69, 86, 90	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0)
92		elnn0 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏‘𝑦) = 0))
93	91, 92	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏‘𝑦) = 0))
94		eldifn 4091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ)) → ¬ 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ¬ 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
96	81	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑏 Fn 𝐼)
97	86	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ 𝐼)
98		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ)
99	96, 97, 98	elpreimad 7013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
100	95, 99	mtand 815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ¬ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ)
101	93, 100	orcnd 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏‘𝑦) = 0)
102	101	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0 ↑ (𝐺‘𝑦)))
103		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:𝐼⟶𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶)
104	71, 86, 103	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶)
105	55, 56, 61	mulg0 18982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶 → (0 ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0g‘𝑇))
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (0 ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0g‘𝑇))
107	89, 102, 106	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = (0g‘𝑇))
108	73, 107	suppss 8150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (◡𝑏 “ ℕ))
109		suppssfifsupp 9307	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∧ (0g‘𝑇) ∈ V) ∧ ((◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
110	75, 76, 77, 80, 108, 109	syl32anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
111	55, 56, 59, 60, 73, 110	gsumcl 19821	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
112		evlslem3.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
113	35, 112	ringcl 20135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ 𝐶)
114	45, 53, 111, 113	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ 𝐶)
115	114	fmpttd 7069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
116		eldifsnneq 4751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
117	116	iffalsed 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
118	117	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
119	118	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹‘ 0 ))
120		rhmghm 20369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
121	46, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
122	3, 36	ghmid 19130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
124	123	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
125	119, 124	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (0g‘𝑆))
126	125	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
127	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → 𝑆 ∈ Ring)
128		eldifi 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
129	128, 111	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
130	35, 112, 36	ringlz 20178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
131	127, 129, 130	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
132	126, 131	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
133	132, 44	suppss2 8156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ {𝐴})
134	35, 36, 41, 44, 11, 115, 133	gsumpt 19868	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴))
135	34, 134	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴))
136		iftrue 4490	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 𝐻)
137	136	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹‘𝐻))
138		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) = (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))
139	138	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺)))
140	137, 139	oveq12d 7387	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
141		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
142		ovex 7402	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ V
143	140, 141, 142	fvmpt 6950	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
144	11, 143	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
145	21, 135, 144	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  ifcif 4484  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  Fun wfun 6493   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631   supp csupp 8116   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9288  0cc0 11044  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  Mndcmnd 18637  ._gcmg 18975   GrpHom cghm 19120  CMndccmn 19686  mulGrpcmgp 20025  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354   mVar cmvr 21790   mPoly cmpl 21791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-rhm 20357  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-psr 21794  df-mpl 21796

This theorem is referenced by:  evlslem1  21965