MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlslem3 21985
Description: Lemma for evlseu 21988. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem3.p ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
evlslem3.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
evlslem3.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
evlslem3.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
evlslem3.d ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
evlslem3.t ๐‘‡ = (mulGrpโ€˜๐‘†)
evlslem3.x โ†‘ = (.gโ€˜๐‘‡)
evlslem3.m ยท = (.rโ€˜๐‘†)
evlslem3.v ๐‘‰ = (๐ผ mVar ๐‘…)
evlslem3.e ๐ธ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
evlslem3.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
evlslem3.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
evlslem3.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ CRing)
evlslem3.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†))
evlslem3.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
evlslem3.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
evlslem3.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ท)
evlslem3.q (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐พ)
Assertion
Ref Expression
evlslem3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))) = ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
Distinct variable groups:   ๐‘,๐‘,๐‘ฅ, 0   ๐ต,๐‘   ๐ถ,๐‘   ๐ท,๐‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐น,๐‘,๐‘   โ†‘ ,๐‘,๐‘   โ„Ž,๐‘,๐ด,๐‘,๐‘ฅ   โ„Ž,๐ผ   ๐‘ฅ,๐พ   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐บ,๐‘,๐‘   ๐ป,๐‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘,๐‘   ๐‘‡,๐‘,๐‘   ยท ,๐‘,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘…
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(โ„Ž,๐‘)   ๐ต(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘)   ๐ถ(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘)   ๐ท(โ„Ž)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘…(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘†(๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐‘‡(๐‘ฅ,โ„Ž)   ยท (๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐ธ(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘,๐‘)   โ†‘ (๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐น(๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐บ(๐‘ฅ,โ„Ž)   ๐ป(โ„Ž)   ๐ผ(๐‘ฅ,๐‘,๐‘)   ๐พ(โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘‰(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘,๐‘)   ๐‘Š(๐‘ฅ,โ„Ž,๐‘,๐‘)   0 (โ„Ž)

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem3.p . . . 4 ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
2 evlslem3.d . . . 4 ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
3 evlslem3.z . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘…)
4 evlslem3.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
5 evlslem3.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
6 evlslem3.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
7 crngring 20150 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9 evlslem3.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
10 evlslem3.q . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐พ)
11 evlslem3.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ท)
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 21971 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โˆˆ ๐ต)
13 fveq1 6884 . . . . . . . 8 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘) = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘))
1413fveq2d 6889 . . . . . . 7 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) = (๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)))
1514oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
1615mpteq2dv 5243 . . . . 5 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) = (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))))
1716oveq2d 7421 . . . 4 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
18 evlslem3.e . . . 4 ๐ธ = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜(๐‘โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
19 ovex 7438 . . . 4 (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))) โˆˆ V
2017, 18, 19fvmpt 6992 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
2112, 20syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
22 eqid 2726 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 )) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))
23 eqeq1 2730 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ = ๐ด โ†” ๐‘ = ๐ด))
2423ifbid 4546 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ) = if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ))
25 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ท)
263fvexi 6899 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ V)
2810, 27ifexd 4571 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) โˆˆ V)
2928adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) โˆˆ V)
3022, 24, 25, 29fvmptd3 7015 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘) = if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ))
3130fveq2d 6889 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) = (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )))
3231oveq1d 7420 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
3332mpteq2dva 5241 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) = (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))))
3433oveq2d 7421 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))) = (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))))
35 evlslem3.c . . . 4 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
36 eqid 2726 . . . 4 (0gโ€˜๐‘†) = (0gโ€˜๐‘†)
37 evlslem3.s . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ CRing)
38 crngring 20150 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ CRing โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
40 ringmnd 20148 . . . . 5 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ ๐‘† โˆˆ Mnd)
4139, 40syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Mnd)
42 ovex 7438 . . . . . 6 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
432, 42rabex2 5327 . . . . 5 ๐ท โˆˆ V
4443a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
4539adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
46 evlslem3.f . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†))
474, 35rhmf 20387 . . . . . . . . 9 (๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†) โ†’ ๐น:๐พโŸถ๐ถ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐พโŸถ๐ถ)
494, 3ring0cl 20166 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
508, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
5110, 50ifcld 4569 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) โˆˆ ๐พ)
5248, 51ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โˆˆ ๐ถ)
5352adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โˆˆ ๐ถ)
54 evlslem3.t . . . . . . . 8 ๐‘‡ = (mulGrpโ€˜๐‘†)
5554, 35mgpbas 20045 . . . . . . 7 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘‡)
56 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘‡) = (0gโ€˜๐‘‡)
5754crngmgp 20146 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ CRing โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
5837, 57syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
5958adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ CMnd)
605adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
61 evlslem3.x . . . . . . . . 9 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘‡)
62 cmnmnd 19717 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‡ โˆˆ CMnd โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Mnd)
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Mnd)
6463ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ Mnd)
65 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
66 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)
6755, 61, 64, 65, 66mulgnn0cld 19022 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐‘ฆ โ†‘ ๐‘ง) โˆˆ ๐ถ)
682psrbagf 21812 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†’ ๐‘:๐ผโŸถโ„•0)
6968adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘:๐ผโŸถโ„•0)
70 evlslem3.g . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
7170adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐บ:๐ผโŸถ๐ถ)
72 inidm 4213 . . . . . . . 8 (๐ผ โˆฉ ๐ผ) = ๐ผ
7367, 69, 71, 60, 60, 72off 7685 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ):๐ผโŸถ๐ถ)
74 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) โˆˆ V
7574a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) โˆˆ V)
7673ffund 6715 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ Fun (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))
77 fvexd 6900 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (0gโ€˜๐‘‡) โˆˆ V)
782psrbag 21811 . . . . . . . . . 10 (๐ผ โˆˆ ๐‘Š โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†” (๐‘:๐ผโŸถโ„•0 โˆง (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)))
795, 78syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†” (๐‘:๐ผโŸถโ„•0 โˆง (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)))
8079simplbda 499 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)
8169ffnd 6712 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘ Fn ๐ผ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ๐‘ Fn ๐ผ)
8370ffnd 6712 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐บ Fn ๐ผ)
8483ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ๐บ Fn ๐ผ)
855ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
86 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
88 fnfvof 7684 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ Fn ๐ผ โˆง ๐บ Fn ๐ผ) โˆง (๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)))
8982, 84, 85, 87, 88syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)))
90 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘:๐ผโŸถโ„•0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
9169, 86, 90syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
92 elnn0 12478 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = 0))
9391, 92sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = 0))
94 eldifn 4122 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•)) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))
9681ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ Fn ๐ผ)
9786ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
98 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
9996, 97, 98elpreimad 7054 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โˆง (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))
10095, 99mtand 813 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ยฌ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
10193, 100orcnd 875 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ (๐‘โ€˜๐‘ฆ) = 0)
102101oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฆ) โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)) = (0 โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)))
103 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ:๐ผโŸถ๐ถ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ถ)
10471, 86, 103syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ถ)
10555, 56, 61mulg0 19002 . . . . . . . . . . 11 ((๐บโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ถ โ†’ (0 โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)) = (0gโ€˜๐‘‡))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ (0 โ†‘ (๐บโ€˜๐‘ฆ)) = (0gโ€˜๐‘‡))
10789, 102, 1063eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)โ€˜๐‘ฆ) = (0gโ€˜๐‘‡))
10873, 107suppss 8179 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) supp (0gโ€˜๐‘‡)) โІ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))
109 suppssfifsupp 9380 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) โˆง (0gโ€˜๐‘‡) โˆˆ V) โˆง ((โ—ก๐‘ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) supp (0gโ€˜๐‘‡)) โІ (โ—ก๐‘ โ€œ โ„•))) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) finSupp (0gโ€˜๐‘‡))
11075, 76, 77, 80, 108, 109syl32anc 1375 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) finSupp (0gโ€˜๐‘‡))
11155, 56, 59, 60, 73, 110gsumcl 19835 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ)
112 evlslem3.m . . . . . . 7 ยท = (.rโ€˜๐‘†)
11335, 112ringcl 20155 . . . . . 6 ((๐‘† โˆˆ Ring โˆง (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) โˆˆ ๐ถ โˆง (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) โˆˆ ๐ถ)
11445, 53, 111, 113syl3anc 1368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) โˆˆ ๐ถ)
115114fmpttd 7110 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))):๐ทโŸถ๐ถ)
116 eldifsnneq 4789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด}) โ†’ ยฌ ๐‘ = ๐ด)
117116iffalsed 4534 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด}) โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) = 0 )
118117adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) = 0 )
119118fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) = (๐นโ€˜ 0 ))
120 rhmghm 20386 . . . . . . . . . . 11 (๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†) โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†))
12146, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†))
1223, 36ghmid 19147 . . . . . . . . . 10 (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†) โ†’ (๐นโ€˜ 0 ) = (0gโ€˜๐‘†))
123121, 122syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜ 0 ) = (0gโ€˜๐‘†))
124123adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ (๐นโ€˜ 0 ) = (0gโ€˜๐‘†))
125119, 124eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) = (0gโ€˜๐‘†))
126125oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = ((0gโ€˜๐‘†) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
12739adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
128 eldifi 4121 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด}) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ท)
129128, 111sylan2 592 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ)
13035, 112, 36ringlz 20192 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ Ring โˆง (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((0gโ€˜๐‘†) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = (0gโ€˜๐‘†))
131127, 129, 130syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ ((0gโ€˜๐‘†) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = (0gโ€˜๐‘†))
132126, 131eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (๐ท โˆ– {๐ด})) โ†’ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = (0gโ€˜๐‘†))
133132, 44suppss2 8186 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) supp (0gโ€˜๐‘†)) โІ {๐ด})
13435, 36, 41, 44, 11, 115, 133gsumpt 19882 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))) = ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))โ€˜๐ด))
13534, 134eqtrd 2766 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))โ€˜๐‘)) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))) = ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))โ€˜๐ด))
136 iftrue 4529 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ด โ†’ if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 ) = ๐ป)
137136fveq2d 6889 . . . . 5 (๐‘ = ๐ด โ†’ (๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) = (๐นโ€˜๐ป))
138 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ด โ†’ (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ) = (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))
139138oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ = ๐ด โ†’ (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)) = (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))
140137, 139oveq12d 7423 . . . 4 (๐‘ = ๐ด โ†’ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) = ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
141 eqid 2726 . . . 4 (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ)))) = (๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
142 ovex 7438 . . . 4 ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))) โˆˆ V
143140, 141, 142fvmpt 6992 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐ท โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))โ€˜๐ด) = ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
14411, 143syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ((๐นโ€˜if(๐‘ = ๐ด, ๐ป, 0 )) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐‘ โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))โ€˜๐ด) = ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
14521, 135, 1443eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜(๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฅ = ๐ด, ๐ป, 0 ))) = ((๐นโ€˜๐ป) ยท (๐‘‡ ฮฃg (๐ด โˆ˜f โ†‘ ๐บ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940   โІ wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ—กccnv 5668   โ€œ cima 5672  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665   supp csupp 8146   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  0cc0 11112  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394   ฮฃg cgsu 17395  Mndcmnd 18667  .gcmg 18995   GrpHom cghm 19138  CMndccmn 19700  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371   mVar cmvr 21799   mPoly cmpl 21800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-psr 21803  df-mpl 21805
This theorem is referenced by:  evlslem1  21987
  Copyright terms: Public domain W3C validator