Theorem evlslem3 22056

Description: Lemma for evlseu 22059. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlslem3.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem3.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem3.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem3.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem3.x	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
evlslem3.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlslem3.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem3.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlslem3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
evlslem3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlslem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlslem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
evlslem3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
evlslem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
evlslem3.q	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evlslem3	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝑥, 0   𝐵,𝑝   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏,𝑝,𝑥   𝐹,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝   ℎ,𝑏,𝐴,𝑝,𝑥   ℎ,𝐼   𝑥,𝐾   𝜑,𝑏,𝑥   𝐺,𝑏,𝑝   𝐻,𝑏,𝑝,𝑥   𝑆,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑝)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑏)   𝐶(𝑥,ℎ,𝑝)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑆(𝑥,ℎ)   𝑇(𝑥,ℎ)   · (𝑥,ℎ)   𝐸(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   ↑ (𝑥,ℎ)   𝐹(𝑥,ℎ)   𝐺(𝑥,ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐼(𝑥,𝑝,𝑏)   𝐾(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   𝑊(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   0 (ℎ)

Proof of Theorem evlslem3

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlslem3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		evlslem3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		evlslem3.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		evlslem3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		evlslem3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		evlslem3.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		crngring 20217	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		evlslem3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		evlslem3.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)
11		evlslem3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11	mplmon2cl 22044	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵)
13		fveq1 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑝‘𝑏) = ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏))
14	13	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)))
15	14	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
16	15	mpteq2dv 5166	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
17	16	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
18		evlslem3.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
19		ovex 7389	. . . 4 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
21	12, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
22		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
23		eqeq1 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝑏 = 𝐴))
24	23	ifbid 4478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
25		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
26	3	fvexi 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	10, 27	ifexd 4503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
30	22, 24, 25, 29	fvmptd3 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
31	30	fveq2d 6831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) = (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )))
32	31	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
33	32	mpteq2dva 5165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
34	33	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
35		evlslem3.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
36		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
37		evlslem3.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
38		crngring 20217	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
40		ringmnd 20215	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
42		ovex 7389	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
43	2, 42	rabex2 5269	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
45	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
46		evlslem3.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
47	4, 35	rhmf 20455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
49	4, 3	ring0cl 20239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
50	8, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
51	10, 50	ifcld 4501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ 𝐾)
52	48, 51	ffvelcdmd 7026	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
53	52	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
54		evlslem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
55	54, 35	mgpbas 20117	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
56		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
57	54	crngmgp 20213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
58	37, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
59	58	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
60	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑊)
61		evlslem3.x	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
62		cmnmnd 19763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
64	63	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑇 ∈ Mnd)
65		simprl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
66		simprr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
67	55, 61, 64, 65, 66	mulgnn0cld 19062	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ↑ 𝑧) ∈ 𝐶)
68	2	psrbagf 21893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
69	68	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
70		evlslem3.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
71	70	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
72		inidm 4155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
73	67, 69, 71, 60, 60, 72	off 7638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶)
74		ovex 7389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V
75	74	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V)
76	73	ffund 6659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Fun (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))
77		fvexd 6842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑇) ∈ V)
78	2	psrbag 21892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
79	5, 78	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
80	79	simplbda 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)
81	69	ffnd 6656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝑏 Fn 𝐼)
83	70	ffnd 6656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
84	83	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝐺 Fn 𝐼)
85	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝐼 ∈ 𝑊)
86		eldifi 4061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝑦 ∈ 𝐼)
88		fnfvof 7637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 Fn 𝐼 ∧ 𝐺 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)))
89	82, 84, 85, 87, 88	syl22anc 844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)))
90		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0)
91	69, 86, 90	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0)
92		elnn0 12430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏‘𝑦) = 0))
93	91, 92	sylib 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏‘𝑦) = 0))
94		eldifn 4062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ)) → ¬ 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ¬ 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
96	81	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑏 Fn 𝐼)
97	86	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ 𝐼)
98		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ)
99	96, 97, 98	elpreimad 7000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
100	95, 99	mtand 821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ¬ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ)
101	93, 100	orcnd 884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏‘𝑦) = 0)
102	101	oveq1d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0 ↑ (𝐺‘𝑦)))
103		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:𝐼⟶𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶)
104	71, 86, 103	syl2an 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶)
105	55, 56, 61	mulg0 19041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶 → (0 ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0g‘𝑇))
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (0 ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0g‘𝑇))
107	89, 102, 106	3eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = (0g‘𝑇))
108	73, 107	suppss 8134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (◡𝑏 “ ℕ))
109		suppssfifsupp 9283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∧ (0g‘𝑇) ∈ V) ∧ ((◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
110	75, 76, 77, 80, 108, 109	syl32anc 1386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
111	55, 56, 59, 60, 73, 110	gsumcl 19881	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
112		evlslem3.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
113	35, 112	ringcl 20222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ 𝐶)
114	45, 53, 111, 113	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ 𝐶)
115	114	fmpttd 7056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
116		eldifsnneq 4724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
117	116	iffalsed 4465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
118	117	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
119	118	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹‘ 0 ))
120		rhmghm 20454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
121	46, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
122	3, 36	ghmid 19188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
124	123	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
125	119, 124	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (0g‘𝑆))
126	125	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
127	39	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → 𝑆 ∈ Ring)
128		eldifi 4061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
129	128, 111	sylan2 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
130	35, 112, 36	ringlz 20265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
131	127, 129, 130	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
132	126, 131	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
133	132, 44	suppss2 8140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ {𝐴})
134	35, 36, 41, 44, 11, 115, 133	gsumpt 19928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴))
135	34, 134	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴))
136		iftrue 4460	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 𝐻)
137	136	fveq2d 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹‘𝐻))
138		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) = (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))
139	138	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺)))
140	137, 139	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
141		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
142		ovex 7389	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ V
143	140, 141, 142	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
144	11, 143	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
145	21, 135, 144	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4454  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621  Fun wfun 6479   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   supp csupp 8100   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19034   GrpHom cghm 19178  CMndccmn 19746  mulGrpcmgp 20112  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206   RingHom crh 20440   mVar cmvr 21880   mPoly cmpl 21881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-psr 21884  df-mpl 21886

This theorem is referenced by:  evlslem1  22058