Theorem evlslem3 21200

Description: Lemma for evlseu 21203. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlslem3.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
evlslem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlslem3.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
evlslem3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evlslem3.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlslem3.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
evlslem3.x	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
evlslem3.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlslem3.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
evlslem3.e	⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
evlslem3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
evlslem3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evlslem3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlslem3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
evlslem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
evlslem3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
evlslem3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
evlslem3.q	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evlslem3	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑏,𝑥, 0   𝐵,𝑝   𝐶,𝑏   𝐷,𝑏,𝑝,𝑥   𝐹,𝑏,𝑝   ↑ ,𝑏,𝑝   ℎ,𝑏,𝐴,𝑝,𝑥   ℎ,𝐼   𝑥,𝐾   𝜑,𝑏,𝑥   𝐺,𝑏,𝑝   𝐻,𝑏,𝑝,𝑥   𝑆,𝑏,𝑝   𝑇,𝑏,𝑝   · ,𝑏,𝑝   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑝)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑏)   𝐶(𝑥,ℎ,𝑝)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   𝑅(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑆(𝑥,ℎ)   𝑇(𝑥,ℎ)   · (𝑥,ℎ)   𝐸(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   ↑ (𝑥,ℎ)   𝐹(𝑥,ℎ)   𝐺(𝑥,ℎ)   𝐻(ℎ)   𝐼(𝑥,𝑝,𝑏)   𝐾(ℎ,𝑝,𝑏)   𝑉(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   𝑊(𝑥,ℎ,𝑝,𝑏)   0 (ℎ)

Proof of Theorem evlslem3

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlslem3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		evlslem3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
3		evlslem3.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		evlslem3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		evlslem3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		evlslem3.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		crngring 19710	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		evlslem3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		evlslem3.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐾)
11		evlslem3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11	mplmon2cl 21186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵)
13		fveq1 6755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑝‘𝑏) = ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏))
14	13	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝐹‘(𝑝‘𝑏)) = (𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)))
15	14	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
16	15	mpteq2dv 5172	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
17	16	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
18		evlslem3.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘(𝑝‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
19		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6857	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
21	12, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
22		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
23		eqeq1 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝑏 = 𝐴))
24	23	ifbid 4479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
26	3	fvexi 6770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	10, 27	ifexd 4504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ V)
30	22, 24, 25, 29	fvmptd3 6880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏) = if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ))
31	30	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) = (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )))
32	31	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
33	32	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))))
34	33	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))))
35		evlslem3.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
36		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
37		evlslem3.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
38		crngring 19710	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
40		ringmnd 19708	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
41	39, 40	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
42		ovex 7288	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
43	2, 42	rabex2 5253	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
45	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
46		evlslem3.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
47	4, 35	rhmf 19885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
49	4, 3	ring0cl 19723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐾)
50	8, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐾)
51	10, 50	ifcld 4502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) ∈ 𝐾)
52	48, 51	ffvelrnd 6944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
53	52	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶)
54		evlslem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑆)
55	54, 35	mgpbas 19641	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
56		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
57	54	crngmgp 19706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
58	37, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
59	58	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑇 ∈ CMnd)
60	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑊)
61		cmnmnd 19317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
62	58, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
63	62	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑇 ∈ Mnd)
64		simprl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
65		simprr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
66		evlslem3.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
67	55, 66	mulgnn0cl 18635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑦 ↑ 𝑧) ∈ 𝐶)
68	63, 64, 65, 67	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → (𝑦 ↑ 𝑧) ∈ 𝐶)
69	2	psrbagf 21031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
70	69	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
71		evlslem3.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
72	71	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐺:𝐼⟶𝐶)
73		inidm 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
74	68, 70, 72, 60, 60, 73	off 7529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺):𝐼⟶𝐶)
75		ovex 7288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V)
77	74	ffund 6588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → Fun (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))
78		fvexd 6771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑇) ∈ V)
79	2	psrbag 21030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
80	5, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↔ (𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)))
81	80	simplbda 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin)
82	70	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 Fn 𝐼)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝑏 Fn 𝐼)
84	71	ffnd 6585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
85	84	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝐺 Fn 𝐼)
86	5	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝐼 ∈ 𝑊)
87		eldifi 4057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → 𝑦 ∈ 𝐼)
89		fnfvof 7528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 Fn 𝐼 ∧ 𝐺 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼)) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)))
90	83, 85, 86, 88, 89	syl22anc 835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)))
91		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0)
92	70, 87, 91	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0)
93		elnn0 12165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏‘𝑦) = 0))
94	92, 93	sylib 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏‘𝑦) ∈ ℕ ∨ (𝑏‘𝑦) = 0))
95		eldifn 4058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ)) → ¬ 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ¬ 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
97	82	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑏 Fn 𝐼)
98	87	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ 𝐼)
99		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ)
100	97, 98, 99	elpreimad 6918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) ∧ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (◡𝑏 “ ℕ))
101	96, 100	mtand 812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ¬ (𝑏‘𝑦) ∈ ℕ)
102	94, 101	orcnd 875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏‘𝑦) = 0)
103	102	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏‘𝑦) ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0 ↑ (𝐺‘𝑦)))
104		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺:𝐼⟶𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶)
105	72, 87, 104	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶)
106	55, 56, 66	mulg0 18622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘𝑦) ∈ 𝐶 → (0 ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0g‘𝑇))
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → (0 ↑ (𝐺‘𝑦)) = (0g‘𝑇))
108	90, 103, 107	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐼 ∖ (◡𝑏 “ ℕ))) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺)‘𝑦) = (0g‘𝑇))
109	74, 108	suppss 7981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (◡𝑏 “ ℕ))
110		suppssfifsupp 9073	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∈ V ∧ Fun (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) ∧ (0g‘𝑇) ∈ V) ∧ ((◡𝑏 “ ℕ) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∘f ↑ 𝐺) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (◡𝑏 “ ℕ))) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
111	76, 77, 78, 81, 109, 110	syl32anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) finSupp (0g‘𝑇))
112	55, 56, 59, 60, 74, 111	gsumcl 19431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
113		evlslem3.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
114	35, 113	ringcl 19715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) ∈ 𝐶 ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ 𝐶)
115	45, 53, 112, 114	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ 𝐶)
116	115	fmpttd 6971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))):𝐷⟶𝐶)
117		eldifsnneq 4721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → ¬ 𝑏 = 𝐴)
118	117	iffalsed 4467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
119	118	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 0 )
120	119	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹‘ 0 ))
121		rhmghm 19884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
122	46, 121	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
123	3, 36	ghmid 18755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
125	124	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑆))
126	120, 125	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (0g‘𝑆))
127	126	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
128	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → 𝑆 ∈ Ring)
129		eldifi 4057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴}) → 𝑏 ∈ 𝐷)
130	129, 112	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶)
131	35, 113, 36	ringlz 19741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) ∈ 𝐶) → ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
132	128, 130, 131	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((0g‘𝑆) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
133	127, 132	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ {𝐴})) → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = (0g‘𝑆))
134	133, 44	suppss2 7987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ {𝐴})
135	35, 36, 41, 44, 11, 116, 134	gsumpt 19478	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴))
136	34, 135	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))‘𝑏)) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))) = ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴))
137		iftrue 4462	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 ) = 𝐻)
138	137	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) = (𝐹‘𝐻))
139		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 ∘f ↑ 𝐺) = (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))
140	139	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)) = (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺)))
141	138, 140	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
142		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺)))) = (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))
143		ovex 7288	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))) ∈ V
144	141, 142, 143	fvmpt 6857	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
145	11, 144	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘if(𝑏 = 𝐴, 𝐻, 0 )) · (𝑇 Σg (𝑏 ∘f ↑ 𝐺))))‘𝐴) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))
146	21, 136, 145	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐻, 0 ))) = ((𝐹‘𝐻) · (𝑇 Σg (𝐴 ∘f ↑ 𝐺))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   supp csupp 7948   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058  0cc0 10802  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  ._gcmg 18615   GrpHom cghm 18746  CMndccmn 19301  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699   RingHom crh 19871   mVar cmvr 21018   mPoly cmpl 21019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-psr 21022  df-mpl 21024

This theorem is referenced by:  evlslem1  21202