Theorem ply1degleel 33674

Description: Characterize elementhood in the set 𝑆 of polynomials of degree less than 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltlss.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltlss.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1degltlss.1	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltlss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1degltel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1degleel	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))

Proof of Theorem ply1degleel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 = (0g‘𝑃))
2		ply1degltlss.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1degltlss.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1degltel.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	2, 3, 4	deg1xrf 26060	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶ℝ*)
7	6	ffnd 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn 𝐵)
8		ply1degltlss.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	3	ply1ring 22225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
11	4, 10	ring0cl 20243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
13	2, 3, 10	deg1z 26066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
15		mnfxr 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
17		ply1degltlss.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
20	16	xrleidd 13098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ -∞)
21	18	mnfltd 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑁)
22	16, 19, 16, 20, 21	elicod 13343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
23	14, 22	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) ∈ (-∞[,)𝑁))
24	7, 12, 23	elpreimad 7007	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
25		ply1degltlss.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
26	24, 25	eleqtrrdi 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
28	1, 27	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑆)
29		cnvimass 6043	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ⊆ dom 𝐷
30	25, 29	eqsstri 3969	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ dom 𝐷
31	5	fdmi 6675	. . . . 5 ⊢ dom 𝐷 = 𝐵
32	30, 31	sseqtri 3971	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐵
33	32, 28	sselid 3920	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
34	1	fveq2d 6840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(0g‘𝑃)))
35	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
36	34, 35	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) = -∞)
37	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝑁 ∈ ℝ)
38	37	mnfltd 13070	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → -∞ < 𝑁)
39	36, 38	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) < 𝑁)
40		pm5.1 824	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
41	28, 33, 39, 40	syl12anc 837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
42	25	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
43	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 Fn 𝐵)
44		elpreima 7006	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Fn 𝐵 → (𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
46	42, 45	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
47	8	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
49		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
50	2, 3, 10, 4	deg1nn0cl 26067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
51	47, 48, 49, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
52	51	nn0red 12494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
53	52	rexrd 11190	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
54	53	mnfled 13082	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → -∞ ≤ (𝐷‘𝐹))
55	53, 54	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)))
56	19	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℝ*)
57		elico1 13336	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
58	15, 56, 57	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
59		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁) ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁))
60	58, 59	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
61	55, 60	mpbirand 708	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (𝐷‘𝐹) < 𝑁))
62	61	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
63	46, 62	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
64	41, 63	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5625  dom cdm 5626   “ cima 5629   Fn wfn 6489  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  -∞cmnf 11172  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℕ₀cn0 12432  [,)cico 13295  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  Ringcrg 20209  Poly₁cpl1 22154  deg₁cdg1 26033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-cnfld 21349  df-psr 21903  df-mpl 21905  df-opsr 21907  df-psr1 22157  df-ply1 22159  df-mdeg 26034  df-deg1 26035

This theorem is referenced by:  algextdeglem7  33887  algextdeglem8  33888