Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1degleel Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ply1degleel 32941
Description: Characterize elementhood in the set 𝑆 of polynomials of degree less than 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1degltlss.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1degltlss.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ply1degltlss.1 𝑆 = (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
ply1degltlss.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
ply1degltel.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
ply1degleel (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
Proof of Theorem ply1degleel
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ))
2 ply1degltlss.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
3 ply1degltlss.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
4 ply1degltel.1 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
52, 3, 4deg1xrf 25834 . . . . . . . . 9 𝐷:π΅βŸΆβ„*
65a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷:π΅βŸΆβ„*)
76ffnd 6717 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn 𝐡)
8 ply1degltlss.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
93ply1ring 21990 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
10 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
114, 10ring0cl 20155 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
128, 9, 113syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
132, 3, 10deg1z 25840 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
148, 13syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
15 mnfxr 11275 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
17 ply1degltlss.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1817nn0red 12537 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
1918rexrd 11268 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
2016xrleidd 13135 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ ≀ -∞)
2118mnfltd 13108 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -∞ < 𝑁)
2216, 19, 16, 20, 21elicod 13378 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
2314, 22eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) ∈ (-∞[,)𝑁))
247, 12, 23elpreimad 7059 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)))
25 ply1degltlss.1 . . . . . 6 𝑆 = (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁))
2624, 25eleqtrrdi 2842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑆)
2726adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑆)
281, 27eqeltrd 2831 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
29 cnvimass 6079 . . . . . 6 (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)) βŠ† dom 𝐷
3025, 29eqsstri 4015 . . . . 5 𝑆 βŠ† dom 𝐷
315fdmi 6728 . . . . 5 dom 𝐷 = 𝐡
3230, 31sseqtri 4017 . . . 4 𝑆 βŠ† 𝐡
3332, 28sselid 3979 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
341fveq2d 6894 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜πΉ) = (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)))
3514adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜(0gβ€˜π‘ƒ)) = -∞)
3634, 35eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜πΉ) = -∞)
3718adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3837mnfltd 13108 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ -∞ < 𝑁)
3936, 38eqbrtrd 5169 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)
40 pm5.1 820 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
4128, 33, 39, 40syl12anc 833 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
4225eleq2i 2823 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)))
437adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐷 Fn 𝐡)
44 elpreima 7058 . . . . 5 (𝐷 Fn 𝐡 β†’ (𝐹 ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁))))
4543, 44syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ (◑𝐷 β€œ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁))))
4642, 45bitrid 282 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁))))
478ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
48 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
49 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
502, 3, 10, 4deg1nn0cl 25841 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
5147, 48, 49, 50syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
5251nn0red 12537 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5352rexrd 11268 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
5453mnfled 13119 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ))
5553, 54jca 510 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ)))
5619ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ ℝ*)
57 elico1 13371 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
5815, 56, 57sylancr 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
59 df-3an 1087 . . . . . 6 (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁) ↔ (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ)) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁))
6058, 59bitrdi 286 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (((π·β€˜πΉ) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ (π·β€˜πΉ)) ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
6155, 60mpbirand 703 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (π·β€˜πΉ) < 𝑁))
6261pm5.32da 577 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
6346, 62bitrd 278 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
6441, 63pm2.61dane 3027 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) < 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  [,)cico 13330  Basecbs 17148  0gc0g 17389  Ringcrg 20127  Poly1cpl1 21920   deg1 cdg1 25804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-cnfld 21145  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-ply1 21925  df-mdeg 25805  df-deg1 25806
This theorem is referenced by:  algextdeglem7  33068  algextdeglem8  33069
  Copyright terms: Public domain W3C validator