Theorem ply1degleel 32956

Description: Characterize elementhood in the set 𝑆 of polynomials of degree less than 𝑁. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1degltlss.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1degltlss.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
ply1degltlss.1	⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
ply1degltlss.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ply1degltlss.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1degltel.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1degleel	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))

Proof of Theorem ply1degleel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 = (0g‘𝑃))
2		ply1degltlss.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3		ply1degltlss.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1degltel.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	2, 3, 4	deg1xrf 25848	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶ℝ*)
7	6	ffnd 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn 𝐵)
8		ply1degltlss.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	3	ply1ring 22003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
11	4, 10	ring0cl 20159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
12	8, 9, 11	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝐵)
13	2, 3, 10	deg1z 25854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
15		mnfxr 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
17		ply1degltlss.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	nn0red 12540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ*)
20	16	xrleidd 13138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ ≤ -∞)
21	18	mnfltd 13111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -∞ < 𝑁)
22	16, 19, 16, 20, 21	elicod 13381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -∞ ∈ (-∞[,)𝑁))
23	14, 22	eqeltrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0g‘𝑃)) ∈ (-∞[,)𝑁))
24	7, 12, 23	elpreimad 7060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
25		ply1degltlss.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁))
26	24, 25	eleqtrrdi 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (0g‘𝑃) ∈ 𝑆)
28	1, 27	eqeltrd 2832	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑆)
29		cnvimass 6080	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ⊆ dom 𝐷
30	25, 29	eqsstri 4016	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ dom 𝐷
31	5	fdmi 6729	. . . . 5 ⊢ dom 𝐷 = 𝐵
32	30, 31	sseqtri 4018	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝐵
33	32, 28	sselid 3980	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
34	1	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(0g‘𝑃)))
35	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘(0g‘𝑃)) = -∞)
36	34, 35	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) = -∞)
37	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → 𝑁 ∈ ℝ)
38	37	mnfltd 13111	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → -∞ < 𝑁)
39	36, 38	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) < 𝑁)
40		pm5.1 821	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
41	28, 33, 39, 40	syl12anc 834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 = (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
42	25	eleq2i 2824	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ 𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)))
43	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → 𝐷 Fn 𝐵)
44		elpreima 7059	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Fn 𝐵 → (𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ (◡𝐷 “ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
46	42, 45	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁))))
47	8	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
49		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝐹 ≠ (0g‘𝑃))
50	2, 3, 10, 4	deg1nn0cl 25855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
51	47, 48, 49, 50	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
52	51	nn0red 12540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ)
53	52	rexrd 11271	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
54	53	mnfled 13122	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → -∞ ≤ (𝐷‘𝐹))
55	53, 54	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)))
56	19	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℝ*)
57		elico1 13374	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑁 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
58	15, 56, 57	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ ((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
59		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁) ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁))
60	58, 59	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ (𝐷‘𝐹)) ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
61	55, 60	mpbirand 704	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁) ↔ (𝐷‘𝐹) < 𝑁))
62	61	pm5.32da 578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ (-∞[,)𝑁)) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
63	46, 62	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))
64	41, 63	pm2.61dane 3028	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676   “ cima 5679   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  -∞cmnf 11253  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255   ≤ cle 11256  ℕ₀cn0 12479  [,)cico 13333  Basecbs 17151  0_gc0g 17392  Ringcrg 20131  Poly₁cpl1 21933   deg₁ cdg1 25818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-mulg 18991  df-subg 19043  df-ghm 19132  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-cring 20134  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-cnfld 21149  df-psr 21685  df-mpl 21687  df-opsr 21689  df-psr1 21936  df-ply1 21938  df-mdeg 25819  df-deg1 25820

This theorem is referenced by:  algextdeglem7  33083  algextdeglem8  33084