Theorem fniniseg 6993

Description: Membership in the preimage of a singleton, under a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro , 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fniniseg	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Proof of Theorem fniniseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 6991	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵})))
2		fvex 6835	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ V
3	2	elsn 4588	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)
4	3	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵))
5	1, 4	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  fparlem1  8042  fparlem2  8043  pw2f1olem  8994  recmulnq  10855  dmrecnq  10859  vdwlem1  16893  vdwlem2  16894  vdwlem6  16898  vdwlem8  16900  vdwlem9  16901  vdwlem12  16904  vdwlem13  16905  ramval  16920  ramub1lem1  16938  ghmeqker  19155  ghmqusnsglem1  19192  ghmquskerlem1  19195  ghmqusker  19199  efgrelexlemb  19662  efgredeu  19664  psgnevpmb  21524  qtopeu  23631  itg1addlem1  25620  i1faddlem  25621  i1fmullem  25622  i1fmulclem  25630  i1fres  25633  itg10a  25638  itg1ge0a  25639  itg1climres  25642  mbfi1fseqlem4  25646  ply1remlem  26097  ply1rem  26098  fta1glem1  26100  fta1glem2  26101  fta1g  26102  fta1blem  26103  plyco0  26124  ofmulrt  26216  plyremlem  26239  plyrem  26240  fta1lem  26242  fta1  26243  vieta1lem1  26245  vieta1lem2  26246  vieta1  26247  plyexmo  26248  elaa  26251  aannenlem1  26263  aalioulem2  26268  pilem1  26388  efif1olem3  26480  efif1olem4  26481  efifo  26483  eff1olem  26484  basellem4  27021  lgsqrlem2  27285  lgsqrlem3  27286  rpvmasum2  27450  dirith  27467  foresf1o  32484  ofpreima  32647  fnpreimac  32653  1stpreimas  32687  indpi1  32841  indpreima  32846  s3clhash  32929  pwrssmgc  32981  cycpmconjslem2  33124  cyc3conja  33126  exsslsb  33609  dimkerim  33640  elirng  33699  irngss  33700  irngnzply1  33704  locfinreflem  33853  qqhre  34033  sibfof  34353  cvmliftlem6  35334  cvmliftlem7  35335  cvmliftlem8  35336  cvmliftlem9  35337  taupilem3  37361  itg2addnclem  37719  itg2addnclem2  37720  pw2f1o2val2  43081  dnnumch3  43088  proot1mul  43235  proot1hash  43236  proot1ex  43237  wessf1ornlem  45230  preimafvsnel  47418  uniimaprimaeqfv  47421  elsetpreimafvbi  47430  imasubc  49191  imassc  49193  imaid  49194