Theorem fniniseg 7055

Description: Membership in the preimage of a singleton, under a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro , 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fniniseg	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Proof of Theorem fniniseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 7053	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵})))
2		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ V
3	2	elsn 4604	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)
4	3	anbi2i 634	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵))
5	1, 4	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  fparlem1  8103  fparlem2  8104  pw2f1olem  9065  recmulnq  10944  dmrecnq  10948  indpi1  12227  vdwlem1  17036  vdwlem2  17037  vdwlem6  17041  vdwlem8  17043  vdwlem9  17044  vdwlem12  17047  vdwlem13  17048  ramval  17063  ramub1lem1  17081  ghmeqker  19308  ghmqusnsglem1  19345  ghmquskerlem1  19348  ghmqusker  19352  efgrelexlemb  19815  efgredeu  19817  psgnevpmb  21737  qtopeu  23873  itg1addlem1  25851  i1faddlem  25852  i1fmullem  25853  i1fmulclem  25861  i1fres  25864  itg10a  25869  itg1ge0a  25870  itg1climres  25873  mbfi1fseqlem4  25877  ply1remlem  26322  ply1rem  26323  fta1glem1  26325  fta1glem2  26326  fta1g  26327  fta1blem  26328  plyco0  26349  ofmulrt  26440  plyremlem  26465  plyrem  26466  fta1lem  26468  fta1  26469  vieta1lem1  26471  vieta1lem2  26472  vieta1  26473  plyexmo  26474  elaa  26477  aannenlem1  26491  aalioulem2  26496  pilem1  26614  efif1olem3  26709  efif1olem4  26710  efifo  26712  eff1olem  26713  basellem4  27248  lgsqrlem2  27511  lgsqrlem3  27512  rpvmasum2  27676  dirith  27693  foresf1o  32850  ofpreima  33010  fnpreimac  33015  1stpreimas  33051  indpreima  33185  s3clhash  33268  pwrssmgc  33320  cycpmconjslem2  33475  cyc3conja  33477  exsslsb  33987  dimkerim  34017  elirng  34076  irngss  34077  irngnzply1  34081  locfinreflem  34230  qqhre  34410  sibfof  34730  cvmliftlem6  35782  cvmliftlem7  35783  cvmliftlem8  35784  cvmliftlem9  35785  taupilem3  37963  itg2addnclem  38322  itg2addnclem2  38323  pw2f1o2val2  43767  dnnumch3  43774  proot1mul  43921  proot1hash  43922  proot1ex  43923  wessf1ornlem  45903  preimafvsnel  48128  uniimaprimaeqfv  48131  elsetpreimafvbi  48140  imasubc  49929  imassc  49931  imaid  49932