Theorem fniniseg 6994

Description: Membership in the preimage of a singleton, under a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro , 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fniniseg	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Proof of Theorem fniniseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 6992	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵})))
2		fvex 6835	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ V
3	2	elsn 4592	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)
4	3	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵))
5	1, 4	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-fv 6490

This theorem is referenced by:  fparlem1  8045  fparlem2  8046  pw2f1olem  8998  recmulnq  10858  dmrecnq  10862  vdwlem1  16893  vdwlem2  16894  vdwlem6  16898  vdwlem8  16900  vdwlem9  16901  vdwlem12  16904  vdwlem13  16905  ramval  16920  ramub1lem1  16938  ghmeqker  19122  ghmqusnsglem1  19159  ghmquskerlem1  19162  ghmqusker  19166  efgrelexlemb  19629  efgredeu  19631  psgnevpmb  21494  qtopeu  23601  itg1addlem1  25591  i1faddlem  25592  i1fmullem  25593  i1fmulclem  25601  i1fres  25604  itg10a  25609  itg1ge0a  25610  itg1climres  25613  mbfi1fseqlem4  25617  ply1remlem  26068  ply1rem  26069  fta1glem1  26071  fta1glem2  26072  fta1g  26073  fta1blem  26074  plyco0  26095  ofmulrt  26187  plyremlem  26210  plyrem  26211  fta1lem  26213  fta1  26214  vieta1lem1  26216  vieta1lem2  26217  vieta1  26218  plyexmo  26219  elaa  26222  aannenlem1  26234  aalioulem2  26239  pilem1  26359  efif1olem3  26451  efif1olem4  26452  efifo  26454  eff1olem  26455  basellem4  26992  lgsqrlem2  27256  lgsqrlem3  27257  rpvmasum2  27421  dirith  27438  foresf1o  32448  ofpreima  32608  fnpreimac  32614  1stpreimas  32648  indpi1  32803  indpreima  32808  s3clhash  32889  pwrssmgc  32942  cycpmconjslem2  33097  cyc3conja  33099  exsslsb  33563  dimkerim  33594  elirng  33653  irngss  33654  irngnzply1  33658  locfinreflem  33807  qqhre  33987  sibfof  34308  cvmliftlem6  35263  cvmliftlem7  35264  cvmliftlem8  35265  cvmliftlem9  35266  taupilem3  37293  itg2addnclem  37651  itg2addnclem2  37652  pw2f1o2val2  43013  dnnumch3  43020  proot1mul  43167  proot1hash  43168  proot1ex  43169  wessf1ornlem  45163  preimafvsnel  47363  uniimaprimaeqfv  47366  elsetpreimafvbi  47375  imasubc  49136  imassc  49138  imaid  49139