Theorem fniniseg 7035

Description: Membership in the preimage of a singleton, under a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro , 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fniniseg	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Proof of Theorem fniniseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 7033	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵})))
2		fvex 6874	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ V
3	2	elsn 4607	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)
4	3	anbi2i 623	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵))
5	1, 4	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  fparlem1  8094  fparlem2  8095  pw2f1olem  9050  recmulnq  10924  dmrecnq  10928  vdwlem1  16959  vdwlem2  16960  vdwlem6  16964  vdwlem8  16966  vdwlem9  16967  vdwlem12  16970  vdwlem13  16971  ramval  16986  ramub1lem1  17004  ghmeqker  19182  ghmqusnsglem1  19219  ghmquskerlem1  19222  ghmqusker  19226  efgrelexlemb  19687  efgredeu  19689  psgnevpmb  21503  qtopeu  23610  itg1addlem1  25600  i1faddlem  25601  i1fmullem  25602  i1fmulclem  25610  i1fres  25613  itg10a  25618  itg1ge0a  25619  itg1climres  25622  mbfi1fseqlem4  25626  ply1remlem  26077  ply1rem  26078  fta1glem1  26080  fta1glem2  26081  fta1g  26082  fta1blem  26083  plyco0  26104  ofmulrt  26196  plyremlem  26219  plyrem  26220  fta1lem  26222  fta1  26223  vieta1lem1  26225  vieta1lem2  26226  vieta1  26227  plyexmo  26228  elaa  26231  aannenlem1  26243  aalioulem2  26248  pilem1  26368  efif1olem3  26460  efif1olem4  26461  efifo  26463  eff1olem  26464  basellem4  27001  lgsqrlem2  27265  lgsqrlem3  27266  rpvmasum2  27430  dirith  27447  foresf1o  32440  ofpreima  32596  fnpreimac  32602  1stpreimas  32636  indpi1  32790  indpreima  32795  s3clhash  32876  pwrssmgc  32933  cycpmconjslem2  33119  cyc3conja  33121  exsslsb  33599  dimkerim  33630  elirng  33688  irngss  33689  irngnzply1  33693  locfinreflem  33837  qqhre  34017  sibfof  34338  cvmliftlem6  35284  cvmliftlem7  35285  cvmliftlem8  35286  cvmliftlem9  35287  taupilem3  37314  itg2addnclem  37672  itg2addnclem2  37673  pw2f1o2val2  43036  dnnumch3  43043  proot1mul  43190  proot1hash  43191  proot1ex  43192  wessf1ornlem  45186  preimafvsnel  47384  uniimaprimaeqfv  47387  elsetpreimafvbi  47396  imasubc  49144  imassc  49146  imaid  49147