Theorem fniniseg 7064

Description: Membership in the preimage of a singleton, under a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro , 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fniniseg	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

Proof of Theorem fniniseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 7062	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵})))
2		fvex 6903	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ V
3	2	elsn 4595	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)
4	3	anbi2i 635	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵))
5	1, 4	bitrdi 290	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐶 ∈ (◡𝐹 “ {𝐵}) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝐶) = 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551

This theorem is used by:  fparlem1  8129  fparlem2  8130  pw2f1olem  9107  recmulnq  11056  dmrecnq  11060  indpi1  12341  vdwlem1  17168  vdwlem2  17169  vdwlem6  17173  vdwlem8  17175  vdwlem9  17176  vdwlem12  17179  vdwlem13  17180  ramval  17195  ramub1lem1  17213  ghmeqker  19466  ghmqusnsglem1  19503  ghmquskerlem1  19506  ghmqusker  19510  efgrelexlemb  19973  efgredeu  19975  psgnevpmb  21902  qtopeu  24044  itg1addlem1  26022  i1faddlem  26023  i1fmullem  26024  i1fmulclem  26032  i1fres  26035  itg10a  26040  itg1ge0a  26041  itg1climres  26044  mbfi1fseqlem4  26048  ply1remlem  26492  ply1rem  26493  fta1glem1  26495  fta1glem2  26496  fta1g  26497  fta1blem  26498  plyco0  26519  ofmulrt  26609  plyremlem  26634  plyrem  26635  fta1lem  26637  fta1  26638  rnplynfin  26639  plyconz  26640  vieta1lem1  26642  vieta1lem2  26643  vieta1  26644  plyexmo  26645  elaa  26648  aannenlem1  26664  aalioulem2  26669  pilem1  26787  efif1olem3  26881  efif1olem4  26882  efifo  26884  eff1olem  26885  basellem4  27420  lgsqrlem2  27683  lgsqrlem3  27684  rpvmasum2  27848  dirith  27865  foresf1o  33151  ofpreima  33310  fnpreimac  33315  1stpreimas  33350  indpreima  33482  s3clhash  33562  pwrssmgc  33611  cycpmconjslem2  33766  cyc3conja  33768  exsslsb  34279  dimkerim  34309  elirng  34368  irngss  34369  irngnzply1  34373  locfinreflem  34522  qqhre  34702  sibfof  35022  cvmliftlem6  36145  cvmliftlem7  36146  cvmliftlem8  36147  cvmliftlem9  36148  taupilem3  38349  itg2addnclem  38698  itg2addnclem2  38699  pw2f1o2val2  44156  dnnumch3  44163  proot1mul  44305  proot1hash  44306  proot1ex  44307  wessf1ornlem  46308  preimafvsnel  48569  uniimaprimaeqfv  48572  elsetpreimafvbi  48581  imasubc  50375  imassc  50377  imaid  50378