Theorem enfiALT 9241

Description: Shorter proof of enfi 9240 using ax-pow 5334. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
enfiALT	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem enfiALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 9174	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐵 ≈ 𝑥))
2	1	rexbidv 3190	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
3		isfi 9040	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4		isfi 9040	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
5	2, 3, 4	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ωcom 7911   ≈ cen 9008  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-er 8755  df-en 9012  df-fin 9015

This theorem is used by: (None)