Theorem enfiALT 9158

Description: Shorter proof of enfi 9157 using ax-pow 5323. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
enfiALT	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem enfiALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 9087	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐵 ≈ 𝑥))
2	1	rexbidv 3158	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
3		isfi 8950	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
4		isfi 8950	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
5	2, 3, 4	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ωcom 7845   ≈ cen 8918  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-er 8674  df-en 8922  df-fin 8925

This theorem is referenced by: (None)