MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enfi 9141
Description: Equinumerous sets have the same finiteness. For a shorter proof using ax-pow 5325, see enfiALT 9142. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) Avoid ax-pow 5325. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
enfi (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem enfi
StepHypRef Expression
1 ensymfib 9138 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
21pm5.32i 576 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴))
3 enfii 9140 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
42, 3sylbi 216 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
54expcom 415 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin))
6 enfii 9140 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
76expcom 415 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
85, 7impbid 211 1 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5110  cen 8887  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1o 8417  df-en 8891  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  enfiiOLD  9215  wofib  9488  en2eleq  9951  sdom2en01  10245  fin23lem21  10282  enfin1ai  10327  fin17  10337  isfin7-2  10339  engch  10571  uzinf  13877  hasheni  14255  isfinite4  14269  symggen  19259  psgnunilem1  19282  dfod2  19353  odhash  19363  gsumval3lem2  19690  gsumval3  19691  cyggic  20995  cusgrfilem3  28447  unidifsnel  31504  unidifsnne  31505  derangen  33806  erdsze2lem1  33837  phpreu  36091  lindsdom  36101  poimirlem30  36137  diophin  41124  diophren  41165  fiphp3d  41171  fiuneneq  41553
  Copyright terms: Public domain W3C validator