Theorem enfi 8933

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. For a shorter proof using ax-pow 5283, see enfiALT 8934. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) Avoid ax-pow 5283. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem enfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymfib 8930	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
2	1	pm5.32i 574	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴))
3		enfii 8932	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4	2, 3	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
5	4	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin))
6		enfii 8932	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
7	6	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
8	5, 7	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-1o 8267  df-en 8692  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  enfiiOLD  8968  wofib  9234  en2eleq  9695  sdom2en01  9989  fin23lem21  10026  enfin1ai  10071  fin17  10081  isfin7-2  10083  engch  10315  uzinf  13613  hasheni  13990  isfinite4  14005  symggen  18993  psgnunilem1  19016  dfod2  19086  odhash  19094  gsumval3lem2  19422  gsumval3  19423  cyggic  20692  cusgrfilem3  27727  unidifsnel  30784  unidifsnne  30785  derangen  33034  erdsze2lem1  33065  phpreu  35688  lindsdom  35698  poimirlem30  35734  diophin  40510  diophren  40551  fiphp3d  40557  fiuneneq  40938