Theorem enfi 9225

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. For a shorter proof using ax-pow 5371, see enfiALT 9226. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.) Avoid ax-pow 5371. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Proof of Theorem enfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymfib 9222	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
2	1	pm5.32i 574	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴))
3		enfii 9224	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4	2, 3	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
5	4	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin))
6		enfii 9224	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
7	6	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
8	5, 7	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   ≈ cen 8981  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  wofib  9583  en2eleq  10046  sdom2en01  10340  fin23lem21  10377  enfin1ai  10422  fin17  10432  isfin7-2  10434  engch  10666  uzinf  14003  hasheni  14384  isfinite4  14398  symggen  19503  psgnunilem1  19526  dfod2  19597  odhash  19607  gsumval3lem2  19939  gsumval3  19940  cyggic  21609  cusgrfilem3  29490  unidifsnel  32561  unidifsnne  32562  derangen  35157  erdsze2lem1  35188  phpreu  37591  lindsdom  37601  poimirlem30  37637  diophin  42760  diophren  42801  fiphp3d  42807  fiuneneq  43181