Theorem enpr2d 8597

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
enpr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
enpr2d.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		ensn1g 8574	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4		enpr2d.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
5		1on 8109	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
6		en2sn 8593	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
7	4, 5, 6	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8		enpr2d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
9	8	neqned 3023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10		disjsn2 4648	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
12	5	onirri 6297	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14		disjsn 4647	. . . . 5 ⊢ ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
15	13, 14	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16		unen 8596	. . . 4 ⊢ ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
17	3, 7, 11, 15, 16	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18		df-pr 4570	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19		df-suc 6197	. . 3 ⊢ suc 1o = (1o ∪ {1o})
20	17, 18, 19	3brtr4g 5100	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21		df-2o 8103	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
22	20, 21	breqtrrdi 5108	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935  ∅c0 4291  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5066  Oncon0 6191  suc csuc 6193  1_oc1o 8095  2_oc2o 8096   ≈ cen 8506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-suc 6197  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-1o 8102  df-2o 8103  df-er 8289  df-en 8510

This theorem is referenced by:  simpgnsgd  19222  2nsgsimpgd  19224