MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enpr2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enpr2d 9048
Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-un 7721. (Revised by BTernaryTau, 23-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
enpr2d.1 (𝜑𝐴𝐶)
enpr2d.2 (𝜑𝐵𝐷)
enpr2d.3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
enpr2d (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d
StepHypRef Expression
1 enpr2d.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
2 enpr2d.2 . . 3 (𝜑𝐵𝐷)
3 0ex 5300 . . . 4 ∅ ∈ V
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ V)
5 1oex 8474 . . . 4 1o ∈ V
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1o ∈ V)
7 enpr2d.3 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
87neqned 2941 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
9 1n0 8486 . . . . 5 1o ≠ ∅
109necomi 2989 . . . 4 ∅ ≠ 1o
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∅ ≠ 1o)
121, 2, 4, 6, 8, 11en2prd 9047 . 2 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ {∅, 1o})
13 df2o3 8472 . 2 2o = {∅, 1o}
1412, 13breqtrrdi 5183 1 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  Vcvv 3468  c0 4317  {cpr 4625   class class class wbr 5141  1oc1o 8457  2oc2o 8458  cen 8935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-suc 6363  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-1o 8464  df-2o 8465  df-en 8939
This theorem is referenced by:  1sdom2dom  9246  enpr2  9996  simpgnsgd  20020  2nsgsimpgd  20022
  Copyright terms: Public domain W3C validator