Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enpr2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enpr2d 8631
 Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
enpr2d.1 (𝜑𝐴𝐶)
enpr2d.2 (𝜑𝐵𝐷)
enpr2d.3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
enpr2d (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d
StepHypRef Expression
1 enpr2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
2 ensn1g 8606 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4 enpr2d.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐷)
5 1on 8125 . . . . 5 1o ∈ On
6 en2sn 8625 . . . . 5 ((𝐵𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
74, 5, 6sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8 enpr2d.3 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
98neqned 2958 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
10 disjsn2 4608 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
125onirri 6281 . . . . . 6 ¬ 1o ∈ 1o
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14 disjsn 4607 . . . . 5 ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
1513, 14sylibr 237 . . . 4 (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16 unen 8629 . . . 4 ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
173, 7, 11, 15, 16syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18 df-pr 4528 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19 df-suc 6180 . . 3 suc 1o = (1o ∪ {1o})
2017, 18, 193brtr4g 5070 . 2 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21 df-2o 8119 . 2 2o = suc 1o
2220, 21breqtrrdi 5078 1 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∪ cun 3858   ∩ cin 3859  ∅c0 4227  {csn 4525  {cpr 4527   class class class wbr 5036  Oncon0 6174  suc csuc 6176  1oc1o 8111  2oc2o 8112   ≈ cen 8537 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pr 5302  ax-un 7465 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-ord 6177  df-on 6178  df-suc 6180  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-1o 8118  df-2o 8119  df-en 8541 This theorem is referenced by:  simpgnsgd  19303  2nsgsimpgd  19305
 Copyright terms: Public domain W3C validator