Theorem enpr2d 9049

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-un 7725. (Revised by BTernaryTau, 23-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
enpr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
enpr2d.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		enpr2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
3		0ex 5308	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
5		1oex 8476	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
7		enpr2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
8	7	neqned 2948	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9		1n0 8488	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
10	9	necomi 2996	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ 1o)
12	1, 2, 4, 6, 8, 11	en2prd 9048	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ {∅, 1o})
13		df2o3 8474	. 2 ⊢ 2o = {∅, 1o}
14	12, 13	breqtrrdi 5191	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475  ∅c0 4323  {cpr 4631   class class class wbr 5149  1_oc1o 8459  2_oc2o 8460   ≈ cen 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-suc 6371  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-1o 8466  df-2o 8467  df-en 8940

This theorem is referenced by:  1sdom2dom  9247  enpr2  9997  simpgnsgd  19970  2nsgsimpgd  19972