Theorem enpr2d 9059

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-un 7740. (Revised by BTernaryTau, 23-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
enpr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
enpr2d.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		enpr2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
3		0ex 5268	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
5		1oex 8469	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
7		enpr2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
8	7	neqned 2964	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9		1n0 8478	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
10	9	necomi 3011	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ 1o)
12	1, 2, 4, 6, 8, 11	en2prd 9058	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ {∅, 1o})
13		df2o3 8467	. 2 ⊢ 2o = {∅, 1o}
14	12, 13	breqtrrdi 5151	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {cpr 4589   class class class wbr 5107  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453   ≈ cen 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2566  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-suc 6367  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-1o 8459  df-2o 8460  df-en 8957

This theorem is used by:  1sdom2dom  9228  prfi  9297  enpr2  10011  simpgnsgd  20235  2nsgsimpgd  20237