MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enpr2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enpr2d 8591
Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
enpr2d.1 (𝜑𝐴𝐶)
enpr2d.2 (𝜑𝐵𝐷)
enpr2d.3 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
enpr2d (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d
StepHypRef Expression
1 enpr2d.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐶)
2 ensn1g 8568 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1o)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ≈ 1o)
4 enpr2d.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐷)
5 1on 8105 . . . . 5 1o ∈ On
6 en2sn 8587 . . . . 5 ((𝐵𝐷 ∧ 1o ∈ On) → {𝐵} ≈ {1o})
74, 5, 6sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → {𝐵} ≈ {1o})
8 enpr2d.3 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
98neqned 3028 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
10 disjsn2 4647 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
125onirri 6296 . . . . . 6 ¬ 1o ∈ 1o
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 1o ∈ 1o)
14 disjsn 4646 . . . . 5 ((1o ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ 1o)
1513, 14sylibr 235 . . . 4 (𝜑 → (1o ∩ {1o}) = ∅)
16 unen 8590 . . . 4 ((({𝐴} ≈ 1o ∧ {𝐵} ≈ {1o}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (1o ∩ {1o}) = ∅)) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
173, 7, 11, 15, 16syl22anc 836 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ (1o ∪ {1o}))
18 df-pr 4567 . . 3 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19 df-suc 6196 . . 3 suc 1o = (1o ∪ {1o})
2017, 18, 193brtr4g 5097 . 2 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ suc 1o)
21 df-2o 8099 . 2 2o = suc 1o
2220, 21breqtrrdi 5105 1 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  cun 3938  cin 3939  c0 4295  {csn 4564  {cpr 4566   class class class wbr 5063  Oncon0 6190  suc csuc 6192  1oc1o 8091  2oc2o 8092  cen 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-ord 6193  df-on 6194  df-suc 6196  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-1o 8098  df-2o 8099  df-er 8284  df-en 8504
This theorem is referenced by:  simpgnsgd  19158  2nsgsimpgd  19160
  Copyright terms: Public domain W3C validator