Theorem enpr2d 9079

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-un 7751. (Revised by BTernaryTau, 23-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
enpr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
enpr2d.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		enpr2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
3		0ex 5260	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
5		1oex 8489	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
7		enpr2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
8	7	neqned 2962	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9		1n0 8498	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
10	9	necomi 3009	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ 1o)
12	1, 2, 4, 6, 8, 11	en2prd 9078	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ {∅, 1o})
13		df2o3 8487	. 2 ⊢ 2o = {∅, 1o}
14	12, 13	breqtrrdi 5146	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278  {cpr 4586   class class class wbr 5102  1_oc1o 8472  2_oc2o 8473   ≈ cen 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-suc 6368  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-1o 8479  df-2o 8480  df-en 8977

This theorem is used by:  1sdom2dom  9248  prfi  9318  enpr2  10086  simpgnsgd  20321  2nsgsimpgd  20323