Theorem enpr2d 9025

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-un 7714. (Revised by BTernaryTau, 23-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
enpr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
enpr2d.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		enpr2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
3		0ex 5256	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
5		1oex 8442	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
7		enpr2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
8	7	neqned 2963	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9		1n0 8451	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
10	9	necomi 3010	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ 1o)
12	1, 2, 4, 6, 8, 11	en2prd 9024	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ {∅, 1o})
13		df2o3 8440	. 2 ⊢ 2o = {∅, 1o}
14	12, 13	breqtrrdi 5141	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453  ∅c0 4285  {cpr 4583   class class class wbr 5099  1_oc1o 8425  2_oc2o 8426   ≈ cen 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-suc 6348  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-1o 8432  df-2o 8433  df-en 8924

This theorem is referenced by:  1sdom2dom  9194  prfi  9264  enpr2  9957  simpgnsgd  20125  2nsgsimpgd  20127