Theorem enpr2d 8988

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-un 7682. (Revised by BTernaryTau, 23-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
enpr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
enpr2d.3	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		enpr2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
3		0ex 5242	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
5		1oex 8408	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ V)
7		enpr2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
8	7	neqned 2940	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9		1n0 8416	. . . . 5 ⊢ 1o ≠ ∅
10	9	necomi 2987	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 1o
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ 1o)
12	1, 2, 4, 6, 8, 11	en2prd 8987	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ {∅, 1o})
13		df2o3 8406	. 2 ⊢ 2o = {∅, 1o}
14	12, 13	breqtrrdi 5128	1 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {cpr 4570   class class class wbr 5086  1_oc1o 8391  2_oc2o 8392   ≈ cen 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-suc 6323  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-1o 8398  df-2o 8399  df-en 8887

This theorem is referenced by:  1sdom2dom  9157  prfi  9227  enpr2  9917  simpgnsgd  20068  2nsgsimpgd  20070