Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2nsgsimpgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nsgsimpgd 19224
 Description: If any normal subgroup of a nontrivial group is either the trivial subgroup or the whole group, the group is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2nsgsimpgd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
2nsgsimpgd.2 0 = (0g𝐺)
2nsgsimpgd.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2nsgsimpgd.4 (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
2nsgsimpgd.5 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
Assertion
Ref Expression
2nsgsimpgd (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Proof of Theorem 2nsgsimpgd
StepHypRef Expression
1 2nsgsimpgd.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 2nsgsimpgd.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
3 elprg 4571 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
43adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
52, 4mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
6 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = { 0 }) → 𝑥 = { 0 })
7 2nsgsimpgd.2 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝐺)
870nsg 18321 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
109adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = { 0 }) → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
116, 10eqeltrd 2916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1211adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
14 2nsgsimpgd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐺)
1514nsgid 18322 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
161, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1716adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1813, 17eqeltrd 2916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1918adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
20 elpri 4572 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
2120adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
2212, 19, 21mpjaodan 956 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
235, 22impbida 800 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
2423eqrdv 2822 . . 3 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
25 snex 5319 . . . . 5 { 0 } ∈ V
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → { 0 } ∈ V)
2714fvexi 6675 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
29 2nsgsimpgd.4 . . . 4 (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
3026, 28, 29enpr2d 8593 . . 3 (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
3124, 30eqbrtrd 5074 . 2 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
321, 31issimpgd 19215 1 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  {csn 4550  {cpr 4552  ‘cfv 6343  2oc2o 8092   ≈ cen 8502  Basecbs 16483  0gc0g 16713  Grpcgrp 18103  NrmSGrpcnsg 18274  SimpGrpcsimpg 19212 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-nsg 18277  df-simpg 19213 This theorem is referenced by:  simpgnsgbid  19225  prmgrpsimpgd  19236
 Copyright terms: Public domain W3C validator