Theorem 2nsgsimpgd 20122

Description: If any normal subgroup of a nontrivial group is either the trivial subgroup or the whole group, the group is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2nsgsimpgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2nsgsimpgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2nsgsimpgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2nsgsimpgd.4	⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
2nsgsimpgd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
2nsgsimpgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Proof of Theorem 2nsgsimpgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nsgsimpgd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		2nsgsimpgd.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
3		elprg 4648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
5	2, 4	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
6		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 = { 0 })
7		2nsgsimpgd.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	7	0nsg 19187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
11	6, 10	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12	11	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
14		2nsgsimpgd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15	14	nsgid 19188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
18	13, 17	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	18	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
20		elpri 4649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
22	12, 19, 21	mpjaodan 961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
23	5, 22	impbida 801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
24	23	eqrdv 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
25		snex 5436	. . . . 5 ⊢ { 0 } ∈ V
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
27	14	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
29		2nsgsimpgd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
30	26, 28, 29	enpr2d 9089	. . 3 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
31	24, 30	eqbrtrd 5165	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
32	1, 31	issimpgd 20113	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626  {cpr 4628  ‘cfv 6561  2_oc2o 8500   ≈ cen 8982  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  NrmSGrpcnsg 19139  SimpGrpcsimpg 20110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-simpg 20111

This theorem is referenced by:  simpgnsgbid  20123  prmgrpsimpgd  20134