Theorem 2nsgsimpgd 20169

Description: If any normal subgroup of a nontrivial group is either the trivial subgroup or the whole group, the group is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2nsgsimpgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2nsgsimpgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2nsgsimpgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2nsgsimpgd.4	⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
2nsgsimpgd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
2nsgsimpgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Proof of Theorem 2nsgsimpgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nsgsimpgd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		2nsgsimpgd.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
3		elprg 4612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
4	3	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
5	2, 4	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
6		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 = { 0 })
7		2nsgsimpgd.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	7	0nsg 19230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
9	1, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
10	9	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
11	6, 10	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12	11	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
14		2nsgsimpgd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15	14	nsgid 19231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
16	1, 15	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17	16	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
18	13, 17	eqeltrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	18	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
20		elpri 4613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
21	20	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
22	12, 19, 21	mpjaodan 973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
23	5, 22	impbida 812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
24	23	eqrdv 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
25		snex 5410	. . . . 5 ⊢ { 0 } ∈ V
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
27	14	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
29		2nsgsimpgd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
30	26, 28, 29	enpr2d 9041	. . 3 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
31	24, 30	eqbrtrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
32	1, 31	issimpgd 20160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4589  {cpr 4591  ‘cfv 6536  2_oc2o 8443   ≈ cen 8936  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  NrmSGrpcnsg 19182  SimpGrpcsimpg 20157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-nsg 19185  df-simpg 20158

This theorem is referenced by:  simpgnsgbid  20170  prmgrpsimpgd  20181