Theorem 2nsgsimpgd 19695

Description: If any normal subgroup of a nontrivial group is either the trivial subgroup or the whole group, the group is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2nsgsimpgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2nsgsimpgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2nsgsimpgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2nsgsimpgd.4	⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
2nsgsimpgd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
2nsgsimpgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Proof of Theorem 2nsgsimpgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nsgsimpgd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		2nsgsimpgd.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
3		elprg 4588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
4	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
5	2, 4	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
6		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 = { 0 })
7		2nsgsimpgd.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	7	0nsg 18787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
11	6, 10	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12	11	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
14		2nsgsimpgd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15	14	nsgid 18788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
18	13, 17	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	18	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
20		elpri 4589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
21	20	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
22	12, 19, 21	mpjaodan 956	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
23	5, 22	impbida 798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
24	23	eqrdv 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
25		snex 5358	. . . . 5 ⊢ { 0 } ∈ V
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
27	14	fvexi 6783	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
29		2nsgsimpgd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
30	26, 28, 29	enpr2d 8813	. . 3 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
31	24, 30	eqbrtrd 5101	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
32	1, 31	issimpgd 19686	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431  {csn 4567  {cpr 4569  ‘cfv 6431  2_oc2o 8276   ≈ cen 8705  Basecbs 16902  0_gc0g 17140  Grpcgrp 18567  NrmSGrpcnsg 18740  SimpGrpcsimpg 19683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-2o 8283  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-0g 17142  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-grp 18570  df-minusg 18571  df-sbg 18572  df-subg 18742  df-nsg 18743  df-simpg 19684

This theorem is referenced by:  simpgnsgbid  19696  prmgrpsimpgd  19707