Theorem 2nsgsimpgd 19217

Description: If any normal subgroup of a nontrivial group is either the trivial subgroup or the whole group, the group is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2nsgsimpgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2nsgsimpgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2nsgsimpgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2nsgsimpgd.4	⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
2nsgsimpgd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
2nsgsimpgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Proof of Theorem 2nsgsimpgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nsgsimpgd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		2nsgsimpgd.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
3		elprg 4546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
4	3	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
5	2, 4	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
6		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 = { 0 })
7		2nsgsimpgd.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	7	0nsg 18313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
10	9	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
11	6, 10	eqeltrd 2890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12	11	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
14		2nsgsimpgd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15	14	nsgid 18314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17	16	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
18	13, 17	eqeltrd 2890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	18	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
20		elpri 4547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
21	20	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
22	12, 19, 21	mpjaodan 956	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
23	5, 22	impbida 800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
24	23	eqrdv 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
25		snex 5297	. . . . 5 ⊢ { 0 } ∈ V
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
27	14	fvexi 6659	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
29		2nsgsimpgd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
30	26, 28, 29	enpr2d 8580	. . 3 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
31	24, 30	eqbrtrd 5052	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
32	1, 31	issimpgd 19208	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  {csn 4525  {cpr 4527  ‘cfv 6324  2_oc2o 8079   ≈ cen 8489  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  Grpcgrp 18095  NrmSGrpcnsg 18266  SimpGrpcsimpg 19205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-simpg 19206

This theorem is referenced by:  simpgnsgbid  19218  prmgrpsimpgd  19229