Theorem 2nsgsimpgd 20024

Description: If any normal subgroup of a nontrivial group is either the trivial subgroup or the whole group, the group is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2nsgsimpgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2nsgsimpgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2nsgsimpgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2nsgsimpgd.4	⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
2nsgsimpgd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
2nsgsimpgd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Proof of Theorem 2nsgsimpgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nsgsimpgd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		2nsgsimpgd.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
3		elprg 4600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
5	2, 4	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
6		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 = { 0 })
7		2nsgsimpgd.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	7	0nsg 19089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
11	6, 10	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
12	11	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
14		2nsgsimpgd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15	14	nsgid 19090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
18	13, 17	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	18	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
20		elpri 4601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
22	12, 19, 21	mpjaodan 960	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
23	5, 22	impbida 800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
24	23	eqrdv 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
25		snex 5378	. . . . 5 ⊢ { 0 } ∈ V
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
27	14	fvexi 6845	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
29		2nsgsimpgd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
30	26, 28, 29	enpr2d 8981	. . 3 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
31	24, 30	eqbrtrd 5117	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
32	1, 31	issimpgd 20015	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  {csn 4577  {cpr 4579  ‘cfv 6489  2_oc2o 8388   ≈ cen 8876  Basecbs 17127  0_gc0g 17350  Grpcgrp 18854  NrmSGrpcnsg 19042  SimpGrpcsimpg 20012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-nsg 19045  df-simpg 20013

This theorem is referenced by:  simpgnsgbid  20025  prmgrpsimpgd  20036