MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2nsgsimpgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nsgsimpgd 20022
Description: If any normal subgroup of a nontrivial group is either the trivial subgroup or the whole group, the group is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2nsgsimpgd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
2nsgsimpgd.2 0 = (0g𝐺)
2nsgsimpgd.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2nsgsimpgd.4 (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
2nsgsimpgd.5 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
Assertion
Ref Expression
2nsgsimpgd (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Proof of Theorem 2nsgsimpgd
StepHypRef Expression
1 2nsgsimpgd.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 2nsgsimpgd.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
3 elprg 4644 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
43adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
52, 4mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
6 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = { 0 }) → 𝑥 = { 0 })
7 2nsgsimpgd.2 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝐺)
870nsg 19094 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = { 0 }) → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
116, 10eqeltrd 2827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1211adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
14 2nsgsimpgd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐺)
1514nsgid 19095 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
161, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1813, 17eqeltrd 2827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1918adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
20 elpri 4645 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
2212, 19, 21mpjaodan 955 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
235, 22impbida 798 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
2423eqrdv 2724 . . 3 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
25 snex 5424 . . . . 5 { 0 } ∈ V
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → { 0 } ∈ V)
2714fvexi 6898 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
29 2nsgsimpgd.4 . . . 4 (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
3026, 28, 29enpr2d 9048 . . 3 (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
3124, 30eqbrtrd 5163 . 2 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
321, 31issimpgd 20013 1 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623  {cpr 4625  cfv 6536  2oc2o 8458  cen 8935  Basecbs 17151  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  NrmSGrpcnsg 19046  SimpGrpcsimpg 20010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-nsg 19049  df-simpg 20011
This theorem is referenced by:  simpgnsgbid  20023  prmgrpsimpgd  20034
  Copyright terms: Public domain W3C validator