MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2nsgsimpgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nsgsimpgd 20053
Description: If any normal subgroup of a nontrivial group is either the trivial subgroup or the whole group, the group is simple. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2nsgsimpgd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
2nsgsimpgd.2 0 = (0g𝐺)
2nsgsimpgd.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2nsgsimpgd.4 (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
2nsgsimpgd.5 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
Assertion
Ref Expression
2nsgsimpgd (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Proof of Theorem 2nsgsimpgd
StepHypRef Expression
1 2nsgsimpgd.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 2nsgsimpgd.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
3 elprg 4646 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
43adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} ↔ (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵)))
52, 4mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺)) → 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵})
6 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = { 0 }) → 𝑥 = { 0 })
7 2nsgsimpgd.2 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝐺)
870nsg 19118 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = { 0 }) → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
116, 10eqeltrd 2829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1211adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = { 0 }) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
13 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
14 2nsgsimpgd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐺)
1514nsgid 19119 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
161, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1813, 17eqeltrd 2829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
1918adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
20 elpri 4647 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵} → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → (𝑥 = { 0 } ∨ 𝑥 = 𝐵))
2212, 19, 21mpjaodan 957 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
235, 22impbida 800 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑥 ∈ {{ 0 }, 𝐵}))
2423eqrdv 2726 . . 3 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
25 snex 5428 . . . . 5 { 0 } ∈ V
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → { 0 } ∈ V)
2714fvexi 6906 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
29 2nsgsimpgd.4 . . . 4 (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
3026, 28, 29enpr2d 9068 . . 3 (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
3124, 30eqbrtrd 5165 . 2 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
321, 31issimpgd 20044 1 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3470  {csn 4625  {cpr 4627  cfv 6543  2oc2o 8475  cen 8955  Basecbs 17174  0gc0g 17415  Grpcgrp 18884  NrmSGrpcnsg 19070  SimpGrpcsimpg 20041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-subg 19072  df-nsg 19073  df-simpg 20042
This theorem is referenced by:  simpgnsgbid  20054  prmgrpsimpgd  20065
  Copyright terms: Public domain W3C validator