MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom2dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sdom2dom 9247
Description: Strict dominance over 1 is the same as dominance over 2. (Contributed by BTernaryTau, 23-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
1sdom2dom (1o𝐴 ↔ 2o𝐴)

Proof of Theorem 1sdom2dom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 8946 . . . 4 Rel ≺
21brrelex2i 5734 . . 3 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
3 sdomdom 8976 . . . . . . 7 (1o𝐴 → 1o𝐴)
4 0sdom1dom 9238 . . . . . . 7 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)
53, 4sylibr 233 . . . . . 6 (1o𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)
6 0sdomg 9104 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
72, 6syl 17 . . . . . 6 (1o𝐴 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
85, 7mpbid 231 . . . . 5 (1o𝐴𝐴 ≠ ∅)
9 n0snor2el 4835 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 ∨ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
108, 9syl 17 . . . 4 (1o𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 ∨ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
11 sdomnen 8977 . . . . 5 (1o𝐴 → ¬ 1o𝐴)
12 df1o2 8473 . . . . . . . 8 1o = {∅}
13 0ex 5308 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
14 vex 3479 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
15 en2sn 9041 . . . . . . . . 9 ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
1613, 14, 15mp2an 691 . . . . . . . 8 {∅} ≈ {𝑥}
1712, 16eqbrtri 5170 . . . . . . 7 1o ≈ {𝑥}
18 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑥} → (1o𝐴 ↔ 1o ≈ {𝑥}))
1917, 18mpbiri 258 . . . . . 6 (𝐴 = {𝑥} → 1o𝐴)
2019exlimiv 1934 . . . . 5 (∃𝑥 𝐴 = {𝑥} → 1o𝐴)
2111, 20nsyl 140 . . . 4 (1o𝐴 → ¬ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
2210, 21olcnd 876 . . 3 (1o𝐴 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
23 rex2dom 9246 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 2o𝐴)
242, 22, 23syl2anc 585 . 2 (1o𝐴 → 2o𝐴)
25 snsspr1 4818 . . . . 5 {∅} ⊆ {∅, 1o}
26 df2o3 8474 . . . . 5 2o = {∅, 1o}
2725, 12, 263sstr4i 4026 . . . 4 1o ⊆ 2o
28 domssl 8994 . . . 4 ((1o ⊆ 2o ∧ 2o𝐴) → 1o𝐴)
2927, 28mpan 689 . . 3 (2o𝐴 → 1o𝐴)
30 snnen2o 9237 . . . . . . . . . . . 12 ¬ {𝑦} ≈ 2o
3113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → ∅ ∈ V)
32 1oex 8476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1o ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → 1o ∈ V)
34 1n0 8488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1o ≠ ∅
3534nesymi 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ ∅ = 1o
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → ¬ ∅ = 1o)
3731, 33, 36enpr2d 9049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {∅, 1o} ≈ 2o)
3837mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅, 1o} ≈ 2o
3926, 38eqbrtri 5170 . . . . . . . . . . . . 13 2o ≈ 2o
40 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (2o = {𝑦} → (2o ≈ 2o ↔ {𝑦} ≈ 2o))
4139, 40mpbii 232 . . . . . . . . . . . 12 (2o = {𝑦} → {𝑦} ≈ 2o)
4230, 41mto 196 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2o = {𝑦}
4342nex 1803 . . . . . . . . . 10 ¬ ∃𝑦2o = {𝑦}
44 2on0 8482 . . . . . . . . . . 11 2o ≠ ∅
45 f1cdmsn 7280 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:2o1-1→{𝑥} ∧ 2o ≠ ∅) → ∃𝑦2o = {𝑦})
4644, 45mpan2 690 . . . . . . . . . 10 (𝑓:2o1-1→{𝑥} → ∃𝑦2o = {𝑦})
4743, 46mto 196 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑓:2o1-1→{𝑥}
4847nex 1803 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑓 𝑓:2o1-1→{𝑥}
49 brdomi 8954 . . . . . . . 8 (2o ≼ {𝑥} → ∃𝑓 𝑓:2o1-1→{𝑥})
5048, 49mto 196 . . . . . . 7 ¬ 2o ≼ {𝑥}
51 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑥} → (2o𝐴 ↔ 2o ≼ {𝑥}))
5250, 51mtbiri 327 . . . . . 6 (𝐴 = {𝑥} → ¬ 2o𝐴)
5352con2i 139 . . . . 5 (2o𝐴 → ¬ 𝐴 = {𝑥})
5453nexdv 1940 . . . 4 (2o𝐴 → ¬ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
55 reldom 8945 . . . . . . 7 Rel ≼
5655brrelex2i 5734 . . . . . 6 (2o𝐴𝐴 ∈ V)
57 breng 8948 . . . . . . 7 ((1o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (1o𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:1o1-1-onto𝐴))
5832, 57mpan 689 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (1o𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:1o1-1-onto𝐴))
5956, 58syl 17 . . . . 5 (2o𝐴 → (1o𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:1o1-1-onto𝐴))
6029, 4sylibr 233 . . . . . . 7 (2o𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)
6156, 6syl 17 . . . . . . 7 (2o𝐴 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
6260, 61mpbid 231 . . . . . 6 (2o𝐴𝐴 ≠ ∅)
63 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑓:1o1-1-onto𝐴𝑓:𝐴1-1-onto→1o)
64 f1of1 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto→1o𝑓:𝐴1-1→1o)
65 f1eq3 6785 . . . . . . . . . . . 12 (1o = {∅} → (𝑓:𝐴1-1→1o𝑓:𝐴1-1→{∅}))
6612, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1→1o𝑓:𝐴1-1→{∅})
6764, 66sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto→1o𝑓:𝐴1-1→{∅})
6863, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓:1o1-1-onto𝐴𝑓:𝐴1-1→{∅})
69 f1cdmsn 7280 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1→{∅} ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
7068, 69sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝑓:1o1-1-onto𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
7170expcom 415 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:1o1-1-onto𝐴 → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
7271exlimdv 1937 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:1o1-1-onto𝐴 → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
7362, 72syl 17 . . . . 5 (2o𝐴 → (∃𝑓 𝑓:1o1-1-onto𝐴 → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
7459, 73sylbid 239 . . . 4 (2o𝐴 → (1o𝐴 → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
7554, 74mtod 197 . . 3 (2o𝐴 → ¬ 1o𝐴)
76 brsdom 8971 . . 3 (1o𝐴 ↔ (1o𝐴 ∧ ¬ 1o𝐴))
7729, 75, 76sylanbrc 584 . 2 (2o𝐴 → 1o𝐴)
7824, 77impbii 208 1 (1o𝐴 ↔ 2o𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wo 846   = wceq 1542  wtru 1543  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3949  c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  ccnv 5676  1-1wf1 6541  1-1-ontowf1o 6543  1oc1o 8459  2oc2o 8460  cen 8936  cdom 8937  csdm 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-1o 8466  df-2o 8467  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942
This theorem is referenced by:  1sdom  9248
  Copyright terms: Public domain W3C validator