MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1sdom2dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1sdom2dom 9281
Description: Strict dominance over 1 is the same as dominance over 2. (Contributed by BTernaryTau, 23-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
1sdom2dom (1o𝐴 ↔ 2o𝐴)

Proof of Theorem 1sdom2dom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 8991 . . . 4 Rel ≺
21brrelex2i 5746 . . 3 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
3 sdomdom 9019 . . . . . . 7 (1o𝐴 → 1o𝐴)
4 0sdom1dom 9272 . . . . . . 7 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)
53, 4sylibr 234 . . . . . 6 (1o𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)
6 0sdomg 9143 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
72, 6syl 17 . . . . . 6 (1o𝐴 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
85, 7mpbid 232 . . . . 5 (1o𝐴𝐴 ≠ ∅)
9 n0snor2el 4838 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 ∨ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
108, 9syl 17 . . . 4 (1o𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 ∨ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
11 sdomnen 9020 . . . . 5 (1o𝐴 → ¬ 1o𝐴)
12 df1o2 8512 . . . . . . . 8 1o = {∅}
13 0ex 5313 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
14 vex 3482 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
15 en2sn 9080 . . . . . . . . 9 ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
1613, 14, 15mp2an 692 . . . . . . . 8 {∅} ≈ {𝑥}
1712, 16eqbrtri 5169 . . . . . . 7 1o ≈ {𝑥}
18 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑥} → (1o𝐴 ↔ 1o ≈ {𝑥}))
1917, 18mpbiri 258 . . . . . 6 (𝐴 = {𝑥} → 1o𝐴)
2019exlimiv 1928 . . . . 5 (∃𝑥 𝐴 = {𝑥} → 1o𝐴)
2111, 20nsyl 140 . . . 4 (1o𝐴 → ¬ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
2210, 21olcnd 877 . . 3 (1o𝐴 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
23 rex2dom 9280 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 2o𝐴)
242, 22, 23syl2anc 584 . 2 (1o𝐴 → 2o𝐴)
25 snsspr1 4819 . . . . 5 {∅} ⊆ {∅, 1o}
26 df2o3 8513 . . . . 5 2o = {∅, 1o}
2725, 12, 263sstr4i 4039 . . . 4 1o ⊆ 2o
28 domssl 9037 . . . 4 ((1o ⊆ 2o ∧ 2o𝐴) → 1o𝐴)
2927, 28mpan 690 . . 3 (2o𝐴 → 1o𝐴)
30 snnen2o 9271 . . . . . . . . . . . 12 ¬ {𝑦} ≈ 2o
3113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → ∅ ∈ V)
32 1oex 8515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1o ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → 1o ∈ V)
34 1n0 8525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1o ≠ ∅
3534nesymi 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ ∅ = 1o
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → ¬ ∅ = 1o)
3731, 33, 36enpr2d 9088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {∅, 1o} ≈ 2o)
3837mptru 1544 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅, 1o} ≈ 2o
3926, 38eqbrtri 5169 . . . . . . . . . . . . 13 2o ≈ 2o
40 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (2o = {𝑦} → (2o ≈ 2o ↔ {𝑦} ≈ 2o))
4139, 40mpbii 233 . . . . . . . . . . . 12 (2o = {𝑦} → {𝑦} ≈ 2o)
4230, 41mto 197 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2o = {𝑦}
4342nex 1797 . . . . . . . . . 10 ¬ ∃𝑦2o = {𝑦}
44 2on0 8521 . . . . . . . . . . 11 2o ≠ ∅
45 f1cdmsn 7302 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:2o1-1→{𝑥} ∧ 2o ≠ ∅) → ∃𝑦2o = {𝑦})
4644, 45mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝑓:2o1-1→{𝑥} → ∃𝑦2o = {𝑦})
4743, 46mto 197 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑓:2o1-1→{𝑥}
4847nex 1797 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑓 𝑓:2o1-1→{𝑥}
49 brdomi 8998 . . . . . . . 8 (2o ≼ {𝑥} → ∃𝑓 𝑓:2o1-1→{𝑥})
5048, 49mto 197 . . . . . . 7 ¬ 2o ≼ {𝑥}
51 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝑥} → (2o𝐴 ↔ 2o ≼ {𝑥}))
5250, 51mtbiri 327 . . . . . 6 (𝐴 = {𝑥} → ¬ 2o𝐴)
5352con2i 139 . . . . 5 (2o𝐴 → ¬ 𝐴 = {𝑥})
5453nexdv 1934 . . . 4 (2o𝐴 → ¬ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
55 reldom 8990 . . . . . . 7 Rel ≼
5655brrelex2i 5746 . . . . . 6 (2o𝐴𝐴 ∈ V)
57 breng 8993 . . . . . . 7 ((1o ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (1o𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:1o1-1-onto𝐴))
5832, 57mpan 690 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (1o𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:1o1-1-onto𝐴))
5956, 58syl 17 . . . . 5 (2o𝐴 → (1o𝐴 ↔ ∃𝑓 𝑓:1o1-1-onto𝐴))
6029, 4sylibr 234 . . . . . . 7 (2o𝐴 → ∅ ≺ 𝐴)
6156, 6syl 17 . . . . . . 7 (2o𝐴 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
6260, 61mpbid 232 . . . . . 6 (2o𝐴𝐴 ≠ ∅)
63 f1ocnv 6861 . . . . . . . . . 10 (𝑓:1o1-1-onto𝐴𝑓:𝐴1-1-onto→1o)
64 f1of1 6848 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto→1o𝑓:𝐴1-1→1o)
65 f1eq3 6802 . . . . . . . . . . . 12 (1o = {∅} → (𝑓:𝐴1-1→1o𝑓:𝐴1-1→{∅}))
6612, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1→1o𝑓:𝐴1-1→{∅})
6764, 66sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto→1o𝑓:𝐴1-1→{∅})
6863, 67syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑓:1o1-1-onto𝐴𝑓:𝐴1-1→{∅})
69 f1cdmsn 7302 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1→{∅} ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
7068, 69sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑓:1o1-1-onto𝐴𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
7170expcom 413 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑓:1o1-1-onto𝐴 → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
7271exlimdv 1931 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑓 𝑓:1o1-1-onto𝐴 → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
7362, 72syl 17 . . . . 5 (2o𝐴 → (∃𝑓 𝑓:1o1-1-onto𝐴 → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
7459, 73sylbid 240 . . . 4 (2o𝐴 → (1o𝐴 → ∃𝑥 𝐴 = {𝑥}))
7554, 74mtod 198 . . 3 (2o𝐴 → ¬ 1o𝐴)
76 brsdom 9014 . . 3 (1o𝐴 ↔ (1o𝐴 ∧ ¬ 1o𝐴))
7729, 75, 76sylanbrc 583 . 2 (2o𝐴 → 1o𝐴)
7824, 77impbii 209 1 (1o𝐴 ↔ 2o𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wo 847   = wceq 1537  wtru 1538  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  ccnv 5688  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  1oc1o 8498  2oc2o 8499  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987
This theorem is referenced by:  1sdom  9282
  Copyright terms: Public domain W3C validator