Theorem simpgnsgd 20043

Description: The only normal subgroups of a simple group are the group itself and the trivial group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnsgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnsgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpgnsgd	⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem simpgnsgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8580	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ ω)
3		nnfi 9104	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ Fin)
5		simpgnsgd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
6		simpg2nsg 20039	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ SimpGrp → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
8		enfii 9122	. . 3 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o) → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
9	4, 7, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
10		simpgnsgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		simpgnsgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12	5	simpggrpd 20038	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	0idnsgd 19112	. 2 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (NrmSGrp‘𝐺))
14		snex 5385	. . . . . 6 ⊢ { 0 } ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
16	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
17		fvex 6855	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
18	16, 17	eqeltrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
19	10, 11, 5	simpgntrivd 20041	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
20	19	neqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
21	15, 18, 20	enpr2d 8997	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
22	21	ensymd 8954	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵})
23		entr 8955	. . 3 ⊢ (((NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o ∧ 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵}) → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
24	7, 22, 23	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
25	9, 13, 24	phpeqd 9148	1 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ωcom 7818  2_oc2o 8401   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  NrmSGrpcnsg 19063  SimpGrpcsimpg 20033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-simpg 20034

This theorem is referenced by:  simpgnsgeqd  20044  simpgnsgbid  20046