Theorem simpgnsgd 20135

Description: The only normal subgroups of a simple group are the group itself and the trivial group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnsgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnsgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpgnsgd	⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem simpgnsgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8679	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ ω)
3		nnfi 9206	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ Fin)
5		simpgnsgd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
6		simpg2nsg 20131	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ SimpGrp → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
8		enfii 9224	. . 3 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o) → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
9	4, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
10		simpgnsgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		simpgnsgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12	5	simpggrpd 20130	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	0idnsgd 19202	. 2 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (NrmSGrp‘𝐺))
14		snex 5442	. . . . . 6 ⊢ { 0 } ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
16	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
17		fvex 6920	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
18	16, 17	eqeltrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
19	10, 11, 5	simpgntrivd 20133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
20	19	neqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
21	15, 18, 20	enpr2d 9088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
22	21	ensymd 9044	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵})
23		entr 9045	. . 3 ⊢ (((NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o ∧ 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵}) → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
24	7, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
25	9, 13, 24	phpeqd 9250	1 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  ωcom 7887  2_oc2o 8499   ≈ cen 8981  Fincfn 8984  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  NrmSGrpcnsg 19152  SimpGrpcsimpg 20125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-simpg 20126

This theorem is referenced by:  simpgnsgeqd  20136  simpgnsgbid  20138