Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  simpgnsgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem simpgnsgd 19220
 Description: The only normal subgroups of a simple group are the group itself and the trivial group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
simpgnsgd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgd.2 0 = (0g𝐺)
simpgnsgd.3 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
simpgnsgd (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem simpgnsgd
StepHypRef Expression
1 2onn 8258 . . . . 5 2o ∈ ω
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2o ∈ ω)
3 nnfi 8705 . . . 4 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → 2o ∈ Fin)
5 simpgnsgd.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
6 simpg2nsg 19216 . . . 4 (𝐺 ∈ SimpGrp → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
8 enfii 8728 . . 3 ((2o ∈ Fin ∧ (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o) → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
94, 7, 8syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
10 simpgnsgd.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 simpgnsgd.2 . . 3 0 = (0g𝐺)
125simpggrpd 19215 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1310, 11, 120idnsgd 18321 . 2 (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (NrmSGrp‘𝐺))
14 snex 5320 . . . . . 6 { 0 } ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → { 0 } ∈ V)
1610a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
17 fvex 6672 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
1816, 17eqeltrdi 2924 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
1910, 11, 5simpgntrivd 19218 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
2019neqcomd 2834 . . . . 5 (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
2115, 18, 20enpr2d 8589 . . . 4 (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
2221ensymd 8552 . . 3 (𝜑 → 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵})
23 entr 8553 . . 3 (((NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o ∧ 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵}) → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
247, 22, 23syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
259, 13, 24phpeqd 8699 1 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  {csn 4550  {cpr 4552   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  ωcom 7571  2oc2o 8088   ≈ cen 8498  Fincfn 8501  Basecbs 16481  0gc0g 16711  NrmSGrpcnsg 18272  SimpGrpcsimpg 19210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-0g 16713  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-subg 18274  df-nsg 18275  df-simpg 19211 This theorem is referenced by:  simpgnsgeqd  19221  simpgnsgbid  19223
 Copyright terms: Public domain W3C validator