Theorem simpgnsgd 20316

Description: The only normal subgroups of a simple group are the group itself and the trivial group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnsgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnsgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpgnsgd	⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem simpgnsgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8651	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ ω)
3		nnfi 9183	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ Fin)
5		simpgnsgd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
6		simpg2nsg 20312	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ SimpGrp → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
8		enfii 9201	. . 3 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o) → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
9	4, 7, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
10		simpgnsgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		simpgnsgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12	5	simpggrpd 20311	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	0idnsgd 19381	. 2 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (NrmSGrp‘𝐺))
14		snex 5397	. . . . . 6 ⊢ { 0 } ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
16	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
17		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
18	16, 17	eqeltrdi 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
19	10, 11, 5	simpgntrivd 20314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
20	19	neqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
21	15, 18, 20	enpr2d 9076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
22	21	ensymd 9032	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵})
23		entr 9033	. . 3 ⊢ (((NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o ∧ 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵}) → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
24	7, 22, 23	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
25	9, 13, 24	phpeqd 9227	1 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  ωcom 7877  2_oc2o 8470   ≈ cen 8970  Fincfn 8973  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  NrmSGrpcnsg 19331  SimpGrpcsimpg 20306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-simpg 20307

This theorem is used by:  simpgnsgeqd  20317  simpgnsgbid  20319