MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  simpgnsgd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem simpgnsgd 19220
Description: The only normal subgroups of a simple group are the group itself and the trivial group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
simpgnsgd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgd.2 0 = (0g𝐺)
simpgnsgd.3 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
Assertion
Ref Expression
simpgnsgd (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem simpgnsgd
StepHypRef Expression
1 2onn 8258 . . . . 5 2o ∈ ω
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2o ∈ ω)
3 nnfi 8705 . . . 4 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → 2o ∈ Fin)
5 simpgnsgd.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ SimpGrp)
6 simpg2nsg 19216 . . . 4 (𝐺 ∈ SimpGrp → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
8 enfii 8728 . . 3 ((2o ∈ Fin ∧ (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o) → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
94, 7, 8syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
10 simpgnsgd.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 simpgnsgd.2 . . 3 0 = (0g𝐺)
125simpggrpd 19215 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1310, 11, 120idnsgd 18321 . 2 (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (NrmSGrp‘𝐺))
14 snex 5320 . . . . . 6 { 0 } ∈ V
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → { 0 } ∈ V)
1610a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
17 fvex 6672 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
1816, 17eqeltrdi 2924 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
1910, 11, 5simpgntrivd 19218 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
2019neqcomd 2834 . . . . 5 (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
2115, 18, 20enpr2d 8589 . . . 4 (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
2221ensymd 8552 . . 3 (𝜑 → 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵})
23 entr 8553 . . 3 (((NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o ∧ 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵}) → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
247, 22, 23syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
259, 13, 24phpeqd 8699 1 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  {csn 4550  {cpr 4552   class class class wbr 5053  cfv 6344  ωcom 7571  2oc2o 8088  cen 8498  Fincfn 8501  Basecbs 16481  0gc0g 16711  NrmSGrpcnsg 18272  SimpGrpcsimpg 19210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-0g 16713  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-subg 18274  df-nsg 18275  df-simpg 19211
This theorem is referenced by:  simpgnsgeqd  19221  simpgnsgbid  19223
  Copyright terms: Public domain W3C validator