Theorem simpgnsgd 20120

Description: The only normal subgroups of a simple group are the group itself and the trivial group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnsgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnsgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpgnsgd	⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem simpgnsgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8680	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ ω)
3		nnfi 9207	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ Fin)
5		simpgnsgd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
6		simpg2nsg 20116	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ SimpGrp → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
8		enfii 9226	. . 3 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o) → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
9	4, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
10		simpgnsgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		simpgnsgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12	5	simpggrpd 20115	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	0idnsgd 19189	. 2 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (NrmSGrp‘𝐺))
14		snex 5436	. . . . . 6 ⊢ { 0 } ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
16	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
17		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
18	16, 17	eqeltrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
19	10, 11, 5	simpgntrivd 20118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
20	19	neqcomd 2747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
21	15, 18, 20	enpr2d 9089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
22	21	ensymd 9045	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵})
23		entr 9046	. . 3 ⊢ (((NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o ∧ 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵}) → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
24	7, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
25	9, 13, 24	phpeqd 9252	1 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  ωcom 7887  2_oc2o 8500   ≈ cen 8982  Fincfn 8985  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  NrmSGrpcnsg 19139  SimpGrpcsimpg 20110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-simpg 20111

This theorem is referenced by:  simpgnsgeqd  20121  simpgnsgbid  20123