Theorem simpgnsgd 20061

Description: The only normal subgroups of a simple group are the group itself and the trivial group. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
simpgnsgd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
simpgnsgd.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
simpgnsgd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)

Assertion

Ref	Expression
simpgnsgd	⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Proof of Theorem simpgnsgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8661	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ ω)
3		nnfi 9190	. . . 4 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ∈ Fin)
5		simpgnsgd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ SimpGrp)
6		simpg2nsg 20057	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ SimpGrp → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o)
8		enfii 9212	. . 3 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o) → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
9	4, 7, 8	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ Fin)
10		simpgnsgd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
11		simpgnsgd.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12	5	simpggrpd 20056	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	0idnsgd 19130	. 2 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ⊆ (NrmSGrp‘𝐺))
14		snex 5427	. . . . . 6 ⊢ { 0 } ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ V)
16	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
17		fvex 6905	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
18	16, 17	eqeltrdi 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
19	10, 11, 5	simpgntrivd 20059	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = { 0 })
20	19	neqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ { 0 } = 𝐵)
21	15, 18, 20	enpr2d 9072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {{ 0 }, 𝐵} ≈ 2o)
22	21	ensymd 9024	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵})
23		entr 9025	. . 3 ⊢ (((NrmSGrp‘𝐺) ≈ 2o ∧ 2o ≈ {{ 0 }, 𝐵}) → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
24	7, 22, 23	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ {{ 0 }, 𝐵})
25	9, 13, 24	phpeqd 9238	1 ⊢ (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  ωcom 7868  2_oc2o 8479   ≈ cen 8959  Fincfn 8962  Basecbs 17179  0_gc0g 17420  NrmSGrpcnsg 19080  SimpGrpcsimpg 20051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-simpg 20052

This theorem is referenced by:  simpgnsgeqd  20062  simpgnsgbid  20064