Theorem enpr2 9926

Description: An unordered pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. This is a closed-form version of enpr2d 8997. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.) Avoid ax-pow 5312, ax-un 7690. (Revised by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
enpr2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2934	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
2		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
4		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
5	2, 3, 4	enpr2d 8997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
6	1, 5	syl3an3b 1408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {cpr 4584   class class class wbr 5100  2_oc2o 8401   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-suc 6331  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-1o 8407  df-2o 8408  df-en 8896

This theorem is referenced by:  pr2ne  9927  en2eqpr  9929  en2eleq  9930  pr2pwpr  14414  pmtrprfv  19394  pmtrprfv3  19395  symggen  19411  pmtr3ncomlem1  19414  pmtr3ncom  19416  mdetralt  22564  en2top  22941  hmphindis  23753  pmtrcnel  33182  pmtrcnel2  33183  fzo0pmtrlast  33185  pmtridf1o  33187  pmtrto1cl  33192  cycpm2tr  33212  cyc3evpm  33243  cyc3genpmlem  33244  cyc3conja  33250