Theorem enpr2 10021

Description: An unordered pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. This is a closed-form version of enpr2d 9068. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.) Avoid ax-pow 5340, ax-un 7734. (Revised by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
enpr2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Proof of Theorem enpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2934	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
2		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐷)
4		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
5	2, 3, 4	enpr2d 9068	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)
6	1, 5	syl3an3b 1407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {cpr 4608   class class class wbr 5124  2_oc2o 8479   ≈ cen 8961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-suc 6363  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-1o 8485  df-2o 8486  df-en 8965

This theorem is referenced by:  pr2ne  10023  pr2neOLD  10024  en2eqpr  10026  en2eleq  10027  pr2pwpr  14502  pmtrprfv  19439  pmtrprfv3  19440  symggen  19456  pmtr3ncomlem1  19459  pmtr3ncom  19461  mdetralt  22551  en2top  22928  hmphindis  23740  pmtrcnel  33105  pmtrcnel2  33106  fzo0pmtrlast  33108  pmtridf1o  33110  pmtrto1cl  33115  cycpm2tr  33135  cyc3evpm  33166  cyc3genpmlem  33167  cyc3conja  33173