Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemgv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemgv 33013
Description: Lemma for eulerpart 33022: value of the function ๐บ. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p ๐‘ƒ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ๐‘)}
eulerpart.o ๐‘‚ = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›}
eulerpart.d ๐ท = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) โ‰ค 1}
eulerpart.j ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
eulerpart.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
eulerpart.h ๐ป = {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m ๐ฝ) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin}
eulerpart.m ๐‘€ = (๐‘Ÿ โˆˆ ๐ป โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
eulerpart.r ๐‘… = {๐‘“ โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
eulerpart.t ๐‘‡ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ}
eulerpart.g ๐บ = (๐‘œ โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgv (๐ด โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ))))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘œ   ๐‘œ,๐น   ๐‘œ,๐ฝ   ๐‘œ,๐‘€   ๐‘…,๐‘œ   ๐‘‡,๐‘œ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)   ๐‘…(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)

Proof of Theorem eulerpartlemgv
StepHypRef Expression
1 reseq1 5936 . . . . . 6 (๐‘œ = ๐ด โ†’ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ) = (๐ด โ†พ ๐ฝ))
21coeq2d 5823 . . . . 5 (๐‘œ = ๐ด โ†’ (bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ)) = (bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ)))
32fveq2d 6851 . . . 4 (๐‘œ = ๐ด โ†’ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ))) = (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ))))
43imaeq2d 6018 . . 3 (๐‘œ = ๐ด โ†’ (๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ)))) = (๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ)))))
54fveq2d 6851 . 2 (๐‘œ = ๐ด โ†’ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ))))) = ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ))))))
6 eulerpart.g . 2 ๐บ = (๐‘œ โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ))))))
7 fvex 6860 . 2 ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ))))) โˆˆ V
85, 6, 7fvmpt 6953 1 (๐ด โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2714  โˆ€wral 3065  {crab 3410   โˆฉ cin 3914   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  ๐’ซ cpw 4565   class class class wbr 5110  {copab 5172   โ†ฆ cmpt 5193  โ—กccnv 5637   โ†พ cres 5640   โ€œ cima 5641   โˆ˜ ccom 5642  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364   supp csupp 8097   โ†‘m cmap 8772  Fincfn 8890  1c1 11059   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974  ฮฃcsu 15577   โˆฅ cdvds 16143  bitscbits 16306  ๐Ÿญcind 32649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  33016  eulerpartlemgf  33019  eulerpartlemn  33021
  Copyright terms: Public domain W3C validator