Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemgv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemgv 33372
Description: Lemma for eulerpart 33381: value of the function ๐บ. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p ๐‘ƒ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ๐‘)}
eulerpart.o ๐‘‚ = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›}
eulerpart.d ๐ท = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) โ‰ค 1}
eulerpart.j ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
eulerpart.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
eulerpart.h ๐ป = {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m ๐ฝ) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin}
eulerpart.m ๐‘€ = (๐‘Ÿ โˆˆ ๐ป โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
eulerpart.r ๐‘… = {๐‘“ โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
eulerpart.t ๐‘‡ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โŠ† ๐ฝ}
eulerpart.g ๐บ = (๐‘œ โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgv (๐ด โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ))))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘œ   ๐‘œ,๐น   ๐‘œ,๐ฝ   ๐‘œ,๐‘€   ๐‘…,๐‘œ   ๐‘‡,๐‘œ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)   ๐‘…(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘œ,๐‘Ÿ)

Proof of Theorem eulerpartlemgv
StepHypRef Expression
1 reseq1 5976 . . . . . 6 (๐‘œ = ๐ด โ†’ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ) = (๐ด โ†พ ๐ฝ))
21coeq2d 5863 . . . . 5 (๐‘œ = ๐ด โ†’ (bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ)) = (bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ)))
32fveq2d 6896 . . . 4 (๐‘œ = ๐ด โ†’ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ))) = (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ))))
43imaeq2d 6060 . . 3 (๐‘œ = ๐ด โ†’ (๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ)))) = (๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ)))))
54fveq2d 6896 . 2 (๐‘œ = ๐ด โ†’ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ))))) = ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ))))))
6 eulerpart.g . 2 ๐บ = (๐‘œ โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†ฆ ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐‘œ โ†พ ๐ฝ))))))
7 fvex 6905 . 2 ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ))))) โˆˆ V
85, 6, 7fvmpt 6999 1 (๐ด โˆˆ (๐‘‡ โˆฉ ๐‘…) โ†’ (๐บโ€˜๐ด) = ((๐Ÿญโ€˜โ„•)โ€˜(๐น โ€œ (๐‘€โ€˜(bits โˆ˜ (๐ด โ†พ ๐ฝ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710  โˆ€wral 3062  {crab 3433   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  ๐’ซ cpw 4603   class class class wbr 5149  {copab 5211   โ†ฆ cmpt 5232  โ—กccnv 5676   โ†พ cres 5679   โ€œ cima 5680   โˆ˜ ccom 5681  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411   supp csupp 8146   โ†‘m cmap 8820  Fincfn 8939  1c1 11111   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027  ฮฃcsu 15632   โˆฅ cdvds 16197  bitscbits 16360  ๐Ÿญcind 33008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgvv  33375  eulerpartlemgf  33378  eulerpartlemn  33380
  Copyright terms: Public domain W3C validator