Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemgf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemgf 33366
Description: Lemma for eulerpart 33369: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgf (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘Ÿ,𝐴,π‘œ   π‘œ,𝐹   π‘œ,𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽   𝑛,π‘Ÿ,𝐽,π‘œ,π‘₯,𝑦   π‘œ,𝑀,π‘Ÿ   𝑓,𝑁,𝑔,π‘₯   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,π‘œ   𝑇,𝑓,π‘œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemgf
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
2 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
3 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
4 eulerpart.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
5 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
6 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
7 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
8 eulerpart.r . . . . . . 7 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
9 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
10 eulerpart.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 33360 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))))
1211cnveqd 5873 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ β—‘(πΊβ€˜π΄) = β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))))
1312imaeq1d 6056 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) = (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}))
14 nnex 12214 . . . . 5 β„• ∈ V
15 imassrn 6068 . . . . . 6 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† ran 𝐹
164, 5oddpwdc 33341 . . . . . . 7 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„•
17 f1of 6830 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„• β†’ 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
18 frn 6721 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ ran 𝐹 βŠ† β„•)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . 6 ran 𝐹 βŠ† β„•
2015, 19sstri 3990 . . . . 5 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„•
21 indpi1 33006 . . . . 5 ((β„• ∈ V ∧ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„•) β†’ (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))
2214, 20, 21mp2an 690 . . . 4 (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))
2313, 22eqtrdi 2788 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))
24 ffun 6717 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ Fun 𝐹)
2516, 17, 24mp2b 10 . . . 4 Fun 𝐹
26 inss2 4228 . . . . 5 (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin) βŠ† Fin
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 33362 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 33354 . . . . . . . 8 𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
29 f1of 6830 . . . . . . . 8 (𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin) β†’ 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
3130ffvelcdmi 7082 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3227, 31syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3326, 32sselid 3979 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ Fin)
34 imafi 9171 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ Fin) β†’ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∈ Fin)
3525, 33, 34sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∈ Fin)
3623, 35eqeltrd 2833 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) ∈ Fin)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartgbij 33359 . . . . . . . 8 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
38 f1of 6830 . . . . . . . 8 (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
4039ffvelcdmi 7082 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
41 elin 3963 . . . . . . 7 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↔ ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ 𝑅))
4241simplbi 498 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•))
43 elmapi 8839 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
4440, 42, 433syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
4544ffund 6718 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Fun (πΊβ€˜π΄))
46 ssv 4005 . . . . 5 β„•0 βŠ† V
47 dfn2 12481 . . . . . 6 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
48 ssdif 4138 . . . . . 6 (β„•0 βŠ† V β†’ (β„•0 βˆ– {0}) βŠ† (V βˆ– {0}))
4947, 48eqsstrid 4029 . . . . 5 (β„•0 βŠ† V β†’ β„• βŠ† (V βˆ– {0}))
5046, 49ax-mp 5 . . . 4 β„• βŠ† (V βˆ– {0})
51 sspreima 7066 . . . 4 ((Fun (πΊβ€˜π΄) ∧ β„• βŠ† (V βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
5245, 50, 51sylancl 586 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
53 fvex 6901 . . . . 5 (πΊβ€˜π΄) ∈ V
54 0nn0 12483 . . . . 5 0 ∈ β„•0
55 suppimacnv 8155 . . . . 5 (((πΊβ€˜π΄) ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
5653, 54, 55mp2an 690 . . . 4 ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0}))
57 0ne1 12279 . . . . . . . . 9 0 β‰  1
58 difprsn1 4802 . . . . . . . . 9 (0 β‰  1 β†’ ({0, 1} βˆ– {0}) = {1})
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, 1} βˆ– {0}) = {1}
6059eqcomi 2741 . . . . . . 7 {1} = ({0, 1} βˆ– {0})
6160ffs2 31940 . . . . . 6 ((β„• ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1}) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6214, 54, 61mp3an12 1451 . . . . 5 ((πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1} β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6344, 62syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6456, 63eqtr3id 2786 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6552, 64sseqtrd 4021 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
66 ssfi 9169 . 2 (((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) ∈ Fin ∧ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
6736, 65, 66syl2anc 584 1 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  {copab 5209   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β†‘cexp 14023  Ξ£csu 15628   βˆ₯ cdvds 16193  bitscbits 16356  πŸ­cind 32996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-bits 16359  df-ind 32997
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  33367
  Copyright terms: Public domain W3C validator