Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemgf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemgf 33019
Description: Lemma for eulerpart 33022: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgf (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘Ÿ,𝐴,π‘œ   π‘œ,𝐹   π‘œ,𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽   𝑛,π‘Ÿ,𝐽,π‘œ,π‘₯,𝑦   π‘œ,𝑀,π‘Ÿ   𝑓,𝑁,𝑔,π‘₯   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,π‘œ   𝑇,𝑓,π‘œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)

Proof of Theorem eulerpartlemgf
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
2 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
3 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
4 eulerpart.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
5 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
6 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
7 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
8 eulerpart.r . . . . . . 7 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
9 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
10 eulerpart.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 33013 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))))
1211cnveqd 5836 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ β—‘(πΊβ€˜π΄) = β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))))
1312imaeq1d 6017 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) = (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}))
14 nnex 12166 . . . . 5 β„• ∈ V
15 imassrn 6029 . . . . . 6 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† ran 𝐹
164, 5oddpwdc 32994 . . . . . . 7 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„•
17 f1of 6789 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„• β†’ 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
18 frn 6680 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ ran 𝐹 βŠ† β„•)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . 6 ran 𝐹 βŠ† β„•
2015, 19sstri 3958 . . . . 5 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„•
21 indpi1 32659 . . . . 5 ((β„• ∈ V ∧ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„•) β†’ (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))
2214, 20, 21mp2an 691 . . . 4 (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))
2313, 22eqtrdi 2793 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))
24 ffun 6676 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ Fun 𝐹)
2516, 17, 24mp2b 10 . . . 4 Fun 𝐹
26 inss2 4194 . . . . 5 (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin) βŠ† Fin
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 33015 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 33007 . . . . . . . 8 𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
29 f1of 6789 . . . . . . . 8 (𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin) β†’ 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
3130ffvelcdmi 7039 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3227, 31syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3326, 32sselid 3947 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ Fin)
34 imafi 9126 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ Fin) β†’ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∈ Fin)
3525, 33, 34sylancr 588 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∈ Fin)
3623, 35eqeltrd 2838 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) ∈ Fin)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartgbij 33012 . . . . . . . 8 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
38 f1of 6789 . . . . . . . 8 (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
4039ffvelcdmi 7039 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
41 elin 3931 . . . . . . 7 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↔ ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ 𝑅))
4241simplbi 499 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•))
43 elmapi 8794 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
4440, 42, 433syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
4544ffund 6677 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Fun (πΊβ€˜π΄))
46 ssv 3973 . . . . 5 β„•0 βŠ† V
47 dfn2 12433 . . . . . 6 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
48 ssdif 4104 . . . . . 6 (β„•0 βŠ† V β†’ (β„•0 βˆ– {0}) βŠ† (V βˆ– {0}))
4947, 48eqsstrid 3997 . . . . 5 (β„•0 βŠ† V β†’ β„• βŠ† (V βˆ– {0}))
5046, 49ax-mp 5 . . . 4 β„• βŠ† (V βˆ– {0})
51 sspreima 7023 . . . 4 ((Fun (πΊβ€˜π΄) ∧ β„• βŠ† (V βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
5245, 50, 51sylancl 587 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
53 fvex 6860 . . . . 5 (πΊβ€˜π΄) ∈ V
54 0nn0 12435 . . . . 5 0 ∈ β„•0
55 suppimacnv 8110 . . . . 5 (((πΊβ€˜π΄) ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
5653, 54, 55mp2an 691 . . . 4 ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0}))
57 0ne1 12231 . . . . . . . . 9 0 β‰  1
58 difprsn1 4765 . . . . . . . . 9 (0 β‰  1 β†’ ({0, 1} βˆ– {0}) = {1})
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, 1} βˆ– {0}) = {1}
6059eqcomi 2746 . . . . . . 7 {1} = ({0, 1} βˆ– {0})
6160ffs2 31687 . . . . . 6 ((β„• ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1}) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6214, 54, 61mp3an12 1452 . . . . 5 ((πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1} β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6344, 62syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6456, 63eqtr3id 2791 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6552, 64sseqtrd 3989 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
66 ssfi 9124 . 2 (((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) ∈ Fin ∧ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
6736, 65, 66syl2anc 585 1 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  {copab 5172   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   supp csupp 8097   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β†‘cexp 13974  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  bitscbits 16306  πŸ­cind 32649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-bits 16309  df-ind 32650
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  33020
  Copyright terms: Public domain W3C validator