Theorem eulerpartlemgf 34523

Description: Lemma for eulerpart 34526: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h	⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m	⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
eulerpart.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g	⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemgf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝐴,𝑜   𝑜,𝐹   𝑜,𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑟,𝐽,𝑜,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀,𝑟   𝑓,𝑁,𝑔,𝑥   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,𝑜   𝑇,𝑓,𝑜

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2		eulerpart.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
3		eulerpart.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
4		eulerpart.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
5		eulerpart.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
6		eulerpart.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
7		eulerpart.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
8		eulerpart.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		eulerpart.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
10		eulerpart.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemgv 34517	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))))
12	11	cnveqd 5830	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ◡(𝐺‘𝐴) = ◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))))
13	12	imaeq1d 6024	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) = (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}))
14		nnex 12180	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
15		imassrn 6036	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ran 𝐹
16	4, 5	oddpwdc 34498	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ
17		f1of 6780	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ)
18		frn 6675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → ran 𝐹 ⊆ ℕ)
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ℕ
20	15, 19	sstri 3931	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ℕ
21		indpi1 12173	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ℕ) → (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))))
22	14, 20, 21	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))
23	13, 22	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))))
24		ffun 6671	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → Fun 𝐹)
25	16, 17, 24	mp2b 10	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
26		inss2 4178	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ⊆ Fin
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemmf 34519	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	eulerpartlem1 34511	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
29		f1of 6780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) → 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
31	30	ffvelcdmi 7035	. . . . . 6 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻 → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
32	27, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
33	26, 32	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ Fin)
34		imafi 9225	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ Fin) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ∈ Fin)
35	25, 33, 34	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ∈ Fin)
36	23, 35	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) ∈ Fin)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartgbij 34516	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅)
38		f1of 6780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟶(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟶(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅)
40	39	ffvelcdmi 7035	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅))
41		elin 3905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↔ ((𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ) ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ 𝑅))
42	41	simplbi 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ))
43		elmapi 8796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ) → (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
44	40, 42, 43	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
45	44	ffund 6672	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → Fun (𝐺‘𝐴))
46		ssv 3946	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ V
47		dfn2 12450	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
48		ssdif 4084	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ⊆ V → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (V ∖ {0}))
49	47, 48	eqsstrid 3960	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ V → ℕ ⊆ (V ∖ {0}))
50	46, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (V ∖ {0})
51		sspreima 7020	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺‘𝐴) ∧ ℕ ⊆ (V ∖ {0})) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
52	45, 50, 51	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
53		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝐴) ∈ V
54		0nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
55		suppimacnv 8124	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
56	53, 54, 55	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0}))
57		0ne1 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
58		difprsn1 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
60	59	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ {1} = ({0, 1} ∖ {0})
61	60	ffs2 32800	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
62	14, 54, 61	mp3an12 1454	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
63	44, 62	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
64	56, 63	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
65	52, 64	sseqtrd 3958	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
66		ssfi 9107	. 2 ⊢ (((◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) ∈ Fin ∧ (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ {1})) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
67	36, 65, 66	syl2anc 585	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3389  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5085  {copab 5147   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632   ↾ cres 5633   “ cima 5634   ∘ ccom 5635  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369   supp csupp 8110   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   ≤ cle 11180  𝟭cind 12159  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023  Σcsu 15648   ∥ cdvds 16221  bitscbits 16388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-disj 5053  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-ind 12160  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-bits 16391

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  34524