Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemgf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemgf 33677
Description: Lemma for eulerpart 33680: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgf (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘Ÿ,𝐴,π‘œ   π‘œ,𝐹   π‘œ,𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽   𝑛,π‘Ÿ,𝐽,π‘œ,π‘₯,𝑦   π‘œ,𝑀,π‘Ÿ   𝑓,𝑁,𝑔,π‘₯   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,π‘œ   𝑇,𝑓,π‘œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemgf
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
2 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
3 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
4 eulerpart.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
5 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
6 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
7 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
8 eulerpart.r . . . . . . 7 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
9 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
10 eulerpart.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 33671 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))))
1211cnveqd 5875 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ β—‘(πΊβ€˜π΄) = β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))))
1312imaeq1d 6058 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) = (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}))
14 nnex 12223 . . . . 5 β„• ∈ V
15 imassrn 6070 . . . . . 6 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† ran 𝐹
164, 5oddpwdc 33652 . . . . . . 7 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„•
17 f1of 6833 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„• β†’ 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
18 frn 6724 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ ran 𝐹 βŠ† β„•)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . 6 ran 𝐹 βŠ† β„•
2015, 19sstri 3991 . . . . 5 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„•
21 indpi1 33317 . . . . 5 ((β„• ∈ V ∧ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„•) β†’ (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))
2214, 20, 21mp2an 689 . . . 4 (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))
2313, 22eqtrdi 2787 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))
24 ffun 6720 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ Fun 𝐹)
2516, 17, 24mp2b 10 . . . 4 Fun 𝐹
26 inss2 4229 . . . . 5 (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin) βŠ† Fin
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 33673 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 33665 . . . . . . . 8 𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
29 f1of 6833 . . . . . . . 8 (𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin) β†’ 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
3130ffvelcdmi 7085 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3227, 31syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3326, 32sselid 3980 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ Fin)
34 imafi 9179 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ Fin) β†’ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∈ Fin)
3525, 33, 34sylancr 586 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∈ Fin)
3623, 35eqeltrd 2832 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) ∈ Fin)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartgbij 33670 . . . . . . . 8 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
38 f1of 6833 . . . . . . . 8 (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
4039ffvelcdmi 7085 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
41 elin 3964 . . . . . . 7 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↔ ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ 𝑅))
4241simplbi 497 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•))
43 elmapi 8847 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
4440, 42, 433syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
4544ffund 6721 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Fun (πΊβ€˜π΄))
46 ssv 4006 . . . . 5 β„•0 βŠ† V
47 dfn2 12490 . . . . . 6 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
48 ssdif 4139 . . . . . 6 (β„•0 βŠ† V β†’ (β„•0 βˆ– {0}) βŠ† (V βˆ– {0}))
4947, 48eqsstrid 4030 . . . . 5 (β„•0 βŠ† V β†’ β„• βŠ† (V βˆ– {0}))
5046, 49ax-mp 5 . . . 4 β„• βŠ† (V βˆ– {0})
51 sspreima 7069 . . . 4 ((Fun (πΊβ€˜π΄) ∧ β„• βŠ† (V βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
5245, 50, 51sylancl 585 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
53 fvex 6904 . . . . 5 (πΊβ€˜π΄) ∈ V
54 0nn0 12492 . . . . 5 0 ∈ β„•0
55 suppimacnv 8163 . . . . 5 (((πΊβ€˜π΄) ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
5653, 54, 55mp2an 689 . . . 4 ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0}))
57 0ne1 12288 . . . . . . . . 9 0 β‰  1
58 difprsn1 4803 . . . . . . . . 9 (0 β‰  1 β†’ ({0, 1} βˆ– {0}) = {1})
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, 1} βˆ– {0}) = {1}
6059eqcomi 2740 . . . . . . 7 {1} = ({0, 1} βˆ– {0})
6160ffs2 32221 . . . . . 6 ((β„• ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1}) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6214, 54, 61mp3an12 1450 . . . . 5 ((πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1} β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6344, 62syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6456, 63eqtr3id 2785 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6552, 64sseqtrd 4022 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
66 ssfi 9177 . 2 (((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) ∈ Fin ∧ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
6736, 65, 66syl2anc 583 1 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   supp csupp 8150   ↑m cmap 8824  Fincfn 8943  0cc0 11114  1c1 11115   Β· cmul 11119   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β†‘cexp 14032  Ξ£csu 15637   βˆ₯ cdvds 16202  bitscbits 16365  πŸ­cind 33307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-bits 16368  df-ind 33308
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  33678
  Copyright terms: Public domain W3C validator