Theorem eulerpartlemgf 34357

Description: Lemma for eulerpart 34360: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h	⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m	⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
eulerpart.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g	⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemgf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝐴,𝑜   𝑜,𝐹   𝑜,𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑟,𝐽,𝑜,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀,𝑟   𝑓,𝑁,𝑔,𝑥   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,𝑜   𝑇,𝑓,𝑜

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2		eulerpart.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
3		eulerpart.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
4		eulerpart.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
5		eulerpart.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
6		eulerpart.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
7		eulerpart.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
8		eulerpart.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		eulerpart.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
10		eulerpart.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemgv 34351	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))))
12	11	cnveqd 5855	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ◡(𝐺‘𝐴) = ◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))))
13	12	imaeq1d 6046	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) = (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}))
14		nnex 12244	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
15		imassrn 6058	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ran 𝐹
16	4, 5	oddpwdc 34332	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ
17		f1of 6817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ)
18		frn 6712	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → ran 𝐹 ⊆ ℕ)
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ℕ
20	15, 19	sstri 3968	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ℕ
21		indpi1 32783	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ℕ) → (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))))
22	14, 20, 21	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))
23	13, 22	eqtrdi 2786	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))))
24		ffun 6708	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → Fun 𝐹)
25	16, 17, 24	mp2b 10	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
26		inss2 4213	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ⊆ Fin
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemmf 34353	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	eulerpartlem1 34345	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
29		f1of 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) → 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
31	30	ffvelcdmi 7072	. . . . . 6 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻 → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
32	27, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
33	26, 32	sselid 3956	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ Fin)
34		imafi 9323	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ Fin) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ∈ Fin)
35	25, 33, 34	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ∈ Fin)
36	23, 35	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) ∈ Fin)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartgbij 34350	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅)
38		f1of 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟶(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟶(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅)
40	39	ffvelcdmi 7072	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅))
41		elin 3942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↔ ((𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ) ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ 𝑅))
42	41	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ))
43		elmapi 8861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ) → (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
44	40, 42, 43	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
45	44	ffund 6709	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → Fun (𝐺‘𝐴))
46		ssv 3983	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ V
47		dfn2 12512	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
48		ssdif 4119	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ⊆ V → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (V ∖ {0}))
49	47, 48	eqsstrid 3997	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ V → ℕ ⊆ (V ∖ {0}))
50	46, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (V ∖ {0})
51		sspreima 7057	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺‘𝐴) ∧ ℕ ⊆ (V ∖ {0})) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
52	45, 50, 51	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
53		fvex 6888	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝐴) ∈ V
54		0nn0 12514	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
55		suppimacnv 8171	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
56	53, 54, 55	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0}))
57		0ne1 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
58		difprsn1 4776	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
60	59	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ {1} = ({0, 1} ∖ {0})
61	60	ffs2 32651	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
62	14, 54, 61	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
63	44, 62	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
64	56, 63	eqtr3id 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
65	52, 64	sseqtrd 3995	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
66		ssfi 9185	. 2 ⊢ (((◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) ∈ Fin ∧ (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ {1})) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
67	36, 65, 66	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3415  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575  {csn 4601  {cpr 4603   class class class wbr 5119  {copab 5181   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653  ran crn 5655   ↾ cres 5656   “ cima 5657   ∘ ccom 5658  Fun wfun 6524  ⟶wf 6526  –1-1-onto→wf1o 6529  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ∈ cmpo 7405   supp csupp 8157   ↑_m cmap 8838  Fincfn 8957  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132   ≤ cle 11268  ℕcn 12238  2c2 12293  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14077  Σcsu 15700   ∥ cdvds 16270  bitscbits 16436  𝟭cind 32773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-ac2 10475  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-dju 9913  df-card 9951  df-acn 9954  df-ac 10128  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-sum 15701  df-dvds 16271  df-bits 16439  df-ind 32774

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  34358