Theorem eulerpartlemgf 34898

Description: Lemma for eulerpart 34901: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h	⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m	⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
eulerpart.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g	⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemgf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝐴,𝑜   𝑜,𝐹   𝑜,𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑟,𝐽,𝑜,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀,𝑟   𝑓,𝑁,𝑔,𝑥   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,𝑜   𝑇,𝑓,𝑜

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑔, 𝑘, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔, 𝑘, 𝑛, 𝑜, 𝑟)   𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑘, 𝑜, 𝑟)   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑔, 𝑘, 𝑛, 𝑟)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑔, 𝑘, 𝑛, 𝑟)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔, 𝑘, 𝑛, 𝑟)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔, 𝑘, 𝑛, 𝑜, 𝑟)   𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔, 𝑘, 𝑛)   𝐽(𝑧, 𝑔, 𝑘)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔, 𝑘, 𝑛)   𝑁(𝑦, 𝑧, 𝑘, 𝑛, 𝑜, 𝑟)   𝑂(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔, 𝑘, 𝑛, 𝑜, 𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2		eulerpart.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
3		eulerpart.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
4		eulerpart.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
5		eulerpart.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
6		eulerpart.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
7		eulerpart.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
8		eulerpart.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		eulerpart.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
10		eulerpart.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemgv 34892	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))))
12	11	cnveqd 5859	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ◡(𝐺‘𝐴) = ◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))))
13	12	imaeq1d 6059	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) = (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}))
14		nnex 12267	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
15		imassrn 6071	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ran 𝐹
16	4, 5	oddpwdc 34873	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ
17		f1of 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ)
18		frn 6714	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → ran 𝐹 ⊆ ℕ)
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ℕ
20	15, 19	sstri 3943	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ℕ
21		indpi1 12260	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ℕ) → (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))))
22	14, 20, 21	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))
23	13, 22	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))))
24		ffun 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → Fun 𝐹)
25	16, 17, 24	mp2b 10	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
26		inss2 4186	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ⊆ Fin
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemmf 34894	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	eulerpartlem1 34886	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
29		f1of 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) → 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
31	30	ffvelcdmi 7080	. . . . . 6 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻 → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
32	27, 31	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
33	26, 32	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ Fin)
34		imafi 9289	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ Fin) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ∈ Fin)
35	25, 33, 34	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ∈ Fin)
36	23, 35	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) ∈ Fin)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartgbij 34891	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅)
38		f1of 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟶(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟶(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅)
40	39	ffvelcdmi 7080	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅))
41		elin 3918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↔ ((𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ) ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ 𝑅))
42	41	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ))
43		elmapi 8852	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ) → (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
44	40, 42, 43	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
45	44	ffund 6711	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → Fun (𝐺‘𝐴))
46		ssv 3958	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ V
47		dfn2 12545	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
48		ssdif 4094	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ⊆ V → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (V ∖ {0}))
49	47, 48	eqsstrid 3972	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ V → ℕ ⊆ (V ∖ {0}))
50	46, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (V ∖ {0})
51		sspreima 7064	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺‘𝐴) ∧ ℕ ⊆ (V ∖ {0})) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
52	45, 50, 51	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
53		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝐴) ∈ V
54		0nn0 12547	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
55		suppimacnv 8176	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
56	53, 54, 55	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0}))
57		0ne1 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
58		difprsn1 4766	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
60	59	eqcomi 2771	. . . . . . 7 ⊢ {1} = ({0, 1} ∖ {0})
61	60	ffs2 33206	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
62	14, 54, 61	mp3an12 1480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
63	44, 62	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
64	56, 63	eqtr3id 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
65	52, 64	sseqtrd 3970	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
66		ssfi 9171	. 2 ⊢ (((◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) ∈ Fin ∧ (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ {1})) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
67	36, 65, 66	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5107  {copab 5171   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660   ↾ cres 5661   “ cima 5662   ∘ ccom 5663  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   supp csupp 8162   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133   ≤ cle 11272  𝟭cind 12246  ℕcn 12261  2c2 12323  ℕ₀cn0 12532  ↑cexp 14129  Σcsu 15777   ∥ cdvds 16348  bitscbits 16515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-ind 12247  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-dvds 16349  df-bits 16518

This theorem is used by:  eulerpartlemgs2  34899