Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemgf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemgf 34360
Description: Lemma for eulerpart 34363: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgf (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝐴,𝑜   𝑜,𝐹   𝑜,𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑟,𝐽,𝑜,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀,𝑟   𝑓,𝑁,𝑔,𝑥   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,𝑜   𝑇,𝑓,𝑜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemgf
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
3 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
4 eulerpart.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
5 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
6 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
7 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
8 eulerpart.r . . . . . . 7 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
10 eulerpart.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 34354 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))))
1211cnveqd 5888 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))))
1312imaeq1d 6078 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ {1}) = (((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))) “ {1}))
14 nnex 12269 . . . . 5 ℕ ∈ V
15 imassrn 6090 . . . . . 6 (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ⊆ ran 𝐹
164, 5oddpwdc 34335 . . . . . . 7 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ
17 f1of 6848 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ)
18 frn 6743 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → ran 𝐹 ⊆ ℕ)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . 6 ran 𝐹 ⊆ ℕ
2015, 19sstri 4004 . . . . 5 (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ⊆ ℕ
21 indpi1 34000 . . . . 5 ((ℕ ∈ V ∧ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ⊆ ℕ) → (((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))))
2214, 20, 21mp2an 692 . . . 4 (((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))
2313, 22eqtrdi 2790 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))))
24 ffun 6739 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → Fun 𝐹)
2516, 17, 24mp2b 10 . . . 4 Fun 𝐹
26 inss2 4245 . . . . 5 (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ⊆ Fin
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 34356 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 34348 . . . . . . . 8 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
29 f1of 6848 . . . . . . . 8 (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) → 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
3130ffvelcdmi 7102 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
3227, 31syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
3326, 32sselid 3992 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ Fin)
34 imafi 9350 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ Fin) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ∈ Fin)
3525, 33, 34sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ∈ Fin)
3623, 35eqeltrd 2838 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ {1}) ∈ Fin)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartgbij 34353 . . . . . . . 8 𝐺:(𝑇𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅)
38 f1of 6848 . . . . . . . 8 (𝐺:(𝑇𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐺:(𝑇𝑅)⟶(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(𝑇𝑅)⟶(({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅)
4039ffvelcdmi 7102 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅))
41 elin 3978 . . . . . . 7 ((𝐺𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) ↔ ((𝐺𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ) ∧ (𝐺𝐴) ∈ 𝑅))
4241simplbi 497 . . . . . 6 ((𝐺𝐴) ∈ (({0, 1} ↑m ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐺𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ))
43 elmapi 8887 . . . . . 6 ((𝐺𝐴) ∈ ({0, 1} ↑m ℕ) → (𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1})
4440, 42, 433syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1})
4544ffund 6740 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → Fun (𝐺𝐴))
46 ssv 4019 . . . . 5 0 ⊆ V
47 dfn2 12536 . . . . . 6 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
48 ssdif 4153 . . . . . 6 (ℕ0 ⊆ V → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (V ∖ {0}))
4947, 48eqsstrid 4043 . . . . 5 (ℕ0 ⊆ V → ℕ ⊆ (V ∖ {0}))
5046, 49ax-mp 5 . . . 4 ℕ ⊆ (V ∖ {0})
51 sspreima 7087 . . . 4 ((Fun (𝐺𝐴) ∧ ℕ ⊆ (V ∖ {0})) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})))
5245, 50, 51sylancl 586 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})))
53 fvex 6919 . . . . 5 (𝐺𝐴) ∈ V
54 0nn0 12538 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
55 suppimacnv 8197 . . . . 5 (((𝐺𝐴) ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})))
5653, 54, 55mp2an 692 . . . 4 ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0}))
57 0ne1 12334 . . . . . . . . 9 0 ≠ 1
58 difprsn1 4804 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
6059eqcomi 2743 . . . . . . 7 {1} = ({0, 1} ∖ {0})
6160ffs2 32745 . . . . . 6 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1}) → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6214, 54, 61mp3an12 1450 . . . . 5 ((𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1} → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6344, 62syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6456, 63eqtr3id 2788 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6552, 64sseqtrd 4035 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ {1}))
66 ssfi 9211 . 2 ((((𝐺𝐴) “ {1}) ∈ Fin ∧ ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ {1})) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
6736, 65, 66syl2anc 584 1 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wne 2937  wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147  {copab 5209  cmpt 5230   × cxp 5686  ccnv 5687  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  ccom 5692  Fun wfun 6556  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432   supp csupp 8183  m cmap 8864  Fincfn 8983  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  cle 11293  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cexp 14098  Σcsu 15718  cdvds 16286  bitscbits 16452  𝟭cind 33990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-ac 10153  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-dvds 16287  df-bits 16455  df-ind 33991
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  34361
  Copyright terms: Public domain W3C validator