Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemgf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eulerpartlemgf 33867
Description: Lemma for eulerpart 33870: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
eulerpart.h 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgf (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,π‘Ÿ,𝐴,π‘œ   π‘œ,𝐹   π‘œ,𝐻,π‘Ÿ   𝑓,𝐽   𝑛,π‘Ÿ,𝐽,π‘œ,π‘₯,𝑦   π‘œ,𝑀,π‘Ÿ   𝑓,𝑁,𝑔,π‘₯   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,π‘œ   𝑇,𝑓,π‘œ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,π‘˜,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,π‘˜)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,π‘˜,𝑛,π‘œ,π‘Ÿ)
Proof of Theorem eulerpartlemgf
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ ((◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘˜) Β· π‘˜) = 𝑁)}
2 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ (◑𝑔 β€œ β„•) Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛}
3 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ βˆ€π‘› ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ≀ 1}
4 eulerpart.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑧 ∈ β„• ∣ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑧}
5 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((2↑𝑦) Β· π‘₯))
6 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {π‘Ÿ ∈ ((𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (π‘Ÿ supp βˆ…) ∈ Fin}
7 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (π‘Ÿ ∈ 𝐻 ↦ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (π‘Ÿβ€˜π‘₯))})
8 eulerpart.r . . . . . . 7 𝑅 = {𝑓 ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
9 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„•) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† 𝐽}
10 eulerpart.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘œ ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (π‘œ β†Ύ 𝐽))))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 33861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) = ((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))))
1211cnveqd 5865 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ β—‘(πΊβ€˜π΄) = β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))))
1312imaeq1d 6048 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) = (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}))
14 nnex 12215 . . . . 5 β„• ∈ V
15 imassrn 6060 . . . . . 6 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† ran 𝐹
164, 5oddpwdc 33842 . . . . . . 7 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„•
17 f1of 6823 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)–1-1-ontoβ†’β„• β†’ 𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„•)
18 frn 6714 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ ran 𝐹 βŠ† β„•)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . 6 ran 𝐹 βŠ† β„•
2015, 19sstri 3983 . . . . 5 (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„•
21 indpi1 33507 . . . . 5 ((β„• ∈ V ∧ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) βŠ† β„•) β†’ (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))
2214, 20, 21mp2an 689 . . . 4 (β—‘((πŸ­β€˜β„•)β€˜(𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))))
2313, 22eqtrdi 2780 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) = (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))))
24 ffun 6710 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 Γ— β„•0)βŸΆβ„• β†’ Fun 𝐹)
2516, 17, 24mp2b 10 . . . 4 Fun 𝐹
26 inss2 4221 . . . . 5 (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin) βŠ† Fin
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 33863 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 33855 . . . . . . . 8 𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
29 f1of 6823 . . . . . . . 8 (𝑀:𝐻–1-1-ontoβ†’(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin) β†’ 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑀:𝐻⟢(𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin)
3130ffvelcdmi 7075 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)) ∈ 𝐻 β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3227, 31syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 Γ— β„•0) ∩ Fin))
3326, 32sselid 3972 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ Fin)
34 imafi 9171 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽))) ∈ Fin) β†’ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∈ Fin)
3525, 33, 34sylancr 586 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (𝐹 β€œ (π‘€β€˜(bits ∘ (𝐴 β†Ύ 𝐽)))) ∈ Fin)
3623, 35eqeltrd 2825 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) ∈ Fin)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartgbij 33860 . . . . . . . 8 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
38 f1of 6823 . . . . . . . 8 (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-ontoβ†’(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟢(({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅)
4039ffvelcdmi 7075 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅))
41 elin 3956 . . . . . . 7 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) ↔ ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ 𝑅))
4241simplbi 497 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π΄) ∈ (({0, 1} ↑m β„•) ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•))
43 elmapi 8839 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π΄) ∈ ({0, 1} ↑m β„•) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
4440, 42, 433syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1})
4544ffund 6711 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ Fun (πΊβ€˜π΄))
46 ssv 3998 . . . . 5 β„•0 βŠ† V
47 dfn2 12482 . . . . . 6 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
48 ssdif 4131 . . . . . 6 (β„•0 βŠ† V β†’ (β„•0 βˆ– {0}) βŠ† (V βˆ– {0}))
4947, 48eqsstrid 4022 . . . . 5 (β„•0 βŠ† V β†’ β„• βŠ† (V βˆ– {0}))
5046, 49ax-mp 5 . . . 4 β„• βŠ† (V βˆ– {0})
51 sspreima 7059 . . . 4 ((Fun (πΊβ€˜π΄) ∧ β„• βŠ† (V βˆ– {0})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
5245, 50, 51sylancl 585 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
53 fvex 6894 . . . . 5 (πΊβ€˜π΄) ∈ V
54 0nn0 12484 . . . . 5 0 ∈ β„•0
55 suppimacnv 8153 . . . . 5 (((πΊβ€˜π΄) ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})))
5653, 54, 55mp2an 689 . . . 4 ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0}))
57 0ne1 12280 . . . . . . . . 9 0 β‰  1
58 difprsn1 4795 . . . . . . . . 9 (0 β‰  1 β†’ ({0, 1} βˆ– {0}) = {1})
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, 1} βˆ– {0}) = {1}
6059eqcomi 2733 . . . . . . 7 {1} = ({0, 1} βˆ– {0})
6160ffs2 32422 . . . . . 6 ((β„• ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ (πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1}) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6214, 54, 61mp3an12 1447 . . . . 5 ((πΊβ€˜π΄):β„•βŸΆ{0, 1} β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6344, 62syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ ((πΊβ€˜π΄) supp 0) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6456, 63eqtr3id 2778 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ (V βˆ– {0})) = (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
6552, 64sseqtrd 4014 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}))
66 ssfi 9169 . 2 (((β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1}) ∈ Fin ∧ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) βŠ† (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ {1})) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
6736, 65, 66syl2anc 583 1 (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) β†’ (β—‘(πΊβ€˜π΄) β€œ β„•) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  {csn 4620  {cpr 4622   class class class wbr 5138  {copab 5200   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664  β—‘ccnv 5665  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668   β€œ cima 5669   ∘ ccom 5670  Fun wfun 6527  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403   supp csupp 8140   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11246  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β†‘cexp 14024  Ξ£csu 15629   βˆ₯ cdvds 16194  bitscbits 16357  πŸ­cind 33497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-dvds 16195  df-bits 16360  df-ind 33498
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  33868
  Copyright terms: Public domain W3C validator