Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlemgf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlemgf 30888
Description: Lemma for eulerpart 30891: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
eulerpart.r 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgf (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝐴,𝑜   𝑜,𝐹   𝑜,𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑟,𝐽,𝑜,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀,𝑟   𝑓,𝑁,𝑔,𝑥   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,𝑜   𝑇,𝑓,𝑜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemgf
StepHypRef Expression
1 eulerpart.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2 eulerpart.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
3 eulerpart.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
4 eulerpart.j . . . . . . 7 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
5 eulerpart.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
6 eulerpart.h . . . . . . 7 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
7 eulerpart.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
8 eulerpart.r . . . . . . 7 𝑅 = {𝑓 ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 eulerpart.t . . . . . . 7 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
10 eulerpart.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜𝐽))))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemgv 30882 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))))
1211cnveqd 5466 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))))
1312imaeq1d 5647 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ {1}) = (((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))) “ {1}))
14 nnex 11281 . . . . 5 ℕ ∈ V
15 imassrn 5659 . . . . . 6 (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ⊆ ran 𝐹
164, 5oddpwdc 30863 . . . . . . 7 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ
17 f1of 6320 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ)
18 frn 6229 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → ran 𝐹 ⊆ ℕ)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . 6 ran 𝐹 ⊆ ℕ
2015, 19sstri 3770 . . . . 5 (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ⊆ ℕ
21 indpi1 30529 . . . . 5 ((ℕ ∈ V ∧ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ⊆ ℕ) → (((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))))
2214, 20, 21mp2an 683 . . . 4 (((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))))
2313, 22syl6eq 2815 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))))
24 ffun 6226 . . . . 5 (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → Fun 𝐹)
2516, 17, 24mp2b 10 . . . 4 Fun 𝐹
26 inss2 3993 . . . . 5 (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ⊆ Fin
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemmf 30884 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7eulerpartlem1 30876 . . . . . . . 8 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
29 f1of 6320 . . . . . . . 8 (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) → 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
3130ffvelrni 6548 . . . . . 6 ((bits ∘ (𝐴𝐽)) ∈ 𝐻 → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
3227, 31syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
3326, 32sseldi 3759 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ Fin)
34 imafi 8466 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽))) ∈ Fin) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ∈ Fin)
3525, 33, 34sylancr 581 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴𝐽)))) ∈ Fin)
3623, 35eqeltrd 2844 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ {1}) ∈ Fin)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartgbij 30881 . . . . . . . 8 𝐺:(𝑇𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)
38 f1of 6320 . . . . . . . 8 (𝐺:(𝑇𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐺:(𝑇𝑅)⟶(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(𝑇𝑅)⟶(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)
4039ffvelrni 6548 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
41 elin 3958 . . . . . . 7 ((𝐺𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↔ ((𝐺𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐺𝐴) ∈ 𝑅))
4241simplbi 491 . . . . . 6 ((𝐺𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐺𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ))
43 elmapi 8082 . . . . . 6 ((𝐺𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → (𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1})
4440, 42, 433syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → (𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1})
4544ffund 6227 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → Fun (𝐺𝐴))
46 ssv 3785 . . . . 5 0 ⊆ V
47 dfn2 11553 . . . . . 6 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
48 ssdif 3907 . . . . . 6 (ℕ0 ⊆ V → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (V ∖ {0}))
4947, 48syl5eqss 3809 . . . . 5 (ℕ0 ⊆ V → ℕ ⊆ (V ∖ {0}))
5046, 49ax-mp 5 . . . 4 ℕ ⊆ (V ∖ {0})
51 sspreima 29897 . . . 4 ((Fun (𝐺𝐴) ∧ ℕ ⊆ (V ∖ {0})) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})))
5245, 50, 51sylancl 580 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})))
53 fvex 6388 . . . . 5 (𝐺𝐴) ∈ V
54 0nn0 11555 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
55 suppimacnv 7508 . . . . 5 (((𝐺𝐴) ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})))
5653, 54, 55mp2an 683 . . . 4 ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0}))
57 0ne1 11343 . . . . . . . . 9 0 ≠ 1
58 difprsn1 4485 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
6059eqcomi 2774 . . . . . . 7 {1} = ({0, 1} ∖ {0})
6160ffs2 29952 . . . . . 6 ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1}) → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6214, 54, 61mp3an12 1575 . . . . 5 ((𝐺𝐴):ℕ⟶{0, 1} → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6344, 62syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) supp 0) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6456, 63syl5eqr 2813 . . 3 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ (V ∖ {0})) = ((𝐺𝐴) “ {1}))
6552, 64sseqtrd 3801 . 2 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ {1}))
66 ssfi 8387 . 2 ((((𝐺𝐴) “ {1}) ∈ Fin ∧ ((𝐺𝐴) “ ℕ) ⊆ ((𝐺𝐴) “ {1})) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
6736, 65, 66syl2anc 579 1 (𝐴 ∈ (𝑇𝑅) → ((𝐺𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  {crab 3059  Vcvv 3350  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334  {cpr 4336   class class class wbr 4809  {copab 4871  cmpt 4888   × cxp 5275  ccnv 5276  ran crn 5278  cres 5279  cima 5280  ccom 5281  Fun wfun 6062  wf 6064  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844   supp csupp 7497  𝑚 cmap 8060  Fincfn 8160  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194  cle 10329  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cexp 13067  Σcsu 14701  cdvds 15265  bitscbits 15422  𝟭cind 30519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-ac2 9538  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-ac 9190  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-dvds 15266  df-bits 15425  df-ind 30520
This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  30889
  Copyright terms: Public domain W3C validator