MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlfval 18179
Description: Value of the evaluation functor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evlfval.e ๐ธ = (๐ถ evalF ๐ท)
evlfval.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
evlfval.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
evlfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
evlfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
evlfval.o ยท = (compโ€˜๐ท)
evlfval.n ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
Assertion
Ref Expression
evlfval (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ถ   ๐ท,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐ป,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ยท ,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘Ž)   ยท (๐‘“)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ป(๐‘“,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘“)

Proof of Theorem evlfval
Dummy variables ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlfval.e . 2 ๐ธ = (๐ถ evalF ๐ท)
2 df-evlf 18175 . . . 4 evalF = (๐‘ โˆˆ Cat, ๐‘‘ โˆˆ Cat โ†ฆ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
32a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ evalF = (๐‘ โˆˆ Cat, ๐‘‘ โˆˆ Cat โ†ฆ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ))
4 simprl 768 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
5 simprr 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ๐‘‘ = ๐ท)
64, 5oveq12d 7422 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Func ๐‘‘) = (๐ถ Func ๐ท))
74fveq2d 6888 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐ถ))
8 evlfval.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
97, 8eqtr4di 2784 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = ๐ต)
10 eqidd 2727 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ))
116, 9, 10mpoeq123dv 7479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)))
126, 9xpeq12d 5700 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) = ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต))
134, 5oveq12d 7422 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Nat ๐‘‘) = (๐ถ Nat ๐ท))
14 evlfval.n . . . . . . . . . 10 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
1513, 14eqtr4di 2784 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Nat ๐‘‘) = ๐‘)
1615oveqd 7421 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›) = (๐‘š๐‘๐‘›))
174fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = (Hom โ€˜๐ถ))
18 evlfval.h . . . . . . . . . 10 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
1917, 18eqtr4di 2784 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = ๐ป)
2019oveqd 7421 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)))
215fveq2d 6888 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (compโ€˜๐‘‘) = (compโ€˜๐ท))
22 evlfval.o . . . . . . . . . . 11 ยท = (compโ€˜๐ท)
2321, 22eqtr4di 2784 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (compโ€˜๐‘‘) = ยท )
2423oveqd 7421 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))) = (โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))))
2524oveqd 7421 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)) = ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))
2616, 20, 25mpoeq123dv 7479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = (๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2726csbeq2dv 3895 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2827csbeq2dv 3895 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2912, 12, 28mpoeq123dv 7479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))))
3011, 29opeq12d 4876 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
31 evlfval.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
32 evlfval.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
33 opex 5457 . . . 4 โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ โˆˆ V
3433a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ โˆˆ V)
353, 30, 31, 32, 34ovmpod 7555 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ evalF ๐ท) = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
361, 35eqtrid 2778 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  โฆ‹csb 3888  โŸจcop 4629   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  Basecbs 17150  Hom chom 17214  compcco 17215  Catccat 17614   Func cfunc 17810   Nat cnat 17901   evalF cevlf 18171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-evlf 18175
This theorem is referenced by:  evlf2  18180  evlf1  18182  evlfcl  18184
  Copyright terms: Public domain W3C validator