MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlfval 18216
Description: Value of the evaluation functor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evlfval.e ๐ธ = (๐ถ evalF ๐ท)
evlfval.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
evlfval.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
evlfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
evlfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
evlfval.o ยท = (compโ€˜๐ท)
evlfval.n ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
Assertion
Ref Expression
evlfval (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ถ   ๐ท,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐ป,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ยท ,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘Ž)   ยท (๐‘“)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ป(๐‘“,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘“)

Proof of Theorem evlfval
Dummy variables ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlfval.e . 2 ๐ธ = (๐ถ evalF ๐ท)
2 df-evlf 18212 . . . 4 evalF = (๐‘ โˆˆ Cat, ๐‘‘ โˆˆ Cat โ†ฆ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
32a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ evalF = (๐‘ โˆˆ Cat, ๐‘‘ โˆˆ Cat โ†ฆ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ))
4 simprl 769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
5 simprr 771 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ๐‘‘ = ๐ท)
64, 5oveq12d 7444 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Func ๐‘‘) = (๐ถ Func ๐ท))
74fveq2d 6906 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐ถ))
8 evlfval.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
97, 8eqtr4di 2786 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = ๐ต)
10 eqidd 2729 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ))
116, 9, 10mpoeq123dv 7501 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)))
126, 9xpeq12d 5713 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) = ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต))
134, 5oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Nat ๐‘‘) = (๐ถ Nat ๐ท))
14 evlfval.n . . . . . . . . . 10 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
1513, 14eqtr4di 2786 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Nat ๐‘‘) = ๐‘)
1615oveqd 7443 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›) = (๐‘š๐‘๐‘›))
174fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = (Hom โ€˜๐ถ))
18 evlfval.h . . . . . . . . . 10 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
1917, 18eqtr4di 2786 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = ๐ป)
2019oveqd 7443 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)))
215fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (compโ€˜๐‘‘) = (compโ€˜๐ท))
22 evlfval.o . . . . . . . . . . 11 ยท = (compโ€˜๐ท)
2321, 22eqtr4di 2786 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (compโ€˜๐‘‘) = ยท )
2423oveqd 7443 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))) = (โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))))
2524oveqd 7443 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)) = ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))
2616, 20, 25mpoeq123dv 7501 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = (๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2726csbeq2dv 3901 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2827csbeq2dv 3901 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2912, 12, 28mpoeq123dv 7501 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))))
3011, 29opeq12d 4886 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
31 evlfval.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
32 evlfval.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
33 opex 5470 . . . 4 โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ โˆˆ V
3433a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ โˆˆ V)
353, 30, 31, 32, 34ovmpod 7579 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ evalF ๐ท) = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
361, 35eqtrid 2780 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3473  โฆ‹csb 3894  โŸจcop 4638   ร— cxp 5680  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  Basecbs 17187  Hom chom 17251  compcco 17252  Catccat 17651   Func cfunc 17847   Nat cnat 17938   evalF cevlf 18208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-evlf 18212
This theorem is referenced by:  evlf2  18217  evlf1  18219  evlfcl  18221
  Copyright terms: Public domain W3C validator