MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlfval 18170
Description: Value of the evaluation functor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evlfval.e ๐ธ = (๐ถ evalF ๐ท)
evlfval.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
evlfval.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
evlfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
evlfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
evlfval.o ยท = (compโ€˜๐ท)
evlfval.n ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
Assertion
Ref Expression
evlfval (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ถ   ๐ท,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐ป,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ยท ,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘Ž)   ยท (๐‘“)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ป(๐‘“,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘“)

Proof of Theorem evlfval
Dummy variables ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlfval.e . 2 ๐ธ = (๐ถ evalF ๐ท)
2 df-evlf 18166 . . . 4 evalF = (๐‘ โˆˆ Cat, ๐‘‘ โˆˆ Cat โ†ฆ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
32a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ evalF = (๐‘ โˆˆ Cat, ๐‘‘ โˆˆ Cat โ†ฆ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ))
4 simprl 770 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
5 simprr 772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ๐‘‘ = ๐ท)
64, 5oveq12d 7427 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Func ๐‘‘) = (๐ถ Func ๐ท))
74fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐ถ))
8 evlfval.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
97, 8eqtr4di 2791 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = ๐ต)
10 eqidd 2734 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ))
116, 9, 10mpoeq123dv 7484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)))
126, 9xpeq12d 5708 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) = ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต))
134, 5oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Nat ๐‘‘) = (๐ถ Nat ๐ท))
14 evlfval.n . . . . . . . . . 10 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
1513, 14eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Nat ๐‘‘) = ๐‘)
1615oveqd 7426 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›) = (๐‘š๐‘๐‘›))
174fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = (Hom โ€˜๐ถ))
18 evlfval.h . . . . . . . . . 10 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
1917, 18eqtr4di 2791 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = ๐ป)
2019oveqd 7426 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)))
215fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (compโ€˜๐‘‘) = (compโ€˜๐ท))
22 evlfval.o . . . . . . . . . . 11 ยท = (compโ€˜๐ท)
2321, 22eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (compโ€˜๐‘‘) = ยท )
2423oveqd 7426 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))) = (โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))))
2524oveqd 7426 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)) = ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))
2616, 20, 25mpoeq123dv 7484 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = (๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2726csbeq2dv 3901 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2827csbeq2dv 3901 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2912, 12, 28mpoeq123dv 7484 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))))
3011, 29opeq12d 4882 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
31 evlfval.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
32 evlfval.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
33 opex 5465 . . . 4 โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ โˆˆ V
3433a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ โˆˆ V)
353, 30, 31, 32, 34ovmpod 7560 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ evalF ๐ท) = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
361, 35eqtrid 2785 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3475  โฆ‹csb 3894  โŸจcop 4635   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608   Func cfunc 17804   Nat cnat 17892   evalF cevlf 18162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-evlf 18166
This theorem is referenced by:  evlf2  18171  evlf1  18173  evlfcl  18175
  Copyright terms: Public domain W3C validator