MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlfval 18098
Description: Value of the evaluation functor. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evlfval.e ๐ธ = (๐ถ evalF ๐ท)
evlfval.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
evlfval.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
evlfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
evlfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
evlfval.o ยท = (compโ€˜๐ท)
evlfval.n ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
Assertion
Ref Expression
evlfval (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ถ   ๐ท,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐ป,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ยท ,๐‘Ž,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘Ž)   ยท (๐‘“)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘“,๐‘”,๐‘š,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ป(๐‘“,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘“)

Proof of Theorem evlfval
Dummy variables ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlfval.e . 2 ๐ธ = (๐ถ evalF ๐ท)
2 df-evlf 18094 . . . 4 evalF = (๐‘ โˆˆ Cat, ๐‘‘ โˆˆ Cat โ†ฆ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
32a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ evalF = (๐‘ โˆˆ Cat, ๐‘‘ โˆˆ Cat โ†ฆ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ))
4 simprl 769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ๐‘ = ๐ถ)
5 simprr 771 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ๐‘‘ = ๐ท)
64, 5oveq12d 7371 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Func ๐‘‘) = (๐ถ Func ๐ท))
74fveq2d 6843 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = (Baseโ€˜๐ถ))
8 evlfval.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
97, 8eqtr4di 2794 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘) = ๐ต)
10 eqidd 2737 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ) = ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ))
116, 9, 10mpoeq123dv 7428 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)))
126, 9xpeq12d 5662 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) = ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต))
134, 5oveq12d 7371 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Nat ๐‘‘) = (๐ถ Nat ๐ท))
14 evlfval.n . . . . . . . . . 10 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
1513, 14eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ Nat ๐‘‘) = ๐‘)
1615oveqd 7370 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›) = (๐‘š๐‘๐‘›))
174fveq2d 6843 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = (Hom โ€˜๐ถ))
18 evlfval.h . . . . . . . . . 10 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
1917, 18eqtr4di 2794 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (Hom โ€˜๐‘) = ๐ป)
2019oveqd 7370 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)))
215fveq2d 6843 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (compโ€˜๐‘‘) = (compโ€˜๐ท))
22 evlfval.o . . . . . . . . . . 11 ยท = (compโ€˜๐ท)
2321, 22eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (compโ€˜๐‘‘) = ยท )
2423oveqd 7370 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))) = (โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))))
2524oveqd 7370 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)) = ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))
2616, 20, 25mpoeq123dv 7428 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = (๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2726csbeq2dv 3860 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2827csbeq2dv 3860 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))
2912, 12, 28mpoeq123dv 7428 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))))
3011, 29opeq12d 4836 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ = ๐ถ โˆง ๐‘‘ = ๐ท)) โ†’ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐‘ Func ๐‘‘), ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐‘ Func ๐‘‘) ร— (Baseโ€˜๐‘)) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š(๐‘ Nat ๐‘‘)๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(Hom โ€˜๐‘)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ(compโ€˜๐‘‘)((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
31 evlfval.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
32 evlfval.d . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
33 opex 5419 . . . 4 โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ โˆˆ V
3433a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ โˆˆ V)
353, 30, 31, 32, 34ovmpod 7503 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ evalF ๐ท) = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
361, 35eqtrid 2788 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3443  โฆ‹csb 3853  โŸจcop 4590   ร— cxp 5629  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353   โˆˆ cmpo 7355  1st c1st 7915  2nd c2nd 7916  Basecbs 17075  Hom chom 17136  compcco 17137  Catccat 17536   Func cfunc 17732   Nat cnat 17820   evalF cevlf 18090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-evlf 18094
This theorem is referenced by:  evlf2  18099  evlf1  18101  evlfcl  18103
  Copyright terms: Public domain W3C validator