MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlf2 18067
Description: Value of the evaluation functor at a morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evlfval.e ๐ธ = (๐ถ evalF ๐ท)
evlfval.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
evlfval.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
evlfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
evlfval.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
evlfval.o ยท = (compโ€˜๐ท)
evlfval.n ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
evlf2.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
evlf2.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
evlf2.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
evlf2.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
evlf2.l ๐ฟ = (โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ(2nd โ€˜๐ธ)โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)
Assertion
Ref Expression
evlf2 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ = (๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ), ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜๐‘Œ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))((๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ)โ€˜๐‘”))))
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘Ž,๐ถ   ๐ท,๐‘Ž,๐‘”   ๐‘”,๐ป   ๐น,๐‘Ž,๐‘”   ๐‘,๐‘Ž,๐‘”   ๐บ,๐‘Ž,๐‘”   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘”   ยท ,๐‘Ž,๐‘”   ๐‘‹,๐‘Ž,๐‘”   ๐‘Œ,๐‘Ž,๐‘”
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘”,๐‘Ž)   ๐ธ(๐‘”,๐‘Ž)   ๐ป(๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘”,๐‘Ž)

Proof of Theorem evlf2
Dummy variables ๐‘“ ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlf2.l . 2 ๐ฟ = (โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ(2nd โ€˜๐ธ)โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)
2 evlfval.e . . . . 5 ๐ธ = (๐ถ evalF ๐ท)
3 evlfval.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ Cat)
4 evlfval.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ Cat)
5 evlfval.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
6 evlfval.h . . . . 5 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
7 evlfval.o . . . . 5 ยท = (compโ€˜๐ท)
8 evlfval.n . . . . 5 ๐‘ = (๐ถ Nat ๐ท)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8evlfval 18066 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ)
10 ovex 7384 . . . . . 6 (๐ถ Func ๐ท) โˆˆ V
115fvexi 6853 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ V
1210, 11mpoex 8004 . . . . 5 (๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ V
1310, 11xpex 7679 . . . . . 6 ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โˆˆ V
1413, 13mpoex 8004 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))) โˆˆ V
1512, 14op2ndd 7924 . . . 4 (๐ธ = โŸจ(๐‘“ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท), ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘“)โ€˜๐‘ฅ)), (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))))โŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐ธ) = (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))))
169, 15syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜๐ธ) = (๐‘ฅ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต), ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต) โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)))))
17 fvexd 6854 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ V)
18 simprl 769 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ)
1918fveq2d 6843 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ))
20 evlf2.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
21 evlf2.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
22 op1stg 7925 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ) = ๐น)
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ) = ๐น)
2423adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ) = ๐น)
2519, 24eqtrd 2777 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = ๐น)
26 fvexd 6854 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ V)
27 simplrr 776 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โ†’ ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)
2827fveq2d 6843 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) = (1st โ€˜โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ))
29 evlf2.g . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท))
30 evlf2.y . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
31 op1stg 7925 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐บ)
3229, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐บ)
3332ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐บ)
3428, 33eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) = ๐บ)
35 simplr 767 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ ๐‘š = ๐น)
36 simpr 485 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ ๐‘› = ๐บ)
3735, 36oveq12d 7369 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (๐‘š๐‘๐‘›) = (๐น๐‘๐บ))
3818ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ ๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ)
3938fveq2d 6843 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ))
40 op2ndg 7926 . . . . . . . . . 10 ((๐น โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ) = ๐‘‹)
4120, 21, 40syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ) = ๐‘‹)
4241ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ) = ๐‘‹)
4339, 42eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
4427adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)
4544fveq2d 6843 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) = (2nd โ€˜โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ))
46 op2ndg 7926 . . . . . . . . . 10 ((๐บ โˆˆ (๐ถ Func ๐ท) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
4729, 30, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
4847ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ) = ๐‘Œ)
4945, 48eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘Œ)
5043, 49oveq12d 7369 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘‹๐ป๐‘Œ))
5135fveq2d 6843 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘š) = (1st โ€˜๐น))
5251, 43fveq12d 6846 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)) = ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹))
5351, 49fveq12d 6846 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ))
5452, 53opeq12d 4836 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ)
5536fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (1st โ€˜๐‘›) = (1st โ€˜๐บ))
5655, 49fveq12d 6846 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))
5754, 56oveq12d 7369 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))) = (โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ)))
5849fveq2d 6843 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘Žโ€˜๐‘Œ))
5935fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (2nd โ€˜๐‘š) = (2nd โ€˜๐น))
6059, 43, 49oveq123d 7372 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ))
6160fveq1d 6841 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”) = ((๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ)โ€˜๐‘”))
6257, 58, 61oveq123d 7372 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘Œ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))((๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ)โ€˜๐‘”)))
6337, 50, 62mpoeq123dv 7426 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โˆง ๐‘› = ๐บ) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = (๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ), ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜๐‘Œ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))((๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ)โ€˜๐‘”))))
6426, 34, 63csbied2 3893 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โˆง ๐‘š = ๐น) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = (๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ), ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜๐‘Œ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))((๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ)โ€˜๐‘”))))
6517, 25, 64csbied2 3893 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ = โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(1st โ€˜๐‘ฆ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘Ž โˆˆ (๐‘š๐‘๐‘›), ๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ฅ)๐ป(2nd โ€˜๐‘ฆ)) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))(โŸจ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฅ)), ((1st โ€˜๐‘š)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐‘›)โ€˜(2nd โ€˜๐‘ฆ)))(((2nd โ€˜๐‘ฅ)(2nd โ€˜๐‘š)(2nd โ€˜๐‘ฆ))โ€˜๐‘”))) = (๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ), ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜๐‘Œ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))((๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ)โ€˜๐‘”))))
6620, 21opelxpd 5669 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต))
6729, 30opelxpd 5669 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ โˆˆ ((๐ถ Func ๐ท) ร— ๐ต))
68 ovex 7384 . . . . 5 (๐น๐‘๐บ) โˆˆ V
69 ovex 7384 . . . . 5 (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โˆˆ V
7068, 69mpoex 8004 . . . 4 (๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ), ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜๐‘Œ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))((๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ)โ€˜๐‘”))) โˆˆ V
7170a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ), ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜๐‘Œ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))((๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ)โ€˜๐‘”))) โˆˆ V)
7216, 65, 66, 67, 71ovmpod 7501 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐น, ๐‘‹โŸฉ(2nd โ€˜๐ธ)โŸจ๐บ, ๐‘ŒโŸฉ) = (๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ), ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜๐‘Œ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))((๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ)โ€˜๐‘”))))
731, 72eqtrid 2789 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ = (๐‘Ž โˆˆ (๐น๐‘๐บ), ๐‘” โˆˆ (๐‘‹๐ป๐‘Œ) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜๐‘Œ)(โŸจ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘‹), ((1st โ€˜๐น)โ€˜๐‘Œ)โŸฉ ยท ((1st โ€˜๐บ)โ€˜๐‘Œ))((๐‘‹(2nd โ€˜๐น)๐‘Œ)โ€˜๐‘”))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3443  โฆ‹csb 3853  โŸจcop 4590   ร— cxp 5629  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  1st c1st 7911  2nd c2nd 7912  Basecbs 17043  Hom chom 17104  compcco 17105  Catccat 17504   Func cfunc 17700   Nat cnat 17788   evalF cevlf 18058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-evlf 18062
This theorem is referenced by:  evlf2val  18068  evlfcl  18071
  Copyright terms: Public domain W3C validator