MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1cof1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1cof1 6750
Description: Composition of two one-to-one functions. Generalization of f1co 6751. (Contributed by AV, 18-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1cof1 ((𝐹:𝐶1-1𝐷𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):(𝐺𝐶)–1-1𝐷)

Proof of Theorem f1cof1
StepHypRef Expression
1 df-f1 6502 . . 3 (𝐹:𝐶1-1𝐷 ↔ (𝐹:𝐶𝐷 ∧ Fun 𝐹))
2 df-f1 6502 . . 3 (𝐺:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺))
3 ffun 6672 . . . . . 6 (𝐺:𝐴𝐵 → Fun 𝐺)
4 fcof 6692 . . . . . 6 ((𝐹:𝐶𝐷 ∧ Fun 𝐺) → (𝐹𝐺):(𝐺𝐶)⟶𝐷)
53, 4sylan2 594 . . . . 5 ((𝐹:𝐶𝐷𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺):(𝐺𝐶)⟶𝐷)
6 funco 6542 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺 ∧ Fun 𝐹) → Fun (𝐺𝐹))
7 cnvco 5842 . . . . . . . 8 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
87funeqi 6523 . . . . . . 7 (Fun (𝐹𝐺) ↔ Fun (𝐺𝐹))
96, 8sylibr 233 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 ∧ Fun 𝐹) → Fun (𝐹𝐺))
109ancoms 460 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐹𝐺))
115, 10anim12i 614 . . . 4 (((𝐹:𝐶𝐷𝐺:𝐴𝐵) ∧ (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹𝐺):(𝐺𝐶)⟶𝐷 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
1211an4s 659 . . 3 (((𝐹:𝐶𝐷 ∧ Fun 𝐹) ∧ (𝐺:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐺)) → ((𝐹𝐺):(𝐺𝐶)⟶𝐷 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
131, 2, 12syl2anb 599 . 2 ((𝐹:𝐶1-1𝐷𝐺:𝐴1-1𝐵) → ((𝐹𝐺):(𝐺𝐶)⟶𝐷 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
14 df-f1 6502 . 2 ((𝐹𝐺):(𝐺𝐶)–1-1𝐷 ↔ ((𝐹𝐺):(𝐺𝐶)⟶𝐷 ∧ Fun (𝐹𝐺)))
1513, 14sylibr 233 1 ((𝐹:𝐶1-1𝐷𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):(𝐺𝐶)–1-1𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  ccnv 5633  cima 5637  ccom 5638  Fun wfun 6491  wf 6493  1-1wf1 6494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502
This theorem is referenced by:  f1co  6751  f1cof1b  45316
  Copyright terms: Public domain W3C validator