MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1co Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1co 6815
Description: Composition of one-to-one functions when the codomain of the first matches the domain of the second. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1co ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)

Proof of Theorem f1co
StepHypRef Expression
1 f1cof1 6814 . 2 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):(𝐺𝐵)–1-1𝐶)
2 f1f 6804 . . . . . 6 (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴𝐵)
3 fimacnv 6758 . . . . . 6 (𝐺:𝐴𝐵 → (𝐺𝐵) = 𝐴)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐺:𝐴1-1𝐵 → (𝐺𝐵) = 𝐴)
54adantl 481 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐺𝐵) = 𝐴)
65eqcomd 2743 . . 3 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 = (𝐺𝐵))
7 f1eq2 6800 . . 3 (𝐴 = (𝐺𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ↔ (𝐹𝐺):(𝐺𝐵)–1-1𝐶))
86, 7syl 17 . 2 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ↔ (𝐹𝐺):(𝐺𝐵)–1-1𝐶))
91, 8mpbird 257 1 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  ccnv 5684  cima 5688  ccom 5689  wf 6557  1-1wf1 6558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566
This theorem is referenced by:  f1oco  6871  f1cofveqaeqALT  7279  tposf12  8276  domtr  9047  domtrfil  9232  dfac12lem2  10185  fin23lem28  10380  pwfseqlem5  10703  cofth  17982  injsubmefmnd  18910  gsumzf1o  19930  cycpmconjv  33162  erdsze2lem2  35209  fcoresf1b  47082  fundcmpsurinjpreimafv  47395
  Copyright terms: Public domain W3C validator