MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1co Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1co 6751
Description: Composition of one-to-one functions when the codomain of the first matches the domain of the second. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.) (Proof shortened by AV, 20-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
f1co ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)

Proof of Theorem f1co
StepHypRef Expression
1 f1cof1 6750 . 2 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):(𝐺𝐵)–1-1𝐶)
2 f1f 6739 . . . . . 6 (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴𝐵)
3 fimacnv 6691 . . . . . 6 (𝐺:𝐴𝐵 → (𝐺𝐵) = 𝐴)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐺:𝐴1-1𝐵 → (𝐺𝐵) = 𝐴)
54adantl 483 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐺𝐵) = 𝐴)
65eqcomd 2743 . . 3 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 = (𝐺𝐵))
7 f1eq2 6735 . . 3 (𝐴 = (𝐺𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ↔ (𝐹𝐺):(𝐺𝐵)–1-1𝐶))
86, 7syl 17 . 2 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → ((𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶 ↔ (𝐹𝐺):(𝐺𝐵)–1-1𝐶))
91, 8mpbird 257 1 ((𝐹:𝐵1-1𝐶𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴1-1𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  ccnv 5633  cima 5637  ccom 5638  wf 6493  1-1wf1 6494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502
This theorem is referenced by:  f1oco  6808  f1cofveqaeqALT  7207  tposf12  8183  domtr  8948  domtrfil  9140  dfac12lem2  10081  fin23lem28  10277  pwfseqlem5  10600  cofth  17823  injsubmefmnd  18708  gsumzf1o  19690  cycpmconjv  31994  erdsze2lem2  33801  fcoresf1b  45311  fundcmpsurinjpreimafv  45607
  Copyright terms: Public domain W3C validator