MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdco3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1omvdco3 18573
Description: If a point is moved by exactly one of two permutations, then it will be moved by their composite. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdco3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ⊻ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I ))) → 𝑋 ∈ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ))

Proof of Theorem f1omvdco3
StepHypRef Expression
1 notbi 322 . . . . 5 ((𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) ↔ (¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I )))
2 disjsn 4610 . . . . . . 7 ((dom (𝐹 ∖ I ) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ))
3 disj2 4368 . . . . . . 7 ((dom (𝐹 ∖ I ) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}))
42, 3bitr3i 280 . . . . . 6 𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}))
5 disjsn 4610 . . . . . . 7 ((dom (𝐺 ∖ I ) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I ))
6 disj2 4368 . . . . . . 7 ((dom (𝐺 ∖ I ) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}))
75, 6bitr3i 280 . . . . . 6 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}))
84, 7bibi12i 343 . . . . 5 ((¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) ↔ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}) ↔ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋})))
91, 8bitri 278 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) ↔ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}) ↔ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋})))
109notbii 323 . . 3 (¬ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) ↔ ¬ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}) ↔ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋})))
11 df-xor 1503 . . 3 ((𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ⊻ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) ↔ ¬ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I )))
12 df-xor 1503 . . 3 ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}) ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋})) ↔ ¬ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}) ↔ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋})))
1310, 11, 123bitr4i 306 . 2 ((𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ⊻ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) ↔ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}) ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋})))
14 f1omvdco2 18572 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}) ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}))) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}))
15 disj2 4368 . . . . 5 ((dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}))
16 disjsn 4610 . . . . 5 ((dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ))
1715, 16bitr3i 280 . . . 4 (dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}) ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ))
1817con2bii 361 . . 3 (𝑋 ∈ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ↔ ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}))
1914, 18sylibr 237 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}) ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ))
2013, 19syl3an3b 1402 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ⊻ 𝑋 ∈ dom (𝐺 ∖ I ))) → 𝑋 ∈ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  w3a 1084  wxo 1502   = wceq 1538  wcel 2112  Vcvv 3444  cdif 3881  cin 3883  wss 3884  c0 4246  {csn 4528   I cid 5427  dom cdm 5523  ccom 5527  1-1-ontowf1o 6327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336
This theorem is referenced by:  psgnunilem5  18618
  Copyright terms: Public domain W3C validator