MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnunilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnunilem5 19527
Description: Lemma for psgnuni 19532. It is impossible to shift a transposition off the end because if the active transposition is at the right end, it is the only transposition moving 𝐴 in contradiction to this being a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem2.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnunilem2.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnunilem2.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnunilem2.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnunilem2.id (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
psgnunilem2.l (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
psgnunilem2.ix (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
psgnunilem2.a (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
psgnunilem2.al (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
psgnunilem5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem psgnunilem5
Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 4344 . . . 4 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 psgnunilem2.id . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
32difeq1d 4135 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
43dmeqd 5919 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
5 resss 6022 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
6 ssdif0 4372 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
75, 6mpbi 230 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
87dmeqi 5918 . . . . . . 7 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
9 dm0 5934 . . . . . . 7 dom ∅ = ∅
108, 9eqtri 2763 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
114, 10eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = ∅)
1211eleq2d 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
131, 12mtbiri 327 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
14 psgnunilem2.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑉)
15 psgnunilem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
1615symggrp 19433 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
17 grpmnd 18971 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
19 psgnunilem2.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
20 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2119, 15, 20symgtrf 19502 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
22 sswrd 14557 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
24 psgnunilem2.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2523, 24sseldd 3996 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
26 pfxcl 14712 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺))
2820gsumwcl 18865 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺))
2918, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺))
3015, 20symgbasf1o 19407 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷1-1-onto𝐷)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷1-1-onto𝐷)
3231adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷1-1-onto𝐷)
33 wrdf 14554 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
35 psgnunilem2.ix . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
36 psgnunilem2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
3736oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝐿))
3835, 37eleqtrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3934, 38ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑇)
4021, 39sselid 3993 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺))
4115, 20symgbasf1o 19407 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4342adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4415, 20symgsssg 19500 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝑉 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺))
45 subgsubm 19179 . . . . . . . . . . 11 ({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
4614, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
47 fzossfz 13715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^𝐿) ⊆ (0...𝐿)
4847, 35sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝐿))
4936oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝐿))
5048, 49eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51 pfxmpt 14713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐼) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
5224, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
53 difeq1 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
5453dmeqd 5919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑊𝑠) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
5554sseq1d 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
56 disj2 4464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
57 disjsn 4716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
5856, 57bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
5955, 58bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
60 elfzuz3 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
6148, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
6236, 61eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼))
63 fzoss2 13724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼) → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6564sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6634ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ 𝑇)
6721, 66sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
6865, 67syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
69 psgnunilem2.al . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
70 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑠 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑠))
7170difeq1d 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑠 → ((𝑊𝑘) ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7271dmeqd 5919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑠 → dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7372eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑠 → (𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7473notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑠 → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7574cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7669, 75sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7776r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7859, 68, 77elrabd 3697 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
7952, 78fmpt3d 7136 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
8079adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
81 iswrdi 14553 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
83 gsumwsubmcl 18863 . . . . . . . . . 10 (({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
8446, 82, 83syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
85 difeq1 4129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
8685dmeqd 5919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
8786sseq1d 4027 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
8887elrab 3695 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
8988simprbi 496 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
90 disj2 4464 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
91 disjsn 4716 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
9290, 91bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 (dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
9389, 92sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
9484, 93syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
95 psgnunilem2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
9695adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
9794, 96jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
9897olcd 874 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
99 excxor 1513 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ↔ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
10098, 99sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
101 f1omvdco3 19482 . . . . 5 (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
10232, 43, 100, 101syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
103 elfzo0 13737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐿))
104103simp2bi 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
10535, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
10636, 105eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
107 wrdfin 14567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Fin)
108 hashnncl 14402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
10924, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
110106, 109mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
111110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ≠ ∅)
112 pfxlswccat 14748 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
113112eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
11424, 111, 113syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
11536oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
116115adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
117105nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
118 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
119 elfzoelz 13696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
12035, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
121120zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
122117, 118, 121subadd2d 11637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 1) = 𝐼 ↔ (𝐼 + 1) = 𝐿))
123122biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐿 − 1) = 𝐼)
124116, 123eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼)
125 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 prefix 𝐼))
126125adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 prefix 𝐼))
127 lsw 14599 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
12824, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
129 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊𝐼))
130128, 129sylan9eq 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (lastS‘𝑊) = (𝑊𝐼))
131130s1eqd 14636 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
132126, 131oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
133124, 132syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
134114, 133eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
135134oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
13640s1cld 14638 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺))
137 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
13820, 137gsumccat 18867 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
13918, 27, 136, 138syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
140139adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
14120gsumws1 18864 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
14240, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
143142oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝑊𝐼)))
14415, 20, 137symgov 19416 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)))
14529, 40, 144syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)))
146143, 145eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)))
147146adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)))
148135, 140, 1473eqtrd 2779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)))
149148difeq1d 4135 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
150149dmeqd 5919 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
151102, 150eleqtrrd 2842 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
15213, 151mtand 816 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) = 𝐿)
153 fzostep1 13819 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
15435, 153syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
155154ord 864 . 2 (𝜑 → (¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 1) = 𝐿))
156152, 155mt3d 148 1 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  wxo 1508   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5582  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  lastSclsw 14597   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630   prefix cpfx 14705  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  SymGrpcsymg 19401  pmTrspcpmtr 19474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-symg 19402  df-pmtr 19475
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19528
  Copyright terms: Public domain W3C validator