Theorem psgnunilem5 19460

Description: Lemma for psgnuni 19465. It is impossible to shift a transposition off the end because if the active transposition is at the right end, it is the only transposition moving 𝐴 in contradiction to this being a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnunilem2.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnunilem2.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnunilem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
psgnunilem2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnunilem2.id	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
psgnunilem2.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
psgnunilem2.ix	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐿))
psgnunilem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))
psgnunilem2.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
psgnunilem5	⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem psgnunilem5

Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4279	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		psgnunilem2.id	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
3	2	difeq1d 4066	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
4	3	dmeqd 5854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
5		resss 5960	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
6		ssdif0 4307	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
7	5, 6	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
8	7	dmeqi 5853	. . . . . . 7 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
9		dm0 5869	. . . . . . 7 ⊢ dom ∅ = ∅
10	8, 9	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
11	4, 10	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = ∅)
12	11	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
13	1, 12	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
14		psgnunilem2.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
15		psgnunilem2.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
16	15	symggrp 19366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
17		grpmnd 18907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
18	14, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
19		psgnunilem2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
20		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21	19, 15, 20	symgtrf 19435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
22		sswrd 14475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
24		psgnunilem2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
25	23, 24	sseldd 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
26		pfxcl 14631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺))
28	20	gsumwcl 18798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺))
29	18, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺))
30	15, 20	symgbasf1o 19341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷–1-1-onto→𝐷)
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷–1-1-onto→𝐷)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷–1-1-onto→𝐷)
33		wrdf 14471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
34	24, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
35		psgnunilem2.ix	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐿))
36		psgnunilem2.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
37	36	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝐿))
38	35, 37	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39	34, 38	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐼) ∈ 𝑇)
40	21, 39	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺))
41	15, 20	symgbasf1o 19341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷)
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷)
44	15, 20	symgsssg 19433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺))
45		subgsubm 19115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
46	14, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
47		fzossfz 13624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^𝐿) ⊆ (0...𝐿)
48	47, 35	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝐿))
49	36	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝐿))
50	48, 49	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51		pfxmpt 14632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐼) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊‘𝑠)))
52	24, 50, 51	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊‘𝑠)))
53		difeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
54	53	dmeqd 5854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
55	54	sseq1d 3954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
56		disj2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
57		disjsn 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
58	56, 57	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
59	55, 58	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I )))
60		elfzuz3 13466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
61	48, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
62	36, 61	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
63		fzoss2 13633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐼) → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
65	64	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
66	34	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑠) ∈ 𝑇)
67	21, 66	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
68	65, 67	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
69		psgnunilem2.al	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ))
70		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → (𝑊‘𝑘) = (𝑊‘𝑠))
71	70	difeq1d 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) = ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
72	71	dmeqd 5854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
73	72	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → (𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I )))
74	73	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I )))
75	74	cbvralvw 3216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) ↔ ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
76	69, 75	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
77	76	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
78	59, 68, 77	elrabd 3637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊‘𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
79	52, 78	fmpt3d 7062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
81		iswrdi 14470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
83		gsumwsubmcl 18796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
84	46, 82, 83	syl2an2r 686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
85		difeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
86	85	dmeqd 5854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
87	86	sseq1d 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
88	87	elrab 3635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
89	88	simprbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
90		disj2 4399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
91		disjsn 4656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
92	90, 91	bitr3i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
93	89, 92	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
94	84, 93	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
95		psgnunilem2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))
96	95	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))
97	94, 96	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )))
98	97	olcd 875	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))))
99		excxor 1518	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )) ↔ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))))
100	98, 99	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )))
101		f1omvdco3 19415	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
102	32, 43, 100, 101	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
103		elfzo0 13646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐿))
104	103	simp2bi 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
105	35, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
106	36, 105	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
107		wrdfin 14485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊 ∈ Fin)
108		hashnncl 14319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
109	24, 107, 108	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
110	106, 109	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ ∅)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ≠ ∅)
112		pfxlswccat 14666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
113	112	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
114	24, 111, 113	syl2an2r 686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
115	36	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
117	105	nncnd 12181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
118		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
119		elfzoelz 13604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
120	35, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
121	120	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
122	117, 118, 121	subadd2d 11515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) = 𝐼 ↔ (𝐼 + 1) = 𝐿))
123	122	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐿 − 1) = 𝐼)
124	116, 123	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼)
125		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 prefix 𝐼))
126	125	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 prefix 𝐼))
127		lsw 14517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
128	24, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
129		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘𝐼))
130	128, 129	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘𝐼))
131	130	s1eqd 14555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
132	126, 131	oveq12d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
133	124, 132	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
134	114, 133	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
135	134	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
136	40	s1cld 14557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺))
137		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
138	20, 137	gsumccat 18800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
139	18, 27, 136, 138	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
140	139	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
141	20	gsumws1 18797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩) = (𝑊‘𝐼))
142	40, 141	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩) = (𝑊‘𝐼))
143	142	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝑊‘𝐼)))
144	15, 20, 137	symgov 19350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝑊‘𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
145	29, 40, 144	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝑊‘𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
146	143, 145	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
147	146	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
148	135, 140, 147	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
149	148	difeq1d 4066	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
150	149	dmeqd 5854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
151	102, 150	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
152	13, 151	mtand 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) = 𝐿)
153		fzostep1 13732	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
154	35, 153	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
155	154	ord 865	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 1) = 𝐿))
156	152, 155	mt3d 148	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ⊻ wxo 1513   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   I cid 5518  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466  lastSclsw 14515   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14549   prefix cpfx 14624  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18741  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  SymGrpcsymg 19335  pmTrspcpmtr 19407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-efmnd 18828  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-subg 19090  df-symg 19336  df-pmtr 19408

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19461