Theorem psgnunilem5 18118

Description: Lemma for psgnuni 18123. It is impossible to shift a transposition off the end because if the active transposition is at the right end, it is the only transposition moving 𝐴 in contradiction to this being a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnunilem2.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnunilem2.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnunilem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
psgnunilem2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnunilem2.id	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
psgnunilem2.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
psgnunilem2.ix	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐿))
psgnunilem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))
psgnunilem2.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
psgnunilem5	⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem psgnunilem5

Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4127	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		psgnunilem2.id	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
3	2	difeq1d 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
4	3	dmeqd 5534	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
5		resss 5632	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
6		ssdif0 4150	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
7	5, 6	mpbi 221	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
8	7	dmeqi 5533	. . . . . . 7 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
9		dm0 5547	. . . . . . 7 ⊢ dom ∅ = ∅
10	8, 9	eqtri 2835	. . . . . 6 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
11	4, 10	syl6eq 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = ∅)
12	11	eleq2d 2878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
13	1, 12	mtbiri 318	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
14		psgnunilem2.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
15		psgnunilem2.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
16	15	symggrp 18024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
17		grpmnd 17637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
18	14, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
19		psgnunilem2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
20		eqid 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21	19, 15, 20	symgtrf 18093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
22		sswrd 13527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
24		psgnunilem2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
25	23, 24	sseldd 3806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
26		swrdcl 13645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺))
28	20	gsumwcl 17585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺))
29	18, 27, 28	syl2anc 575	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺))
30	15, 20	symgbasf1o 18007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷–1-1-onto→𝐷)
31	29, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷–1-1-onto→𝐷)
32	31	adantr 468	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷–1-1-onto→𝐷)
33		wrdf 13524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
34	24, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
35		psgnunilem2.ix	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐿))
36		psgnunilem2.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
37	36	oveq2d 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝐿))
38	35, 37	eleqtrrd 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39	34, 38	ffvelrnd 6585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐼) ∈ 𝑇)
40	21, 39	sseldi 3803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺))
41	15, 20	symgbasf1o 18007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷)
43	42	adantr 468	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷)
44	15, 20	symgsssg 18091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺))
45		subgsubm 17821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
46	14, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
47	46	adantr 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
48		fzossfz 12715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0..^𝐿) ⊆ (0...𝐿)
49	48, 35	sseldi 3803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝐿))
50		elfzuz3 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
52	36, 51	eqeltrd 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
53		fzoss2 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐼) → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
55	54	sselda 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
56	34	ffvelrnda 6584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑠) ∈ 𝑇)
57	21, 56	sseldi 3803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
58	55, 57	syldan 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
59		psgnunilem2.al	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ))
60		fveq2 6411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → (𝑊‘𝑘) = (𝑊‘𝑠))
61	60	difeq1d 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) = ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
62	61	dmeqd 5534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
63	62	eleq2d 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → (𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I )))
64	63	notbid 309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I )))
65	64	cbvralv 3367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) ↔ ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
66	59, 65	sylib 209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
67	66	r19.21bi 3127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
68		difeq1 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
69	68	dmeqd 5534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
70	69	sseq1d 3836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
71		disj2 4229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
72		disjsn 4445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
73	71, 72	bitr3i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
74	70, 73	syl6bb 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I )))
75	74	elrab 3566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊‘𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝑊‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I )))
76	58, 67, 75	sylanbrc 574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊‘𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
77	76	fmpttd 6610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊‘𝑠)):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
78	36	oveq2d 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝐿))
79	49, 78	eleqtrrd 2895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
80		swrd0val 13647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝐼)))
81	24, 79, 80	syl2anc 575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝐼)))
82	34	feqmptd 6473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘𝑠)))
83	82	reseq1d 5603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐼)) = ((𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘𝑠)) ↾ (0..^𝐼)))
84		resmpt 5661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘𝑠)) ↾ (0..^𝐼)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊‘𝑠)))
85	52, 53, 84	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘𝑠)) ↾ (0..^𝐼)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊‘𝑠)))
86	81, 83, 85	3eqtrd 2851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊‘𝑠)))
87	86	feq1d 6244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊‘𝑠)):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}))
88	77, 87	mpbird 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
89	88	adantr 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
90		iswrdi 13523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
92		gsumwsubmcl 17583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
93	47, 91, 92	syl2anc 575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
94		difeq1 3927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
95	94	dmeqd 5534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
96	95	sseq1d 3836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
97	96	elrab 3566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
98	97	simprbi 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
99		disj2 4229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
100		disjsn 4445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
101	99, 100	bitr3i 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
102	98, 101	sylib 209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
103	93, 102	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
104		psgnunilem2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))
105	104	adantr 468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))
106	103, 105	jca 503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )))
107	106	olcd 892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))))
108		excxor 1623	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )) ↔ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))))
109	107, 108	sylibr 225	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )))
110		f1omvdco3 18073	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
111	32, 43, 109, 110	syl3anc 1483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
112	24	adantr 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
113		elfzo0 12736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐿))
114	113	simp2bi 1169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
115	35, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
116	36, 115	eqeltrd 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
117		wrdfin 13537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊 ∈ Fin)
118		hashnncl 13378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
119	24, 117, 118	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
120	116, 119	mpbid 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ ∅)
121	120	adantr 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ≠ ∅)
122		swrdccatwrd 13695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
123	122	eqcomd 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
124	112, 121, 123	syl2anc 575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
125	36	oveq1d 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
126	125	adantr 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
127	115	nncnd 11324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
128		1cnd 10323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
129		elfzoelz 12697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
130	35, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
131	130	zcnd 11752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
132	127, 128, 131	subadd2d 10699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) = 𝐼 ↔ (𝐼 + 1) = 𝐿))
133	132	biimpar 465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐿 − 1) = 𝐼)
134	126, 133	eqtrd 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼)
135		opeq2 4603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩ = ⟨0, 𝐼⟩)
136	135	oveq2d 6893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))
137	136	adantl 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))
138		lsw 13566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
139	24, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
140		fveq2 6411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘𝐼))
141	139, 140	sylan9eq 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘𝐼))
142	141	s1eqd 13599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
143	137, 142	oveq12d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
144	134, 143	syldan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
145	124, 144	eqtrd 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
146	145	oveq2d 6893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
147	40	s1cld 13601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺))
148		eqid 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
149	20, 148	gsumccat 17586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
150	18, 27, 147, 149	syl3anc 1483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
151	150	adantr 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
152	20	gsumws1 17584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩) = (𝑊‘𝐼))
153	40, 152	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩) = (𝑊‘𝐼))
154	153	oveq2d 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g‘𝐺)(𝑊‘𝐼)))
155	15, 20, 148	symgov 18014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g‘𝐺)(𝑊‘𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
156	29, 40, 155	syl2anc 575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g‘𝐺)(𝑊‘𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
157	154, 156	eqtrd 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
158	157	adantr 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
159	146, 151, 158	3eqtrd 2851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
160	159	difeq1d 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
161	160	dmeqd 5534	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
162	111, 161	eleqtrrd 2895	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
163	13, 162	mtand 841	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) = 𝐿)
164		fzostep1 12811	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
165	35, 164	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
166	165	ord 882	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 1) = 𝐿))
167	163, 166	mt3d 142	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ wo 865   ⊻ wxo 1618   = wceq 1637   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2985  ∀wral 3103  {crab 3107  Vcvv 3398   ∖ cdif 3773   ∩ cin 3775   ⊆ wss 3776  ∅c0 4123  {csn 4377  ⟨cop 4383   class class class wbr 4851   ↦ cmpt 4930   I cid 5225  dom cdm 5318  ran crn 5319   ↾ cres 5320   ∘ ccom 5322  ⟶wf 6100  –1-1-onto→wf1o 6103  ‘cfv 6104  (class class class)co 6877  Fincfn 8195  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   < clt 10362   − cmin 10554  ℕcn 11308  ℕ₀cn0 11562  ℤcz 11646  ℤ_≥cuz 11907  ...cfz 12552  ..^cfzo 12692  ♯chash 13340  Word cword 13505  lastSclsw 13506   ++ cconcat 13507  ⟨“cs1 13508   substr csubstr 13509  Basecbs 16071  +_gcplusg 16156   Σ_g cgsu 16309  Mndcmnd 17502  SubMndcsubmnd 17542  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17793  SymGrpcsymg 18001  pmTrspcpmtr 18065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-xor 1619  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-seq 13028  df-hash 13341  df-word 13513  df-lsw 13514  df-concat 13515  df-s1 13516  df-substr 13517  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-tset 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17796  df-symg 18002  df-pmtr 18066

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18119