MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnunilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnunilem5 19466
Description: Lemma for psgnuni 19471. It is impossible to shift a transposition off the end because if the active transposition is at the right end, it is the only transposition moving 𝐴 in contradiction to this being a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem2.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnunilem2.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnunilem2.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnunilem2.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnunilem2.id (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
psgnunilem2.l (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
psgnunilem2.ix (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
psgnunilem2.a (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
psgnunilem2.al (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
psgnunilem5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem psgnunilem5
Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 4330 . . . 4 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 psgnunilem2.id . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
32difeq1d 4117 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
43dmeqd 5908 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
5 resss 6007 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
6 ssdif0 4363 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
75, 6mpbi 229 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
87dmeqi 5907 . . . . . . 7 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
9 dm0 5923 . . . . . . 7 dom ∅ = ∅
108, 9eqtri 2753 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
114, 10eqtrdi 2781 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = ∅)
1211eleq2d 2811 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
131, 12mtbiri 326 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
14 psgnunilem2.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑉)
15 psgnunilem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
1615symggrp 19372 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
17 grpmnd 18910 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
19 psgnunilem2.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
20 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2119, 15, 20symgtrf 19441 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
22 sswrd 14513 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
24 psgnunilem2.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2523, 24sseldd 3977 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
26 pfxcl 14668 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺))
2820gsumwcl 18804 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺))
2918, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺))
3015, 20symgbasf1o 19346 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷1-1-onto𝐷)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷1-1-onto𝐷)
3231adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷1-1-onto𝐷)
33 wrdf 14510 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
35 psgnunilem2.ix . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
36 psgnunilem2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
3736oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝐿))
3835, 37eleqtrrd 2828 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3934, 38ffvelcdmd 7094 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑇)
4021, 39sselid 3974 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺))
4115, 20symgbasf1o 19346 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4342adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4415, 20symgsssg 19439 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝑉 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺))
45 subgsubm 19116 . . . . . . . . . . 11 ({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
4614, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
47 fzossfz 13691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^𝐿) ⊆ (0...𝐿)
4847, 35sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝐿))
4936oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝐿))
5048, 49eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51 pfxmpt 14669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐼) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
5224, 50, 51syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
53 difeq1 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
5453dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑊𝑠) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
5554sseq1d 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
56 disj2 4459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
57 disjsn 4717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
5856, 57bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
5955, 58bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
60 elfzuz3 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
6148, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
6236, 61eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼))
63 fzoss2 13700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼) → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
6564sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6634ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ 𝑇)
6721, 66sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
6865, 67syldan 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
69 psgnunilem2.al . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
70 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑠 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑠))
7170difeq1d 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑠 → ((𝑊𝑘) ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7271dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑠 → dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7372eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑠 → (𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7473notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑠 → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7574cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7669, 75sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7776r19.21bi 3238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7859, 68, 77elrabd 3681 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
7952, 78fmpt3d 7125 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
8079adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
81 iswrdi 14509 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
83 gsumwsubmcl 18802 . . . . . . . . . 10 (({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
8446, 82, 83syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
85 difeq1 4111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
8685dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
8786sseq1d 4008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
8887elrab 3679 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
8988simprbi 495 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
90 disj2 4459 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
91 disjsn 4717 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
9290, 91bitr3i 276 . . . . . . . . . 10 (dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
9389, 92sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
9484, 93syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
95 psgnunilem2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
9695adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
9794, 96jca 510 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
9897olcd 872 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
99 excxor 1509 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ↔ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
10098, 99sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
101 f1omvdco3 19421 . . . . 5 (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
10232, 43, 100, 101syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
103 elfzo0 13713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐿))
104103simp2bi 1143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
10535, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
10636, 105eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
107 wrdfin 14523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Fin)
108 hashnncl 14366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
10924, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
110106, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
111110adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ≠ ∅)
112 pfxlswccat 14704 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
113112eqcomd 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
11424, 111, 113syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
11536oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
116115adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
117105nncnd 12266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
118 1cnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
119 elfzoelz 13672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
12035, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
121120zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
122117, 118, 121subadd2d 11627 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 1) = 𝐼 ↔ (𝐼 + 1) = 𝐿))
123122biimpar 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐿 − 1) = 𝐼)
124116, 123eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼)
125 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 prefix 𝐼))
126125adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 prefix 𝐼))
127 lsw 14555 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
12824, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
129 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊𝐼))
130128, 129sylan9eq 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (lastS‘𝑊) = (𝑊𝐼))
131130s1eqd 14592 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
132126, 131oveq12d 7437 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
133124, 132syldan 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
134114, 133eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
135134oveq2d 7435 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
13640s1cld 14594 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺))
137 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
13820, 137gsumccat 18806 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
13918, 27, 136, 138syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
140139adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
14120gsumws1 18803 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
14240, 141syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
143142oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝑊𝐼)))
14415, 20, 137symgov 19355 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)))
14529, 40, 144syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)))
146143, 145eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)))
147146adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)))
148135, 140, 1473eqtrd 2769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)))
149148difeq1d 4117 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
150149dmeqd 5908 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
151102, 150eleqtrrd 2828 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
15213, 151mtand 814 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) = 𝐿)
153 fzostep1 13789 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
15435, 153syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
155154ord 862 . 2 (𝜑 → (¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 1) = 𝐿))
156152, 155mt3d 148 1 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  wxo 1504   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  c0 4322  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232   I cid 5575  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  ccom 5682  wf 6545  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148   < clt 11285  cmin 11481  cn 12250  0cn0 12510  cz 12596  cuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  chash 14330  Word cword 14505  lastSclsw 14553   ++ cconcat 14561  ⟨“cs1 14586   prefix cpfx 14661  Basecbs 17188  +gcplusg 17241   Σg cgsu 17430  Mndcmnd 18702  SubMndcsubmnd 18747  Grpcgrp 18903  SubGrpcsubg 19088  SymGrpcsymg 19338  pmTrspcpmtr 19413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-hash 14331  df-word 14506  df-lsw 14554  df-concat 14562  df-s1 14587  df-substr 14632  df-pfx 14662  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-tset 17260  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-efmnd 18834  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19091  df-symg 19339  df-pmtr 19414
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19467
  Copyright terms: Public domain W3C validator