MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnunilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnunilem5 18114
Description: Lemma for psgnuni 18119. It is impossible to shift a transposition off the end because if the active transposition is at the right end, it is the only transposition moving 𝐴 in contradiction to this being a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem2.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnunilem2.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnunilem2.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnunilem2.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnunilem2.id (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
psgnunilem2.l (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
psgnunilem2.ix (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
psgnunilem2.a (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
psgnunilem2.al (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
psgnunilem5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem psgnunilem5
Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 4067 . . . 4 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 psgnunilem2.id . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
32difeq1d 3878 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
43dmeqd 5462 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
5 resss 5561 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
6 ssdif0 4089 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
75, 6mpbi 220 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
87dmeqi 5461 . . . . . . 7 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
9 dm0 5475 . . . . . . 7 dom ∅ = ∅
108, 9eqtri 2793 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
114, 10syl6eq 2821 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = ∅)
1211eleq2d 2836 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
131, 12mtbiri 316 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
14 psgnunilem2.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑉)
15 psgnunilem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
1615symggrp 18020 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
17 grpmnd 17630 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
19 psgnunilem2.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
20 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2119, 15, 20symgtrf 18089 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
22 sswrd 13502 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
24 psgnunilem2.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2523, 24sseldd 3753 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
26 swrdcl 13620 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺))
2820gsumwcl 17578 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺))
2918, 27, 28syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺))
3015, 20symgbasf1o 18003 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
3231adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
33 wrdf 13499 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
35 psgnunilem2.ix . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
36 psgnunilem2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
3736oveq2d 6807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝐿))
3835, 37eleqtrrd 2853 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3934, 38ffvelrnd 6501 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑇)
4021, 39sseldi 3750 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺))
4115, 20symgbasf1o 18003 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4342adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4415, 20symgsssg 18087 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑉 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺))
45 subgsubm 17817 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
4614, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
4746adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
48 fzossfz 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0..^𝐿) ⊆ (0...𝐿)
4948, 35sseldi 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝐿))
50 elfzuz3 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
5236, 51eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼))
53 fzoss2 12697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼) → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5554sselda 3752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5634ffvelrnda 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ 𝑇)
5721, 56sseldi 3750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
5855, 57syldan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
59 psgnunilem2.al . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
60 fveq2 6330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑠 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑠))
6160difeq1d 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑠 → ((𝑊𝑘) ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6261dmeqd 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑠 → dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6362eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑠 → (𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
6463notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑠 → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
6564cbvralv 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6659, 65sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6766r19.21bi 3081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
68 difeq1 3872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6968dmeqd 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑊𝑠) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7069sseq1d 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
71 disj2 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
72 disjsn 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7371, 72bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7470, 73syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7574elrab 3515 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7658, 67, 75sylanbrc 572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
77 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠))
7876, 77fmptd 6525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
7936oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝐿))
8049, 79eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
81 swrd0val 13622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝐼)))
8224, 80, 81syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝐼)))
8334feqmptd 6389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 = (𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)))
8483reseq1d 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐼)) = ((𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)))
85 resmpt 5588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8652, 53, 853syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8782, 84, 863eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8887feq1d 6168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}))
8978, 88mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9089adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
91 iswrdi 13498 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
93 gsumwsubmcl 17576 . . . . . . . . . 10 (({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9447, 92, 93syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
95 difeq1 3872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
9695dmeqd 5462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
9796sseq1d 3781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
9897elrab 3515 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
9998simprbi 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
100 disj2 4168 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
101 disjsn 4383 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
102100, 101bitr3i 266 . . . . . . . . . 10 (dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
10399, 102sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
10494, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
105 psgnunilem2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
106105adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
107104, 106jca 501 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
108107olcd 863 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
109 excxor 1617 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ↔ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
110108, 109sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
111 f1omvdco3 18069 . . . . 5 (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
11232, 43, 110, 111syl3anc 1476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
11324adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
114 elfzo0 12710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐿))
115114simp2bi 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
11635, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
11736, 116eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
118 wrdfin 13512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Fin)
119 hashnncl 13352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
12024, 118, 1193syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
121117, 120mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
122121adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ≠ ∅)
123 swrdccatwrd 13670 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
124123eqcomd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
125113, 122, 124syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
12636oveq1d 6806 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
127126adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
128116nncnd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
129 1cnd 10256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
130 elfzoelz 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
13135, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
132131zcnd 11683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
133128, 129, 132subadd2d 10611 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 1) = 𝐼 ↔ (𝐼 + 1) = 𝐿))
134133biimpar 463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐿 − 1) = 𝐼)
135127, 134eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼)
136 opeq2 4540 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩ = ⟨0, 𝐼⟩)
137136oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))
138137adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))
139 lsw 13541 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
14024, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
141 fveq2 6330 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊𝐼))
142140, 141sylan9eq 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (lastS‘𝑊) = (𝑊𝐼))
143142s1eqd 13574 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
144138, 143oveq12d 6809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
145135, 144syldan 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
146125, 145eqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
147146oveq2d 6807 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
14840s1cld 13576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺))
149 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
15020, 149gsumccat 17579 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
15118, 27, 148, 150syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
152151adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
15320gsumws1 17577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
15440, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
155154oveq2d 6807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)))
15615, 20, 149symgov 18010 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
15729, 40, 156syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
158155, 157eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
159158adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
160147, 152, 1593eqtrd 2809 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
161160difeq1d 3878 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
162161dmeqd 5462 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
163112, 162eleqtrrd 2853 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
16413, 163mtand 817 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) = 𝐿)
165 fzostep1 12785 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
16635, 165syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
167166ord 853 . 2 (𝜑 → (¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 1) = 𝐿))
168164, 167mt3d 142 1 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  wxo 1612   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4316  cop 4322   class class class wbr 4786  cmpt 4863   I cid 5156  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  ccom 5253  wf 6025  1-1-ontowf1o 6028  cfv 6029  (class class class)co 6791  Fincfn 8107  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   < clt 10274  cmin 10466  cn 11220  0cn0 11492  cz 11577  cuz 11886  ...cfz 12526  ..^cfzo 12666  chash 13314  Word cword 13480  lastSclsw 13481   ++ cconcat 13482  ⟨“cs1 13483   substr csubstr 13484  Basecbs 16057  +gcplusg 16142   Σg cgsu 16302  Mndcmnd 17495  SubMndcsubmnd 17535  Grpcgrp 17623  SubGrpcsubg 17789  SymGrpcsymg 17997  pmTrspcpmtr 18061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-seq 13002  df-hash 13315  df-word 13488  df-lsw 13489  df-concat 13490  df-s1 13491  df-substr 13492  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-tset 16161  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792  df-symg 17998  df-pmtr 18062
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18115
  Copyright terms: Public domain W3C validator