Theorem psgnunilem5 19701

Description: Lemma for psgnuni 19706. It is impossible to shift a transposition off the end because if the active transposition is at the right end, it is the only transposition moving 𝐴 in contradiction to this being a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnunilem2.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnunilem2.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnunilem2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
psgnunilem2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnunilem2.id	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
psgnunilem2.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
psgnunilem2.ix	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐿))
psgnunilem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))
psgnunilem2.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
psgnunilem5	⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem psgnunilem5

Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 4284	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
2		psgnunilem2.id	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
3	2	difeq1d 4073	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
4	3	dmeqd 5887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
5		resss 5992	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
6		ssdif0 4314	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
7	5, 6	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
8	7	dmeqi 5886	. . . . . . 7 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
9		dm0 5902	. . . . . . 7 ⊢ dom ∅ = ∅
10	8, 9	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
11	4, 10	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = ∅)
12	11	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
13	1, 12	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
14		psgnunilem2.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
15		psgnunilem2.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
16	15	symggrp 19607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
17		grpmnd 19144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
18	14, 16, 17	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
19		psgnunilem2.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
20		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21	19, 15, 20	symgtrf 19676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
22		sswrd 14660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
24		psgnunilem2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
25	23, 24	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
26		pfxcl 14820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺))
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺))
28	20	gsumwcl 19028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺))
29	18, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺))
30	15, 20	symgbasf1o 19582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷–1-1-onto→𝐷)
31	29, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷–1-1-onto→𝐷)
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷–1-1-onto→𝐷)
33		wrdf 14656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
34	24, 33	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
35		psgnunilem2.ix	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝐿))
36		psgnunilem2.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
37	36	oveq2d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝐿))
38	35, 37	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39	34, 38	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐼) ∈ 𝑇)
40	21, 39	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺))
41	15, 20	symgbasf1o 19582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷)
42	40, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷)
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷)
44	15, 20	symgsssg 19674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺))
45		subgsubm 19352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
46	14, 44, 45	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
47		fzossfz 13806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0..^𝐿) ⊆ (0...𝐿)
48	47, 35	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝐿))
49	36	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝐿))
50	48, 49	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
51		pfxmpt 14821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝐼) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊‘𝑠)))
52	24, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊‘𝑠)))
53		difeq1 4067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
54	53	dmeqd 5887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
55	54	sseq1d 3962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
56		disj2 4411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
57		disjsn 4672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
58	56, 57	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
59	55, 58	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑊‘𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I )))
60		elfzuz3 13646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐼 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
61	48, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
62	36, 61	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
63		fzoss2 13815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘𝐼) → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
64	62, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
65	64	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
66	34	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑠) ∈ 𝑇)
67	21, 66	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
68	65, 67	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊‘𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
69		psgnunilem2.al	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ))
70		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → (𝑊‘𝑘) = (𝑊‘𝑠))
71	70	difeq1d 4073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) = ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
72	71	dmeqd 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
73	72	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → (𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I )))
74	73	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑠 → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I )))
75	74	cbvralvw 3241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑘) ∖ I ) ↔ ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
76	69, 75	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
77	76	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝑠) ∖ I ))
78	59, 68, 77	elrabd 3647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊‘𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
79	52, 78	fmpt3d 7114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
80	79	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
81		iswrdi 14655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 prefix 𝐼):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
82	80, 81	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
83		gsumwsubmcl 19026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
84	46, 82, 83	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
85		difeq1 4067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
86	85	dmeqd 5887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
87	86	sseq1d 3962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
88	87	elrab 3645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
89	88	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
90		disj2 4411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
91		disjsn 4672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
92	90, 91	bitr3i 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
93	89, 92	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
94	84, 93	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ))
95		psgnunilem2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))
96	95	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))
97	94, 96	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )))
98	97	olcd 888	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))))
99		excxor 1546	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )) ↔ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))))
100	98, 99	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I )))
101		f1omvdco3 19656	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ (𝑊‘𝐼):𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊‘𝐼) ∖ I ))) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
102	32, 43, 100, 101	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
103		elfzo0 13828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐿))
104	103	simp2bi 1164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
105	35, 104	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
106	36, 105	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
107		wrdfin 14670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊 ∈ Fin)
108		hashnncl 14503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
109	24, 107, 108	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
110	106, 109	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ ∅)
111	110	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ≠ ∅)
112		pfxlswccat 14855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
113	112	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
114	24, 111, 113	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
115	36	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
116	115	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
117	105	nncnd 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
118		1cnd 11295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
119		elfzoelz 13786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
120	35, 119	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
121	120	zcnd 12797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
122	117, 118, 121	subadd2d 11681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 1) = 𝐼 ↔ (𝐼 + 1) = 𝐿))
123	122	biimpar 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐿 − 1) = 𝐼)
124	116, 123	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼)
125		oveq2 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 prefix 𝐼))
126	125	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊 prefix 𝐼))
127		lsw 14702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
128	24, 127	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
129		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘𝐼))
130	128, 129	sylan9eq 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘𝐼))
131	130	s1eqd 14741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
132	126, 131	oveq12d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
133	124, 132	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
134	114, 133	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩))
135	134	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
136	40	s1cld 14743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺))
137		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
138	20, 137	gsumccat 19030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 prefix 𝐼) ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
139	18, 27, 136, 138	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
140	139	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg ((𝑊 prefix 𝐼) ++ ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)))
141	20	gsumws1 19027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩) = (𝑊‘𝐼))
142	40, 141	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩) = (𝑊‘𝐼))
143	142	oveq2d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝑊‘𝐼)))
144	15, 20, 137	symgov 19591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊‘𝐼) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝑊‘𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
145	29, 40, 144	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝑊‘𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
146	143, 145	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
147	146	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
148	135, 140, 147	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = ((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)))
149	148	difeq1d 4073	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
150	149	dmeqd 5887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (((𝐺 Σg (𝑊 prefix 𝐼)) ∘ (𝑊‘𝐼)) ∖ I ))
151	102, 150	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
152	13, 151	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) = 𝐿)
153		fzostep1 13914	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
154	35, 153	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
155	154	ord 878	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 1) = 𝐿))
156	152, 155	mt3d 149	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ⊻ wxo 1541   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5545  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336   − cmin 11534  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467  Word cword 14651  lastSclsw 14700   ++ cconcat 14708  ⟨“cs1 14735   prefix cpfx 14813  Basecbs 17380  +_gcplusg 17421   Σ_g cgsu 17604  Mndcmnd 18916  SubMndcsubmnd 18970  Grpcgrp 19137  SubGrpcsubg 19323  SymGrpcsymg 19576  pmTrspcpmtr 19648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-word 14652  df-lsw 14701  df-concat 14709  df-s1 14736  df-substr 14782  df-pfx 14814  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-tset 17440  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-efmnd 19058  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-subg 19326  df-symg 19577  df-pmtr 19649

This theorem is used by:  psgnunilem2  19702