Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1omvdco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1omvdco2 18643
 Description: If exactly one of two permutations is limited to a set of points, then the composition will not be. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdco2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem f1omvdco2
StepHypRef Expression
1 excxor 1508 . . 3 ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ↔ ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ ¬ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∨ (¬ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)))
2 coass 6095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
3 f1ococnv1 6630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
43coeq1d 5701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝐺))
5 f1of 6602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴𝐴)
6 fcoi2 6538 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺:𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝐺) = 𝐺)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝐺) = 𝐺)
84, 7sylan9eq 2813 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
92, 8syl5eqr 2807 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) = 𝐺)
109difeq1d 4027 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) ∖ I ) = (𝐺 ∖ I ))
1110dmeqd 5745 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom ((𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) ∖ I ) = dom (𝐺 ∖ I ))
1211adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) ∖ I ) = dom (𝐺 ∖ I ))
13 mvdco 18640 . . . . . . . . 9 dom ((𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) ∖ I ) ⊆ (dom (𝐹 ∖ I ) ∪ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ))
14 f1omvdcnv 18639 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
16 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
1715, 16eqsstrd 3930 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
18 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
1917, 18unssd 4091 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (dom (𝐹 ∖ I ) ∪ dom ((𝐹𝐺) ∖ I )) ⊆ 𝑋)
2013, 19sstrid 3903 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
2112, 20eqsstrrd 3931 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
2221expr 460 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
2322con3d 155 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → (¬ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
2423expimpd 457 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ ¬ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
25 coass 6095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐺𝐺))
26 f1ococnv2 6628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝐺𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
2726coeq2d 5702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝐹 ∘ (𝐺𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
28 f1of 6602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴𝐴)
29 fcoi1 6537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐴𝐴 → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝐹)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝐹 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝐹)
3127, 30sylan9eqr 2815 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (𝐹 ∘ (𝐺𝐺)) = 𝐹)
3225, 31syl5eq 2805 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) = 𝐹)
3332difeq1d 4027 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) ∖ I ) = (𝐹 ∖ I ))
3433dmeqd 5745 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → dom (((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
3534adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
36 mvdco 18640 . . . . . . . . . 10 dom (((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ (dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ∪ dom (𝐺 ∖ I ))
37 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
38 f1omvdcnv 18639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 → dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐺 ∖ I ))
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐺 ∖ I ))
40 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
4139, 40eqsstrd 3930 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
4237, 41unssd 4091 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → (dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ∪ dom (𝐺 ∖ I )) ⊆ 𝑋)
4336, 42sstrid 3903 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (((𝐹𝐺) ∘ 𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
4435, 43eqsstrrd 3931 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋)
4544expr 460 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → (dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋))
4645con3d 155 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → (¬ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
4746expimpd 457 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ ¬ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
4847ancomsd 469 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((¬ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
4924, 48jaod 856 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → (((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ ¬ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) ∨ (¬ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
501, 49syl5bi 245 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) → ((dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋))
51503impia 1114 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴 ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝑋 ⊻ dom (𝐺 ∖ I ) ⊆ 𝑋)) → ¬ dom ((𝐹𝐺) ∖ I ) ⊆ 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   ⊻ wxo 1502   = wceq 1538   ∖ cdif 3855   ∪ cun 3856   ⊆ wss 3858   I cid 5429  ◡ccnv 5523  dom cdm 5524   ↾ cres 5526   ∘ ccom 5528  ⟶wf 6331  –1-1-onto→wf1o 6334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343 This theorem is referenced by:  f1omvdco3  18644
 Copyright terms: Public domain W3C validator