Theorem fsn2g 7132

Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fsn2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))

Proof of Theorem fsn2g

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4594	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → {𝑎} = {𝐴})
2	1	feq2d 6686	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹:{𝑎}⟶𝐵 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶𝐵))
3		fveq2 6878	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
4	3	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
6	5, 3	opeq12d 4841	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ⟨𝑎, (𝐹‘𝑎)⟩ = ⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩)
7	6	sneqd 4596	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → {⟨𝑎, (𝐹‘𝑎)⟩} = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
8	7	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹 = {⟨𝑎, (𝐹‘𝑎)⟩} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
9	4, 8	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑎, (𝐹‘𝑎)⟩}) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
10		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑎 ∈ V
11	10	fsn2 7130	. 2 ⊢ (𝐹:{𝑎}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑎, (𝐹‘𝑎)⟩}))
12	2, 9, 11	vtoclbg 3519	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ⟨cop 4590  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541

This theorem is used by:  fsnex  7284  pt1hmeo  24032  k0004val0  44994  difmapsn  46042  fsetsniunop  47937  f1sn2g  49779  termcfuncval  50458