Theorem filinn0 24140

Description: The intersection of two elements of a filter can't be empty. (Contributed by FL, 16-Sep-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filinn0	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)

Proof of Theorem filinn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filin 24134	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐹)
3		fileln0 24130	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝐹) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ 𝐹) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∩ cin 3897  ∅c0 4278  ‘cfv 6527  Filcfil 24125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-fbas 21636  df-fil 24126

This theorem is used by:  flimclsi  24258  hausflimlem  24259  filnetlem3  37090