Theorem fileln0 22458

Description: An element of a filter is nonempty. (Contributed by FL, 24-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fileln0	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem fileln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → 𝐴 ∈ 𝐹)
2		0nelfil 22457	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
3		nelne2 3115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)
4	1, 2, 3	syl2anr 598	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∅c0 4291  ‘cfv 6355  Filcfil 22453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-fbas 20542  df-fil 22454

This theorem is referenced by:  filinn0  22468  filintn0  22469  alexsublem  22652  cfil3i  23872  iscmet3  23896  filnetlem4  33729