MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fileln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fileln0 23774
Description: An element of a filter is nonempty. (Contributed by FL, 24-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fileln0 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem fileln0
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴𝐹𝐴𝐹)
2 0nelfil 23773 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
3 nelne2 3037 . 2 ((𝐴𝐹 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)
41, 2, 3syl2anr 595 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wcel 2098  wne 2937  c0 4326  cfv 6553  Filcfil 23769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-fbas 21283  df-fil 23770
This theorem is referenced by:  filinn0  23784  filintn0  23785  alexsublem  23968  cfil3i  25217  iscmet3  25241  filnetlem4  35898
  Copyright terms: Public domain W3C validator