Theorem filfi 23995

Description: A filter is closed under taking intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfi	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem filfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filin 23990	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
2	1	3expib 1138	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹))
3	2	ralrimivv 3204	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
4		inficl 9384	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹 ↔ (fi‘𝐹) = 𝐹))
5	3, 4	mpbid 235	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   ∩ cin 3903  ‘cfv 6536  ficfi 9369  Filcfil 23981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7862  df-1o 8452  df-2o 8453  df-en 8943  df-fin 8946  df-fi 9370  df-fbas 21498  df-fil 23982

This theorem is referenced by:  filintn0  23997  fclscmpi  24165  alexsublem  24180  iscmet3  25431