Theorem filfi 23116

Description: A filter is closed under taking intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfi	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem filfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filin 23111	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
2	1	3expib 1121	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹))
3	2	ralrimivv 3191	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
4		inficl 9282	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹 ↔ (fi‘𝐹) = 𝐹))
5	3, 4	mpbid 231	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061   ∩ cin 3897  ‘cfv 6479  ficfi 9267  Filcfil 23102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-om 7781  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-fin 8808  df-fi 9268  df-fbas 20700  df-fil 23103

This theorem is referenced by:  filintn0  23118  fclscmpi  23286  alexsublem  23301  iscmet3  24563