Theorem filfi 23812

Description: A filter is closed under taking intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfi	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem filfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filin 23807	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
2	1	3expib 1123	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹))
3	2	ralrimivv 3176	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹)
4		inficl 9327	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝐹 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐹 ↔ (fi‘𝐹) = 𝐹))
5	3, 4	mpbid 232	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049   ∩ cin 3884  ‘cfv 6487  ficfi 9312  Filcfil 23798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-om 7807  df-1o 8394  df-2o 8395  df-en 8883  df-fin 8886  df-fi 9313  df-fbas 21338  df-fil 23799

This theorem is referenced by:  filintn0  23814  fclscmpi  23982  alexsublem  23997  iscmet3  25248