Theorem hausflimlem 23958

Description: If 𝐴 and 𝐵 are both limits of the same filter, then all neighborhoods of 𝐴 and 𝐵 intersect. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hausflimlem	⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ≠ ∅)

Proof of Theorem hausflimlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	flimfil 23948	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
5		flimtop 23944	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐽 ∈ Top)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐽 ∈ Top)
7		simp2l 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝐽)
8		simp3l 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		opnneip 23098	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
11		flimnei 23946	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑈 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → 𝑈 ∈ 𝐹)
12	1, 10, 11	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝐹)
13		simp1r 1200	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
14		simp2r 1202	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝐽)
15		simp3r 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		opnneip 23098	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑉 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
17	6, 14, 15, 16	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
18		flimnei 23946	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑉 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → 𝑉 ∈ 𝐹)
19	13, 17, 18	syl2anc 585	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝐹)
20		filinn0 23839	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐹 ∧ 𝑉 ∈ 𝐹) → (𝑈 ∩ 𝑉) ≠ ∅)
21	4, 12, 19, 20	syl3anc 1374	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Topctop 22872  neicnei 23076  Filcfil 23824   fLim cflim 23913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-fbas 21345  df-top 22873  df-nei 23077  df-fil 23825  df-flim 23918

This theorem is referenced by:  hausflimi  23959