Theorem hausflimlem 24147

Description: If 𝐴 and 𝐵 are both limits of the same filter, then all neighborhoods of 𝐴 and 𝐵 intersect. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hausflimlem	⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ≠ ∅)

Proof of Theorem hausflimlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1215	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	flimfil 24137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
5		flimtop 24133	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐽 ∈ Top)
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐽 ∈ Top)
7		simp2l 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝐽)
8		simp3l 1219	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		opnneip 23287	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
11		flimnei 24135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑈 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → 𝑈 ∈ 𝐹)
12	1, 10, 11	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝐹)
13		simp1r 1216	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
14		simp2r 1218	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝐽)
15		simp3r 1220	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		opnneip 23287	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑉 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
17	6, 14, 15, 16	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
18		flimnei 24135	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑉 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → 𝑉 ∈ 𝐹)
19	13, 17, 18	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝐹)
20		filinn0 24028	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐹 ∧ 𝑉 ∈ 𝐹) → (𝑈 ∩ 𝑉) ≠ ∅)
21	4, 12, 19, 20	syl3anc 1397	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4588  ∪ cuni 4871  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Topctop 23061  neicnei 23265  Filcfil 24013   fLim cflim 24102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-fbas 21530  df-top 23062  df-nei 23266  df-fil 24014  df-flim 24107

This theorem is used by:  hausflimi  24148