Theorem hausflimlem 23922

Description: If 𝐴 and 𝐵 are both limits of the same filter, then all neighborhoods of 𝐴 and 𝐵 intersect. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hausflimlem	⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ≠ ∅)

Proof of Theorem hausflimlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	flimfil 23912	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽))
5		flimtop 23908	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) → 𝐽 ∈ Top)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐽 ∈ Top)
7		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝐽)
8		simp3l 1202	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑈)
9		opnneip 23062	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴}))
11		flimnei 23910	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑈 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐴})) → 𝑈 ∈ 𝐹)
12	1, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑈 ∈ 𝐹)
13		simp1r 1199	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹))
14		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝐽)
15		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		opnneip 23062	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑉 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
17	6, 14, 15, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
18		flimnei 23910	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝑉 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → 𝑉 ∈ 𝐹)
19	13, 17, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑉 ∈ 𝐹)
20		filinn0 23803	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘∪ 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐹 ∧ 𝑉 ∈ 𝐹) → (𝑈 ∩ 𝑉) ≠ ∅)
21	4, 12, 19, 20	syl3anc 1373	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝐽 fLim 𝐹) ∧ 𝐵 ∈ (𝐽 fLim 𝐹)) ∧ (𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) ∧ (𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∩ cin 3930  ∅c0 4313  {csn 4606  ∪ cuni 4888  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Topctop 22836  neicnei 23040  Filcfil 23788   fLim cflim 23877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-fbas 21317  df-top 22837  df-nei 23041  df-fil 23789  df-flim 23882

This theorem is referenced by:  hausflimi  23923