Theorem filintn0 23870

Description: A filter has the finite intersection property. Remark below Definition 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 20-Sep-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filintn0	⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem filintn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfir 9456	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
2		filfi 23868	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
4	1, 3	eleqtrd 2842	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐹)
5		fileln0 23859	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∩ 𝐴 ∈ 𝐹) → ∩ 𝐴 ≠ ∅)
6	4, 5	syldan 591	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ∩ cint 4945  ‘cfv 6560  Fincfn 8986  ficfi 9451  Filcfil 23854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-2o 8508  df-en 8987  df-fin 8990  df-fi 9452  df-fbas 21362  df-fil 23855

This theorem is referenced by:  alexsublem  24053