MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filintn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filintn0 22462
Description: A filter has the finite intersection property. Remark below Definition 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 20-Sep-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filintn0 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem filintn0
StepHypRef Expression
1 elfir 8870 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐹))
2 filfi 22460 . . . 4 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
32adantr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (fi‘𝐹) = 𝐹)
41, 3eleqtrd 2918 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴𝐹)
5 fileln0 22451 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → 𝐴 ≠ ∅)
64, 5syldan 594 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐴𝐹𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wss 3919  c0 4275   cint 4862  cfv 6343  Fincfn 8499  ficfi 8865  Filcfil 22446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-en 8500  df-fin 8503  df-fi 8866  df-fbas 20535  df-fil 22447
This theorem is referenced by:  alexsublem  22645
  Copyright terms: Public domain W3C validator