Theorem fnmpompt 50072

Description: Characterization of the outer domain of a chained maps-to expression. (Contributed by Zhi Wang, 14-Sep-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
fnmpompt.l	⊢ 𝐿 = (𝑢 ∈ 𝐵, 𝑣 ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑢𝐻𝑣) ↦ (𝐴‘𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
fnmpompt	⊢ 𝐿 Fn (𝐵 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴,𝑣   𝐻,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐻(𝑣, 𝑢)   𝐿(𝑣, 𝑢, 𝑎)

Proof of Theorem fnmpompt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpompt.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (𝑢 ∈ 𝐵, 𝑣 ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑢𝐻𝑣) ↦ (𝐴‘𝑎)))
2		ovex 7453	. . 3 ⊢ (𝑢𝐻𝑣) ∈ V
3	2	mptex 7229	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑢𝐻𝑣) ↦ (𝐴‘𝑎)) ∈ V
4	1, 3	fnmpoi 8081	1 ⊢ 𝐿 Fn (𝐵 × 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002

This theorem is used by:  parmapfunc2  50865  parmapfunc  50866