Theorem ovmpomptd 50073

Description: The outer value of an iterated maps-to function is the corresponding inner maps-to function. (Contributed by Zhi Wang, 14-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnmpompt.l	⊢ 𝐿 = (𝑢 ∈ 𝐵, 𝑣 ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑢𝐻𝑣) ↦ (𝐴‘𝑎)))
fvmpomptd.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
fvmpomptd.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ovmpomptd	⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) = (𝑎 ∈ (𝑈𝐻𝑉) ↦ (𝐴‘𝑎)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴,𝑣   𝐻,𝑎,𝑢,𝑣   𝑈,𝑎,𝑢,𝑣   𝑉,𝑎,𝑢,𝑣   𝜑,𝑎,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑎)   𝐿(𝑣, 𝑢, 𝑎)

Proof of Theorem ovmpomptd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpompt.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑢 ∈ 𝐵, 𝑣 ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑢𝐻𝑣) ↦ (𝐴‘𝑎)))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑢 ∈ 𝐵, 𝑣 ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑢𝐻𝑣) ↦ (𝐴‘𝑎))))
3		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 = 𝑈 ∧ 𝑣 = 𝑉)) → 𝑢 = 𝑈)
4		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 = 𝑈 ∧ 𝑣 = 𝑉)) → 𝑣 = 𝑉)
5	3, 4	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 = 𝑈 ∧ 𝑣 = 𝑉)) → (𝑢𝐻𝑣) = (𝑈𝐻𝑉))
6	5	mpteq1d 5194	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 = 𝑈 ∧ 𝑣 = 𝑉)) → (𝑎 ∈ (𝑢𝐻𝑣) ↦ (𝐴‘𝑎)) = (𝑎 ∈ (𝑈𝐻𝑉) ↦ (𝐴‘𝑎)))
7		fvmpomptd.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
8		fvmpomptd.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐵)
9		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (𝑈𝐻𝑉) ∈ V
10	9	mptex 7229	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑈𝐻𝑉) ↦ (𝐴‘𝑎)) ∈ V
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝑈𝐻𝑉) ↦ (𝐴‘𝑎)) ∈ V)
12	2, 6, 7, 8, 11	ovmpod 7572	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈𝐿𝑉) = (𝑎 ∈ (𝑈𝐻𝑉) ↦ (𝐴‘𝑎)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425

This theorem is used by:  fvmpomptd  50074  parmapfunc2  50865  parmapfunc  50866