Theorem fvtresfn 6999

Description: Functionality of a tuple-restriction function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvtresfn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
fvtresfn	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ↾ 𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvtresfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resexg 6031	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ↾ 𝑉) ∈ V)
2		reseq1 5977	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ↾ 𝑉) = (𝑋 ↾ 𝑉))
3		fvtresfn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
4	2, 3	fvmptg 6994	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ↾ 𝑉) ∈ V) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ↾ 𝑉))
5	1, 4	mpdan 700	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ↾ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ↦ cmpt 5197   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-res 5678  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551

This theorem is used by:  symgfixf1  19538  symgfixfo  19540  pwssplit1  21217  pwssplit2  21218  pwssplit3  21219  eulerpartgbij  34794  pwssplit4  43857