Theorem fvtresfn 6945

Description: Functionality of a tuple-restriction function. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvtresfn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
fvtresfn	⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ↾ 𝑉))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvtresfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resexg 5987	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ↾ 𝑉) ∈ V)
2		reseq1 5933	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ↾ 𝑉) = (𝑋 ↾ 𝑉))
3		fvtresfn.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
4	2, 3	fvmptg 6940	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ↾ 𝑉) ∈ V) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ↾ 𝑉))
5	1, 4	mpdan 688	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ↾ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5180   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-res 5637  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501

This theorem is referenced by:  symgfixf1  19371  symgfixfo  19373  pwssplit1  21016  pwssplit2  21017  pwssplit3  21018  eulerpartgbij  34542  pwssplit4  43409