Theorem fvmptg 7027

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2751	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2744	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 3729	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 5250	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2768	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 7025	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃*wmo 2541  {copab 5228   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  fvmpti  7028  fvmpt  7029  fvmpt2f  7030  fvtresfn  7031  fvmpts  7032  fvmpt3  7033  fvmptd3  7052  fvmptss2  7055  f1mpt  7298  bropfvvvv  8133  tz7.44-3  8464  pw2f1olem  9142  wdom2d  9649  tz9.12lem3  9858  djurcl  9980  djur  9988  djuun  9995  cardval3  10021  cfval  10316  coftr  10342  fin1a2lem1  10469  fin1a2lem12  10480  axdc2lem  10517  pwcfsdom  10652  tskmval  10908  lsw  14612  swrdswrd  14753  trclfv  15049  relexpsucnnr  15074  dfrtrclrec2  15107  rtrclreclem2  15108  summolem2a  15763  prodmolem2a  15982  divsfval  17607  joinfval  18443  meetfval  18457  symgextfv  19460  symgextfve  19461  pmtrdifwrdel2lem1  19526  efgtf  19764  rrgsupp  20723  uvcvval  21829  ply1sclid  22312  submaval0  22607  m2detleiblem3  22656  m2detleiblem4  22657  maduval  22665  minmar1val0  22674  toponsspwpw  22949  cldval  23052  ntrfval  23053  clsfval  23054  opncldf3  23115  neifval  23128  lpfval  23167  islocfin  23546  kqfval  23752  stdbdxmet  24549  cmetcaulem  25341  bcth3  25384  itg2gt0  25815  ellimc2  25932  coe1termlem  26317  bdayval  27711  oldval  27911  clwlkclwwlkfo  30041  grpoinvfval  30554  grpodivfval  30566  nlfnval  31913  sigaval  34075  measval  34162  measdivcst  34188  measdivcstALTV  34189  probfinmeasbALTV  34394  ptpconn  35201  cvmsval  35234  ex-sategoelel12  35395  imageval  35894  fvimage  35895  tailfval  36338  tailval  36339  curfv  37560  heiborlem4  37774  lkrval  39044  cdleme31fv  40347  docavalN  41080  dochval  41308  mapdval  41585  hvmapval  41717  hvmapvalvalN  41718  hdmap1vallem  41754  hdmapval  41785  hgmapval  41844  mzpval  42688  mzpsubst  42704  pw2f1o2val  42996  refsum2cnlem1  44937  stoweidlem26  45947  stirlinglem8  46002  fourierdlem50  46077  caragenval  46414  fargshiftfv  47313  lincvalsc0  48150  linc0scn0  48152  linc1  48154  lincscm  48159