Theorem fvmptg 6988

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2773	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2766	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 3668	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 5191	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2785	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 6986	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 21	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2564  {copab 5171   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545

This theorem is used by:  fvmpti  6989  fvmpt  6990  fvmpt2f  6991  fvtresfn  6993  fvmpts  6994  fvmpt3  6995  fvmptd3  7014  fvmptss2  7017  f1mpt  7262  bropfvvvv  8093  tz7.44-3  8401  curfv  8875  pw2f1olem  9083  wdom2d  9556  tz9.12lem3  9775  djurcl  9920  djur  9928  djuun  9935  cardval3  9961  cfval  10252  coftr  10279  fin1a2lem1  10406  fin1a2lem12  10417  axdc2lem  10454  pwcfsdom  10596  tskmval  10852  lsw  14633  swrdswrd  14778  trclfv  15077  relexpsucnnr  15102  dfrtrclrec2  15135  rtrclreclem2  15136  summolem2a  15805  prodmolem2a  16027  divsfval  17639  joinfval  18465  meetfval  18479  symgextfv  19551  symgextfve  19552  pmtrdifwrdel2lem1  19617  efgtf  19855  rrgsupp  20869  uvcvval  22005  ply1sclid  22520  submaval0  22808  m2detleiblem3  22857  m2detleiblem4  22858  maduval  22866  minmar1val0  22875  toponsspwpw  23153  cldval  23254  ntrfval  23255  clsfval  23256  opncldf3  23317  neifval  23330  lpfval  23369  islocfin  23749  kqfval  23955  stdbdxmet  24747  cmetcaulem  25522  bcth3  25565  itg2gt0  25994  ellimc2  26111  coe1termlem  26491  bdayval  27892  oldval  28107  clwlkclwwlkfo  30487  grpoinvfval  31011  grpodivfval  31023  nlfnval  32370  sigaval  34629  measval  34717  measdivcst  34743  measdivcstALTV  34744  probfinmeasbALTV  34948  ptpconn  35820  cvmsval  35853  ex-sategoelel12  36014  imageval  36515  fvimage  36516  tailfval  36999  tailval  37000  heiborlem4  38572  lkrval  39969  cdleme31fv  41271  docavalN  42004  dochval  42232  mapdval  42509  hvmapval  42641  hvmapvalvalN  42642  hdmap1vallem  42678  hdmapval  42709  hgmapval  42768  mzpval  43585  mzpsubst  43601  pw2f1o2val  43888  refsum2cnlem1  45879  stoweidlem26  46862  stirlinglem8  46917  fourierdlem50  46992  caragenval  47329  fargshiftfv  48347  lincvalsc0  49359  linc0scn0  49361  linc1  49363  lincscm  49368