Theorem fvmptg 6939

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2740	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 3665	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 5180	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 6937	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃*wmo 2537  {copab 5160   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  fvmpti  6940  fvmpt  6941  fvmpt2f  6942  fvtresfn  6943  fvmpts  6944  fvmpt3  6945  fvmptd3  6964  fvmptss2  6967  f1mpt  7207  bropfvvvv  8034  tz7.44-3  8339  pw2f1olem  9009  wdom2d  9485  tz9.12lem3  9701  djurcl  9823  djur  9831  djuun  9838  cardval3  9864  cfval  10157  coftr  10183  fin1a2lem1  10310  fin1a2lem12  10321  axdc2lem  10358  pwcfsdom  10494  tskmval  10750  lsw  14487  swrdswrd  14628  trclfv  14923  relexpsucnnr  14948  dfrtrclrec2  14981  rtrclreclem2  14982  summolem2a  15638  prodmolem2a  15857  divsfval  17468  joinfval  18294  meetfval  18308  symgextfv  19347  symgextfve  19348  pmtrdifwrdel2lem1  19413  efgtf  19651  rrgsupp  20634  uvcvval  21741  ply1sclid  22230  submaval0  22524  m2detleiblem3  22573  m2detleiblem4  22574  maduval  22582  minmar1val0  22591  toponsspwpw  22866  cldval  22967  ntrfval  22968  clsfval  22969  opncldf3  23030  neifval  23043  lpfval  23082  islocfin  23461  kqfval  23667  stdbdxmet  24459  cmetcaulem  25244  bcth3  25287  itg2gt0  25717  ellimc2  25834  coe1termlem  26219  bdayval  27616  oldval  27830  clwlkclwwlkfo  30084  grpoinvfval  30597  grpodivfval  30609  nlfnval  31956  sigaval  34268  measval  34355  measdivcst  34381  measdivcstALTV  34382  probfinmeasbALTV  34586  ptpconn  35427  cvmsval  35460  ex-sategoelel12  35621  imageval  36122  fvimage  36123  tailfval  36566  tailval  36567  curfv  37797  heiborlem4  38011  lkrval  39344  cdleme31fv  40646  docavalN  41379  dochval  41607  mapdval  41884  hvmapval  42016  hvmapvalvalN  42017  hdmap1vallem  42053  hdmapval  42084  hgmapval  42143  mzpval  42970  mzpsubst  42986  pw2f1o2val  43277  refsum2cnlem1  45278  stoweidlem26  46266  stirlinglem8  46321  fourierdlem50  46396  caragenval  46733  nthrucw  47126  fargshiftfv  47681  lincvalsc0  48663  linc0scn0  48665  linc1  48667  lincscm  48672