Theorem fvmptg 6743

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2809	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2802	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 3646	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 5111	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2821	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 6741	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃*wmo 2596  {copab 5092   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  fvmpti  6744  fvmpt  6745  fvmpt2f  6746  fvtresfn  6747  fvmpts  6748  fvmpt3  6749  fvmptd3  6768  fvmptss2  6770  f1mpt  6997  bropfvvvv  7770  tz7.44-3  8027  pw2f1olem  8604  wdom2d  9028  tz9.12lem3  9202  djurcl  9324  djur  9332  djuun  9339  cardval3  9365  cfval  9658  coftr  9684  fin1a2lem1  9811  fin1a2lem12  9822  axdc2lem  9859  pwcfsdom  9994  tskmval  10250  lsw  13907  swrdswrd  14058  trclfv  14351  relexpsucnnr  14376  dfrtrclrec2  14409  rtrclreclem2  14410  summolem2a  15064  prodmolem2a  15280  divsfval  16812  joinfval  17603  meetfval  17617  symgextfv  18538  symgextfve  18539  pmtrdifwrdel2lem1  18604  efgtf  18840  rrgsupp  20057  uvcvval  20475  ply1sclid  20917  submaval0  21185  m2detleiblem3  21234  m2detleiblem4  21235  maduval  21243  minmar1val0  21252  toponsspwpw  21527  cldval  21628  ntrfval  21629  clsfval  21630  opncldf3  21691  neifval  21704  lpfval  21743  islocfin  22122  kqfval  22328  stdbdxmet  23122  cmetcaulem  23892  bcth3  23935  itg2gt0  24364  ellimc2  24480  coe1termlem  24855  clwlkclwwlkfo  27794  grpoinvfval  28305  grpodivfval  28317  nlfnval  29664  sigaval  31480  measval  31567  measdivcst  31593  measdivcstALTV  31594  probfinmeasbALTV  31797  ptpconn  32593  cvmsval  32626  ex-sategoelel12  32787  bdayval  33268  imageval  33504  fvimage  33505  tailfval  33833  tailval  33834  curfv  35037  heiborlem4  35252  lkrval  36384  cdleme31fv  37686  docavalN  38419  dochval  38647  mapdval  38924  hvmapval  39056  hvmapvalvalN  39057  hdmap1vallem  39093  hdmapval  39124  hgmapval  39183  mzpval  39673  mzpsubst  39689  pw2f1o2val  39980  refsum2cnlem1  41666  stoweidlem26  42668  stirlinglem8  42723  fourierdlem50  42798  caragenval  43132  fargshiftfv  43956  lincvalsc0  44830  linc0scn0  44832  linc1  44834  lincscm  44839