Theorem fvmptg 6997

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2737	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 3704	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 5233	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2761	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 6995	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃*wmo 2533  {copab 5211   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  fvmpti  6998  fvmpt  6999  fvmpt2f  7000  fvtresfn  7001  fvmpts  7002  fvmpt3  7003  fvmptd3  7022  fvmptss2  7024  f1mpt  7260  bropfvvvv  8078  tz7.44-3  8408  pw2f1olem  9076  wdom2d  9575  tz9.12lem3  9784  djurcl  9906  djur  9914  djuun  9921  cardval3  9947  cfval  10242  coftr  10268  fin1a2lem1  10395  fin1a2lem12  10406  axdc2lem  10443  pwcfsdom  10578  tskmval  10834  lsw  14514  swrdswrd  14655  trclfv  14947  relexpsucnnr  14972  dfrtrclrec2  15005  rtrclreclem2  15006  summolem2a  15661  prodmolem2a  15878  divsfval  17493  joinfval  18326  meetfval  18340  symgextfv  19286  symgextfve  19287  pmtrdifwrdel2lem1  19352  efgtf  19590  rrgsupp  20907  uvcvval  21341  ply1sclid  21810  submaval0  22082  m2detleiblem3  22131  m2detleiblem4  22132  maduval  22140  minmar1val0  22149  toponsspwpw  22424  cldval  22527  ntrfval  22528  clsfval  22529  opncldf3  22590  neifval  22603  lpfval  22642  islocfin  23021  kqfval  23227  stdbdxmet  24024  cmetcaulem  24805  bcth3  24848  itg2gt0  25278  ellimc2  25394  coe1termlem  25772  bdayval  27151  oldval  27349  clwlkclwwlkfo  29262  grpoinvfval  29775  grpodivfval  29787  nlfnval  31134  sigaval  33109  measval  33196  measdivcst  33222  measdivcstALTV  33223  probfinmeasbALTV  33428  ptpconn  34224  cvmsval  34257  ex-sategoelel12  34418  imageval  34902  fvimage  34903  tailfval  35257  tailval  35258  curfv  36468  heiborlem4  36682  lkrval  37958  cdleme31fv  39261  docavalN  39994  dochval  40222  mapdval  40499  hvmapval  40631  hvmapvalvalN  40632  hdmap1vallem  40668  hdmapval  40699  hgmapval  40758  mzpval  41470  mzpsubst  41486  pw2f1o2val  41778  refsum2cnlem1  43721  stoweidlem26  44742  stirlinglem8  44797  fourierdlem50  44872  caragenval  45209  fargshiftfv  46107  lincvalsc0  47102  linc0scn0  47104  linc1  47106  lincscm  47111