Theorem fvmptg 6945

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2740	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 3653	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 5167	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 6943	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2537  {copab 5147   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  fvmpti  6946  fvmpt  6947  fvmpt2f  6948  fvtresfn  6950  fvmpts  6951  fvmpt3  6952  fvmptd3  6971  fvmptss2  6974  f1mpt  7216  bropfvvvv  8042  tz7.44-3  8347  pw2f1olem  9019  wdom2d  9495  tz9.12lem3  9713  djurcl  9835  djur  9843  djuun  9850  cardval3  9876  cfval  10169  coftr  10195  fin1a2lem1  10322  fin1a2lem12  10333  axdc2lem  10370  pwcfsdom  10506  tskmval  10762  lsw  14526  swrdswrd  14667  trclfv  14962  relexpsucnnr  14987  dfrtrclrec2  15020  rtrclreclem2  15021  summolem2a  15677  prodmolem2a  15899  divsfval  17511  joinfval  18337  meetfval  18351  symgextfv  19393  symgextfve  19394  pmtrdifwrdel2lem1  19459  efgtf  19697  rrgsupp  20678  uvcvval  21766  ply1sclid  22253  submaval0  22545  m2detleiblem3  22594  m2detleiblem4  22595  maduval  22603  minmar1val0  22612  toponsspwpw  22887  cldval  22988  ntrfval  22989  clsfval  22990  opncldf3  23051  neifval  23064  lpfval  23103  islocfin  23482  kqfval  23688  stdbdxmet  24480  cmetcaulem  25255  bcth3  25298  itg2gt0  25727  ellimc2  25844  coe1termlem  26223  bdayval  27612  oldval  27826  clwlkclwwlkfo  30079  grpoinvfval  30593  grpodivfval  30605  nlfnval  31952  sigaval  34255  measval  34342  measdivcst  34368  measdivcstALTV  34369  probfinmeasbALTV  34573  ptpconn  35415  cvmsval  35448  ex-sategoelel12  35609  imageval  36110  fvimage  36111  tailfval  36554  tailval  36555  curfv  37921  heiborlem4  38135  lkrval  39534  cdleme31fv  40836  docavalN  41569  dochval  41797  mapdval  42074  hvmapval  42206  hvmapvalvalN  42207  hdmap1vallem  42243  hdmapval  42274  hgmapval  42333  mzpval  43164  mzpsubst  43180  pw2f1o2val  43467  refsum2cnlem1  45468  stoweidlem26  46454  stirlinglem8  46509  fourierdlem50  46584  caragenval  46921  nthrucw  47316  fargshiftfv  47899  lincvalsc0  48897  linc0scn0  48899  linc1  48901  lincscm  48906