Theorem pwssplit2 21231

Description: Splitting for structure powers, part 2: restriction is a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit2	⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
2		pwssplit1.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		eqid 2765	. 2 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
7		pwssplit1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
8	7	pwsgrp 19162	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ Grp)
9	5, 6, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑌 ∈ Grp)
10		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
11	6, 10	ssexd 5297	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
12		pwssplit1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
13	12	pwsgrp 19162	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ Grp)
14	5, 11, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑍 ∈ Grp)
15		pwssplit1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
16	7, 12, 1, 2, 15	pwssplit0 21229	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
17		offres 7986	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
18	17	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
19	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ Grp)
20		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝑋)
21		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
22		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
23		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
24	7, 1, 19, 20, 21, 22, 23, 3	pwsplusgval 17566	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏))
25	24	reseq1d 5979	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
26	15	fvtresfn 6996	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑎) = (𝑎 ↾ 𝑉))
27	15	fvtresfn 6996	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
28	26, 27	oveqan12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
29	28	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
30	18, 25, 29	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
31	1, 3	grpcl 19052	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
32	31	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
33	9, 32	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
34	15	fvtresfn 6996	. . . 4 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
35	33, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
36	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
37	16	ffvelcdmda 7083	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐶)
38	37	adantrr 730	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐶)
39	16	ffvelcdmda 7083	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
40	39	adantrl 729	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
41	12, 2, 19, 36, 38, 40, 23, 4	pwsplusgval 17566	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑍)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
42	30, 35, 41	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑌)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑍)(𝐹‘𝑏)))
43	1, 2, 3, 4, 9, 14, 16, 42	isghmd 19339	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332   ↑_s cpws 17521  Grpcgrp 19044   GrpHom cghm 19327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-hom 17356  df-cco 17357  df-0g 17516  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-ghm 19328

This theorem is used by:  pwssplit3  21232