Theorem pwssplit2 21059

Description: Splitting for structure powers, part 2: restriction is a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit2	⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
2		pwssplit1.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
5		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
7		pwssplit1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
8	7	pwsgrp 19070	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ Grp)
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑌 ∈ Grp)
10		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
11	6, 10	ssexd 5324	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
12		pwssplit1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
13	12	pwsgrp 19070	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ Grp)
14	5, 11, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑍 ∈ Grp)
15		pwssplit1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
16	7, 12, 1, 2, 15	pwssplit0 21057	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
17		offres 8008	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
19	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ Grp)
20		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝑋)
21		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
22		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
23		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
24	7, 1, 19, 20, 21, 22, 23, 3	pwsplusgval 17535	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏))
25	24	reseq1d 5996	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
26	15	fvtresfn 7018	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑎) = (𝑎 ↾ 𝑉))
27	15	fvtresfn 7018	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
28	26, 27	oveqan12d 7450	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
30	18, 25, 29	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
31	1, 3	grpcl 18959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
32	31	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
33	9, 32	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
34	15	fvtresfn 7018	. . . 4 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
36	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
37	16	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐶)
38	37	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐶)
39	16	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
40	39	adantrl 716	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
41	12, 2, 19, 36, 38, 40, 23, 4	pwsplusgval 17535	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑍)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
42	30, 35, 41	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑌)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑍)(𝐹‘𝑏)))
43	1, 2, 3, 4, 9, 14, 16, 42	isghmd 19243	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297   ↑_s cpws 17491  Grpcgrp 18951   GrpHom cghm 19230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231

This theorem is referenced by:  pwssplit3  21060