MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit2 21059
Description: Splitting for structure powers, part 2: restriction is a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
2 pwssplit1.c . 2 𝐶 = (Base‘𝑍)
3 eqid 2737 . 2 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 eqid 2737 . 2 (+g𝑍) = (+g𝑍)
5 simp1 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6 simp2 1138 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
7 pwssplit1.y . . . 4 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
87pwsgrp 19070 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 ∈ Grp)
95, 6, 8syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 ∈ Grp)
10 simp3 1139 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
116, 10ssexd 5324 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
12 pwssplit1.z . . . 4 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
1312pwsgrp 19070 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ Grp)
145, 11, 13syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 ∈ Grp)
15 pwssplit1.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
167, 12, 1, 2, 15pwssplit0 21057 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
17 offres 8008 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝑎f (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
1817adantl 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎f (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
195adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑊 ∈ Grp)
20 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑈𝑋)
21 simprl 771 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
22 simprr 773 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
23 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
247, 1, 19, 20, 21, 22, 23, 3pwsplusgval 17535 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑎f (+g𝑊)𝑏))
2524reseq1d 5996 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎f (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
2615fvtresfn 7018 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → (𝐹𝑎) = (𝑎𝑉))
2715fvtresfn 7018 . . . . . 6 (𝑏𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
2826, 27oveqan12d 7450 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
2928adantl 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
3018, 25, 293eqtr4d 2787 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)))
311, 3grpcl 18959 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
32313expb 1121 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
339, 32sylan 580 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
3415fvtresfn 7018 . . . 4 ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
3611adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
3716ffvelcdmda 7104 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐶)
3837adantrr 717 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐶)
3916ffvelcdmda 7104 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
4039adantrl 716 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
4112, 2, 19, 36, 38, 40, 23, 4pwsplusgval 17535 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(+g𝑍)(𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)))
4230, 35, 413eqtr4d 2787 . 2 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑍)(𝐹𝑏)))
431, 2, 3, 4, 9, 14, 16, 42isghmd 19243 1 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  cmpt 5225  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  s cpws 17491  Grpcgrp 18951   GrpHom cghm 19230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231
This theorem is referenced by:  pwssplit3  21060
  Copyright terms: Public domain W3C validator