Theorem pwssplit2 21344

Description: Splitting for structure powers, part 2: restriction is a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit2	⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit2

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
2		pwssplit1.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝑍) = (+g‘𝑍)
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
7		pwssplit1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
8	7	pwsgrp 19271	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ Grp)
9	5, 6, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑌 ∈ Grp)
10		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
11	6, 10	ssexd 5286	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
12		pwssplit1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
13	12	pwsgrp 19271	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ Grp)
14	5, 11, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑍 ∈ Grp)
15		pwssplit1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
16	7, 12, 1, 2, 15	pwssplit0 21342	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
17		offres 7999	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
18	17	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
19	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ Grp)
20		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝑋)
21		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
22		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
23		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
24	7, 1, 19, 20, 21, 22, 23, 3	pwsplusgval 17671	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏))
25	24	reseq1d 5970	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ∘f (+g‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
26	15	fvtresfn 7001	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑎) = (𝑎 ↾ 𝑉))
27	15	fvtresfn 7001	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
28	26, 27	oveqan12d 7443	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
29	28	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∘f (+g‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
30	18, 25, 29	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
31	1, 3	grpcl 19161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
32	31	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
33	9, 32	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
34	15	fvtresfn 7001	. . . 4 ⊢ ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
35	33, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
36	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
37	16	ffvelcdmda 7089	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐶)
38	37	adantrr 730	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐶)
39	16	ffvelcdmda 7089	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
40	39	adantrl 729	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
41	12, 2, 19, 36, 38, 40, 23, 4	pwsplusgval 17671	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑍)(𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝑎) ∘f (+g‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
42	30, 35, 41	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑌)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝑍)(𝐹‘𝑏)))
43	1, 2, 3, 4, 9, 14, 16, 42	isghmd 19448	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437   ↑_s cpws 17626  Grpcgrp 19153   GrpHom cghm 19436

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-ghm 19437

This theorem is used by:  pwssplit3  21345