Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit2 19827
 Description: Splitting for structure powers, part 2: restriction is a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
2 pwssplit1.c . 2 𝐶 = (Base‘𝑍)
3 eqid 2824 . 2 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 eqid 2824 . 2 (+g𝑍) = (+g𝑍)
5 simp1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6 simp2 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
7 pwssplit1.y . . . 4 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
87pwsgrp 18209 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 ∈ Grp)
95, 6, 8syl2anc 587 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 ∈ Grp)
10 simp3 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
116, 10ssexd 5215 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
12 pwssplit1.z . . . 4 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
1312pwsgrp 18209 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ Grp)
145, 11, 13syl2anc 587 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 ∈ Grp)
15 pwssplit1.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
167, 12, 1, 2, 15pwssplit0 19825 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
17 offres 7676 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝑎f (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
1817adantl 485 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎f (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
195adantr 484 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑊 ∈ Grp)
20 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑈𝑋)
21 simprl 770 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
22 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
23 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
247, 1, 19, 20, 21, 22, 23, 3pwsplusgval 16761 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑎f (+g𝑊)𝑏))
2524reseq1d 5840 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎f (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
2615fvtresfn 6759 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → (𝐹𝑎) = (𝑎𝑉))
2715fvtresfn 6759 . . . . . 6 (𝑏𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
2826, 27oveqan12d 7165 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
2928adantl 485 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
3018, 25, 293eqtr4d 2869 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)))
311, 3grpcl 18109 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
32313expb 1117 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
339, 32sylan 583 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
3415fvtresfn 6759 . . . 4 ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
3611adantr 484 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
3716ffvelrnda 6840 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐶)
3837adantrr 716 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐶)
3916ffvelrnda 6840 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
4039adantrl 715 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
4112, 2, 19, 36, 38, 40, 23, 4pwsplusgval 16761 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(+g𝑍)(𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)))
4230, 35, 413eqtr4d 2869 . 2 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑍)(𝐹𝑏)))
431, 2, 3, 4, 9, 14, 16, 42isghmd 18365 1 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919   ↦ cmpt 5133   ↾ cres 5545  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146   ∘f cof 7398  Basecbs 16481  +gcplusg 16563   ↑s cpws 16718  Grpcgrp 18101   GrpHom cghm 18353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-hom 16587  df-cco 16588  df-0g 16713  df-prds 16719  df-pws 16721  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-ghm 18354 This theorem is referenced by:  pwssplit3  19828
 Copyright terms: Public domain W3C validator