MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit2 20949
Description: Splitting for structure powers, part 2: restriction is a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit2
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
2 pwssplit1.c . 2 𝐶 = (Base‘𝑍)
3 eqid 2725 . 2 (+g𝑌) = (+g𝑌)
4 eqid 2725 . 2 (+g𝑍) = (+g𝑍)
5 simp1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6 simp2 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
7 pwssplit1.y . . . 4 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
87pwsgrp 19012 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 ∈ Grp)
95, 6, 8syl2anc 582 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 ∈ Grp)
10 simp3 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
116, 10ssexd 5319 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
12 pwssplit1.z . . . 4 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
1312pwsgrp 19012 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ Grp)
145, 11, 13syl2anc 582 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 ∈ Grp)
15 pwssplit1.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
167, 12, 1, 2, 15pwssplit0 20947 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
17 offres 7985 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝑎f (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
1817adantl 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎f (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
195adantr 479 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑊 ∈ Grp)
20 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑈𝑋)
21 simprl 769 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
22 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
23 eqid 2725 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
247, 1, 19, 20, 21, 22, 23, 3pwsplusgval 17471 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑎f (+g𝑊)𝑏))
2524reseq1d 5978 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑎f (+g𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
2615fvtresfn 7002 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → (𝐹𝑎) = (𝑎𝑉))
2715fvtresfn 7002 . . . . . 6 (𝑏𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
2826, 27oveqan12d 7435 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
2928adantl 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑎𝑉) ∘f (+g𝑊)(𝑏𝑉)))
3018, 25, 293eqtr4d 2775 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)))
311, 3grpcl 18902 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
32313expb 1117 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
339, 32sylan 578 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
3415fvtresfn 7002 . . . 4 ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝑎(+g𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
3611adantr 479 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
3716ffvelcdmda 7089 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐶)
3837adantrr 715 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐶)
3916ffvelcdmda 7089 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
4039adantrl 714 . . . 4 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
4112, 2, 19, 36, 38, 40, 23, 4pwsplusgval 17471 . . 3 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝐹𝑎)(+g𝑍)(𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑎) ∘f (+g𝑊)(𝐹𝑏)))
4230, 35, 413eqtr4d 2775 . 2 (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝑌)𝑏)) = ((𝐹𝑎)(+g𝑍)(𝐹𝑏)))
431, 2, 3, 4, 9, 14, 16, 42isghmd 19183 1 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  wss 3939  cmpt 5226  cres 5674  cfv 6543  (class class class)co 7416  f cof 7680  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  s cpws 17427  Grpcgrp 18894   GrpHom cghm 19171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-ghm 19172
This theorem is referenced by:  pwssplit3  20950
  Copyright terms: Public domain W3C validator