MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit1 20670
Description: Splitting for structure powers, part 1: restriction is an onto function. The only actual monoid law we need here is that the base set is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit1 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵onto𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . 3 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
2 pwssplit1.z . . 3 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
3 pwssplit1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 pwssplit1.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑍)
5 pwssplit1.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
61, 2, 3, 4, 5pwssplit0 20669 . 2 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
7 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ Mnd)
8 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
9 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
108, 9ssexd 5325 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
11 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
122, 11, 4pwselbasb 17434 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎𝐶𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
137, 10, 12syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑎𝐶𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
1413biimpa 478 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊))
15 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) ∈ V
1615fconst 6778 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶{(0g𝑊)}
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶{(0g𝑊)})
18 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑊 ∈ Mnd)
19 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2011, 19mndidcl 18640 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Mnd → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2221snssd 4813 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → {(0g𝑊)} ⊆ (Base‘𝑊))
2317, 22fssd 6736 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶(Base‘𝑊))
24 disjdif 4472 . . . . . . . 8 (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅)
26 fun 6754 . . . . . . 7 (((𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) ∧ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
2714, 23, 25, 26syl21anc 837 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
28 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑉𝑈)
29 undif 4482 . . . . . . . 8 (𝑉𝑈 ↔ (𝑉 ∪ (𝑈𝑉)) = 𝑈)
3028, 29sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑉 ∪ (𝑈𝑉)) = 𝑈)
31 unidm 4153 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
3330, 32feq23d 6713 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3427, 33mpbid 231 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊))
35 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑈𝑋)
361, 11, 3pwselbasb 17434 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3718, 35, 36syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3834, 37mpbird 257 . . . 4 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵)
395fvtresfn 7001 . . . . . 6 ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉))
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉))
41 resundir 5997 . . . . . . 7 ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∪ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉))
42 ffn 6718 . . . . . . . . 9 (𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) → 𝑎 Fn 𝑉)
43 fnresdm 6670 . . . . . . . . 9 (𝑎 Fn 𝑉 → (𝑎𝑉) = 𝑎)
4414, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎𝑉) = 𝑎)
45 disjdifr 4473 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅
46 fnconstg 6780 . . . . . . . . . . 11 ((0g𝑊) ∈ V → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉))
4715, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉)
48 fnresdisj 6671 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉) → (((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
4947, 48mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
5045, 49mpbii 232 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅)
5144, 50uneq12d 4165 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎𝑉) ∪ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉)) = (𝑎 ∪ ∅))
5241, 51eqtrid 2785 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = (𝑎 ∪ ∅))
53 un0 4391 . . . . . 6 (𝑎 ∪ ∅) = 𝑎
5452, 53eqtrdi 2789 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = 𝑎)
5540, 54eqtr2d 2774 . . . 4 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))))
56 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑏 = (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))))
5756rspceeqv 3634 . . . 4 (((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})))) → ∃𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
5838, 55, 57syl2anc 585 . . 3 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ∃𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
5958ralrimiva 3147 . 2 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ∀𝑎𝐶𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
60 dffo3 7104 . 2 (𝐹:𝐵onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏)))
616, 59, 60sylanbrc 584 1 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323  {csn 4629  cmpt 5232   × cxp 5675  cres 5679   Fn wfn 6539  wf 6540  ontowfo 6542  cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  0gc0g 17385  s cpws 17392  Mndcmnd 18625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  41835
  Copyright terms: Public domain W3C validator