MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit1 20675
Description: Splitting for structure powers, part 1: restriction is an onto function. The only actual monoid law we need here is that the base set is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit1 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵onto𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . 3 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
2 pwssplit1.z . . 3 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
3 pwssplit1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 pwssplit1.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑍)
5 pwssplit1.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
61, 2, 3, 4, 5pwssplit0 20674 . 2 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
7 simp1 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ Mnd)
8 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
9 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
108, 9ssexd 5324 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
11 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
122, 11, 4pwselbasb 17436 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎𝐶𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
137, 10, 12syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑎𝐶𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
1413biimpa 477 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊))
15 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) ∈ V
1615fconst 6777 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶{(0g𝑊)}
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶{(0g𝑊)})
18 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑊 ∈ Mnd)
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2011, 19mndidcl 18642 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Mnd → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2221snssd 4812 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → {(0g𝑊)} ⊆ (Base‘𝑊))
2317, 22fssd 6735 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶(Base‘𝑊))
24 disjdif 4471 . . . . . . . 8 (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅)
26 fun 6753 . . . . . . 7 (((𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) ∧ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
2714, 23, 25, 26syl21anc 836 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
28 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑉𝑈)
29 undif 4481 . . . . . . . 8 (𝑉𝑈 ↔ (𝑉 ∪ (𝑈𝑉)) = 𝑈)
3028, 29sylib 217 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑉 ∪ (𝑈𝑉)) = 𝑈)
31 unidm 4152 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
3330, 32feq23d 6712 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3427, 33mpbid 231 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊))
35 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑈𝑋)
361, 11, 3pwselbasb 17436 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3718, 35, 36syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3834, 37mpbird 256 . . . 4 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵)
395fvtresfn 7000 . . . . . 6 ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉))
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉))
41 resundir 5996 . . . . . . 7 ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∪ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉))
42 ffn 6717 . . . . . . . . 9 (𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) → 𝑎 Fn 𝑉)
43 fnresdm 6669 . . . . . . . . 9 (𝑎 Fn 𝑉 → (𝑎𝑉) = 𝑎)
4414, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎𝑉) = 𝑎)
45 disjdifr 4472 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅
46 fnconstg 6779 . . . . . . . . . . 11 ((0g𝑊) ∈ V → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉))
4715, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉)
48 fnresdisj 6670 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉) → (((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
4947, 48mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
5045, 49mpbii 232 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅)
5144, 50uneq12d 4164 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎𝑉) ∪ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉)) = (𝑎 ∪ ∅))
5241, 51eqtrid 2784 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = (𝑎 ∪ ∅))
53 un0 4390 . . . . . 6 (𝑎 ∪ ∅) = 𝑎
5452, 53eqtrdi 2788 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = 𝑎)
5540, 54eqtr2d 2773 . . . 4 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))))
56 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑏 = (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))))
5756rspceeqv 3633 . . . 4 (((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})))) → ∃𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
5838, 55, 57syl2anc 584 . . 3 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ∃𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
5958ralrimiva 3146 . 2 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ∀𝑎𝐶𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
60 dffo3 7103 . 2 (𝐹:𝐵onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏)))
616, 59, 60sylanbrc 583 1 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  {csn 4628  cmpt 5231   × cxp 5674  cres 5678   Fn wfn 6538  wf 6539  ontowfo 6541  cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  0gc0g 17387  s cpws 17394  Mndcmnd 18627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  41917
  Copyright terms: Public domain W3C validator