Theorem pwssplit1 20321

Description: Splitting for structure powers, part 1: restriction is an onto function. The only actual monoid law we need here is that the base set is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit1	⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
2		pwssplit1.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
3		pwssplit1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		pwssplit1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
5		pwssplit1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
6	1, 2, 3, 4, 5	pwssplit0 20320	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
7		simp1 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Mnd)
8		simp2 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
9		simp3 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
10	8, 9	ssexd 5248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
11		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12	2, 11, 4	pwselbasb 17199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
13	7, 10, 12	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
14	13	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊))
15		fvex 6787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) ∈ V
16	15	fconst 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶{(0g‘𝑊)}
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶{(0g‘𝑊)})
18		simpl1 1190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ Mnd)
19		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
20	11, 19	mndidcl 18400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
22	21	snssd 4742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → {(0g‘𝑊)} ⊆ (Base‘𝑊))
23	17, 22	fssd 6618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶(Base‘𝑊))
24		disjdif 4405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅)
26		fun 6636	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
27	14, 23, 25, 26	syl21anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
28		simpl3 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
29		undif 4415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉)) = 𝑈)
30	28, 29	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉)) = 𝑈)
31		unidm 4086	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
33	30, 32	feq23d 6595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
34	27, 33	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊))
35		simpl2 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ 𝑋)
36	1, 11, 3	pwselbasb 17199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
37	18, 35, 36	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
38	34, 37	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵)
39	5	fvtresfn 6877	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉))
41		resundir 5906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∪ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉))
42		ffn 6600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) → 𝑎 Fn 𝑉)
43		fnresdm 6551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 Fn 𝑉 → (𝑎 ↾ 𝑉) = 𝑎)
44	14, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ↾ 𝑉) = 𝑎)
45		disjdifr 4406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅
46		fnconstg 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ V → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉))
47	15, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉)
48		fnresdisj 6552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉) → (((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
49	47, 48	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
50	45, 49	mpbii 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅)
51	44, 50	uneq12d 4098	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ↾ 𝑉) ∪ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉)) = (𝑎 ∪ ∅))
52	41, 51	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = (𝑎 ∪ ∅))
53		un0 4324	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∪ ∅) = 𝑎
54	52, 53	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = 𝑎)
55	40, 54	eqtr2d 2779	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))))
56		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))))
57	56	rspceeqv 3575	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})))) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
58	38, 55, 57	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
59	58	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
60		dffo3 6978	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏)))
61	6, 59, 60	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587   ↾ cres 5591   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  0_gc0g 17150   ↑_s cpws 17157  Mndcmnd 18385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386

This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  40918