MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit1 19334
Description: Splitting for structure powers, part 1: restriction is an onto function. The only actual monoid law we need here is that the base set is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit1 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵onto𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . 3 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
2 pwssplit1.z . . 3 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
3 pwssplit1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 pwssplit1.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑍)
5 pwssplit1.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
61, 2, 3, 4, 5pwssplit0 19333 . 2 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
7 simp1 1166 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ Mnd)
8 simp2 1167 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
9 simp3 1168 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
108, 9ssexd 4968 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
11 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
122, 11, 4pwselbasb 16417 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎𝐶𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
137, 10, 12syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑎𝐶𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
1413biimpa 468 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊))
15 fvex 6390 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) ∈ V
1615fconst 6275 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶{(0g𝑊)}
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶{(0g𝑊)})
18 simpl1 1242 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑊 ∈ Mnd)
19 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2011, 19mndidcl 17577 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Mnd → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2118, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2221snssd 4496 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → {(0g𝑊)} ⊆ (Base‘𝑊))
2317, 22fssd 6239 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶(Base‘𝑊))
24 disjdif 4202 . . . . . . . 8 (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅
2524a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅)
26 fun 6250 . . . . . . 7 (((𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) ∧ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}):(𝑈𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ (𝑉 ∩ (𝑈𝑉)) = ∅) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
2714, 23, 25, 26syl21anc 866 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
28 simpl3 1246 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑉𝑈)
29 undif 4211 . . . . . . . 8 (𝑉𝑈 ↔ (𝑉 ∪ (𝑈𝑉)) = 𝑈)
3028, 29sylib 209 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑉 ∪ (𝑈𝑉)) = 𝑈)
31 unidm 3920 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
3330, 32feq23d 6220 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3427, 33mpbid 223 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊))
35 simpl2 1244 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑈𝑋)
361, 11, 3pwselbasb 16417 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3718, 35, 36syl2anc 579 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
3834, 37mpbird 248 . . . 4 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵)
395fvtresfn 6475 . . . . . 6 ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉))
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉))
41 resundir 5589 . . . . . . 7 ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = ((𝑎𝑉) ∪ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉))
42 ffn 6225 . . . . . . . . 9 (𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) → 𝑎 Fn 𝑉)
43 fnresdm 6180 . . . . . . . . 9 (𝑎 Fn 𝑉 → (𝑎𝑉) = 𝑎)
4414, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (𝑎𝑉) = 𝑎)
45 incom 3969 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = (𝑉 ∩ (𝑈𝑉))
4645, 24eqtri 2787 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅
47 fnconstg 6277 . . . . . . . . . . 11 ((0g𝑊) ∈ V → ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉))
4815, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉)
49 fnresdisj 6181 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) Fn (𝑈𝑉) → (((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
5048, 49mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (((𝑈𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
5146, 50mpbii 224 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅)
5244, 51uneq12d 3932 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎𝑉) ∪ (((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}) ↾ 𝑉)) = (𝑎 ∪ ∅))
5341, 52syl5eq 2811 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = (𝑎 ∪ ∅))
54 un0 4131 . . . . . 6 (𝑎 ∪ ∅) = 𝑎
5553, 54syl6eq 2815 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ↾ 𝑉) = 𝑎)
5640, 55eqtr2d 2800 . . . 4 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))))
57 fveq2 6377 . . . . 5 (𝑏 = (𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)}))))
5857rspceeqv 3480 . . . 4 (((𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})) ∈ 𝐵𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈𝑉) × {(0g𝑊)})))) → ∃𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
5938, 56, 58syl2anc 579 . . 3 (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎𝐶) → ∃𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
6059ralrimiva 3113 . 2 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ∀𝑎𝐶𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏))
61 dffo3 6566 . 2 (𝐹:𝐵onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐵𝐶 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐵 𝑎 = (𝐹𝑏)))
626, 60, 61sylanbrc 578 1 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3731  cun 3732  cin 3733  wss 3734  c0 4081  {csn 4336  cmpt 4890   × cxp 5277  cres 5281   Fn wfn 6065  wf 6066  ontowfo 6068  cfv 6070  (class class class)co 6844  Basecbs 16133  0gc0g 16369  s cpws 16376  Mndcmnd 17563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-sup 8557  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-fz 12537  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-hom 16241  df-cco 16242  df-0g 16371  df-prds 16377  df-pws 16379  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  38343
  Copyright terms: Public domain W3C validator