Theorem pwssplit1 21054

Description: Splitting for structure powers, part 1: restriction is an onto function. The only actual monoid law we need here is that the base set is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit1	⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
2		pwssplit1.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
3		pwssplit1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		pwssplit1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
5		pwssplit1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
6	1, 2, 3, 4, 5	pwssplit0 21053	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
7		simp1 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Mnd)
8		simp2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
9		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
10	8, 9	ssexd 5265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
11		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12	2, 11, 4	pwselbasb 17451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
13	7, 10, 12	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
14	13	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊))
15		fvex 6853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) ∈ V
16	15	fconst 6726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶{(0g‘𝑊)}
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶{(0g‘𝑊)})
18		simpl1 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ Mnd)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
20	11, 19	mndidcl 18717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
22	21	snssd 4730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → {(0g‘𝑊)} ⊆ (Base‘𝑊))
23	17, 22	fssd 6685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶(Base‘𝑊))
24		disjdif 4412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅)
26		fun 6702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
27	14, 23, 25, 26	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
28		simpl3 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
29		undif 4422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉)) = 𝑈)
30	28, 29	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉)) = 𝑈)
31		unidm 4097	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
33	30, 32	feq23d 6663	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
34	27, 33	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊))
35		simpl2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ 𝑋)
36	1, 11, 3	pwselbasb 17451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
37	18, 35, 36	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
38	34, 37	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵)
39	5	fvtresfn 6950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉))
41		resundir 5959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∪ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉))
42		ffn 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) → 𝑎 Fn 𝑉)
43		fnresdm 6617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 Fn 𝑉 → (𝑎 ↾ 𝑉) = 𝑎)
44	14, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ↾ 𝑉) = 𝑎)
45		disjdifr 4413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅
46		fnconstg 6728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ V → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉))
47	15, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉)
48		fnresdisj 6618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉) → (((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
49	47, 48	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
50	45, 49	mpbii 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅)
51	44, 50	uneq12d 4109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ↾ 𝑉) ∪ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉)) = (𝑎 ∪ ∅))
52	41, 51	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = (𝑎 ∪ ∅))
53		un0 4334	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∪ ∅) = 𝑎
54	52, 53	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = 𝑎)
55	40, 54	eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))))
56		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))))
57	56	rspceeqv 3587	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})))) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
58	38, 55, 57	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
59	58	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
60		dffo3 7054	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏)))
61	6, 59, 60	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629   ↾ cres 5633   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  –onto→wfo 6496  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   ↑_s cpws 17409  Mndcmnd 18702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703

This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  43521