Theorem pwssplit1 21081

Description: Splitting for structure powers, part 1: restriction is an onto function. The only actual monoid law we need here is that the base set is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit1	⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
2		pwssplit1.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
3		pwssplit1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		pwssplit1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
5		pwssplit1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
6	1, 2, 3, 4, 5	pwssplit0 21080	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
7		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Mnd)
8		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
9		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
10	8, 9	ssexd 5342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
11		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12	2, 11, 4	pwselbasb 17548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
13	7, 10, 12	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
14	13	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊))
15		fvex 6933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) ∈ V
16	15	fconst 6807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶{(0g‘𝑊)}
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶{(0g‘𝑊)})
18		simpl1 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ Mnd)
19		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
20	11, 19	mndidcl 18787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
22	21	snssd 4834	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → {(0g‘𝑊)} ⊆ (Base‘𝑊))
23	17, 22	fssd 6764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶(Base‘𝑊))
24		disjdif 4495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅)
26		fun 6783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
27	14, 23, 25, 26	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
28		simpl3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
29		undif 4505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉)) = 𝑈)
30	28, 29	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉)) = 𝑈)
31		unidm 4180	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
33	30, 32	feq23d 6742	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
34	27, 33	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊))
35		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ 𝑋)
36	1, 11, 3	pwselbasb 17548	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
37	18, 35, 36	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
38	34, 37	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵)
39	5	fvtresfn 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉))
41		resundir 6024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∪ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉))
42		ffn 6747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) → 𝑎 Fn 𝑉)
43		fnresdm 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 Fn 𝑉 → (𝑎 ↾ 𝑉) = 𝑎)
44	14, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ↾ 𝑉) = 𝑎)
45		disjdifr 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅
46		fnconstg 6809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ V → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉))
47	15, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉)
48		fnresdisj 6700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉) → (((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
49	47, 48	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
50	45, 49	mpbii 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅)
51	44, 50	uneq12d 4192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ↾ 𝑉) ∪ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉)) = (𝑎 ∪ ∅))
52	41, 51	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = (𝑎 ∪ ∅))
53		un0 4417	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∪ ∅) = 𝑎
54	52, 53	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = 𝑎)
55	40, 54	eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))))
56		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))))
57	56	rspceeqv 3658	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})))) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
58	38, 55, 57	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
59	58	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
60		dffo3 7136	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏)))
61	6, 59, 60	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698   ↾ cres 5702   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  0_gc0g 17499   ↑_s cpws 17506  Mndcmnd 18772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773

This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  43050