Theorem pwssplit1 21334

Description: Splitting for structure powers, part 1: restriction is an onto function. The only actual monoid law we need here is that the base set is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit1	⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
2		pwssplit1.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
3		pwssplit1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		pwssplit1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
5		pwssplit1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
6	1, 2, 3, 4, 5	pwssplit0 21333	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
7		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ Mnd)
8		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
9		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
10	8, 9	ssexd 5286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
11		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12	2, 11, 4	pwselbasb 17659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
13	7, 10, 12	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊)))
14	13	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊))
15		fvex 6898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑊) ∈ V
16	15	fconst 6768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶{(0g‘𝑊)}
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶{(0g‘𝑊)})
18		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑊 ∈ Mnd)
19		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
20	11, 19	mndidcl 18939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Mnd → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
21	18, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
22	21	snssd 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → {(0g‘𝑊)} ⊆ (Base‘𝑊))
23	17, 22	fssd 6727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶(Base‘𝑊))
24		disjdif 4426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅)
26		fun 6744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) ∧ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}):(𝑈 ∖ 𝑉)⟶(Base‘𝑊)) ∧ (𝑉 ∩ (𝑈 ∖ 𝑉)) = ∅) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
27	14, 23, 25, 26	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)))
28		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
29		undif 4438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉)) = 𝑈)
30	28, 29	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉)) = 𝑈)
31		unidm 4104	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
33	30, 32	feq23d 6704	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):(𝑉 ∪ (𝑈 ∖ 𝑉))⟶((Base‘𝑊) ∪ (Base‘𝑊)) ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
34	27, 33	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊))
35		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ 𝑋)
36	1, 11, 3	pwselbasb 17659	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
37	18, 35, 36	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})):𝑈⟶(Base‘𝑊)))
38	34, 37	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵)
39	5	fvtresfn 6996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉))
40	38, 39	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))) = ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉))
41		resundir 5985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = ((𝑎 ↾ 𝑉) ∪ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉))
42		ffn 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎:𝑉⟶(Base‘𝑊) → 𝑎 Fn 𝑉)
43		fnresdm 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 Fn 𝑉 → (𝑎 ↾ 𝑉) = 𝑎)
44	14, 42, 43	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝑎 ↾ 𝑉) = 𝑎)
45		disjdifr 4427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅
46		fnconstg 6770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ V → ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉))
47	15, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉)
48		fnresdisj 6659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) Fn (𝑈 ∖ 𝑉) → (((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
49	47, 48	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (((𝑈 ∖ 𝑉) ∩ 𝑉) = ∅ ↔ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅))
50	45, 49	mpbii 236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉) = ∅)
51	44, 50	uneq12d 4116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ↾ 𝑉) ∪ (((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}) ↾ 𝑉)) = (𝑎 ∪ ∅))
52	41, 51	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = (𝑎 ∪ ∅))
53		un0 4344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∪ ∅) = 𝑎
54	52, 53	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ↾ 𝑉) = 𝑎)
55	40, 54	eqtr2d 2797	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))))
56		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)}))))
57	56	rspceeqv 3599	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})) ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐹‘(𝑎 ∪ ((𝑈 ∖ 𝑉) × {(0g‘𝑊)})))) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
58	38, 55, 57	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
59	58	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏))
60		dffo3 7102	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–onto→𝐶 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 = (𝐹‘𝑏)))
61	6, 59, 60	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   ↾ cres 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  0_gc0g 17610   ↑_s cpws 17617  Mndcmnd 18923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924

This theorem is used by:  pwslnmlem2  44094