Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixfo 18567
 Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
Assertion
Ref Expression
symgfixfo ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄onto𝑆)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfo
Dummy variables 𝑝 𝑖 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 symgfixf.q . . . 4 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
3 symgfixf.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
4 symgfixf.h . . . 4 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
51, 2, 3, 4symgfixf 18564 . . 3 (𝐾𝑁𝐻:𝑄𝑆)
65adantl 485 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄𝑆)
7 eqeq1 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐾))
8 fveq2 6661 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑠𝑖) = (𝑠𝑗))
97, 8ifbieq2d 4475 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)) = if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑗)))
109cbvmptv 5155 . . . . . . . 8 (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) = (𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑗)))
111, 2, 3, 4, 10symgfixfolem1 18566 . . . . . . 7 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑠𝑆) → (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∈ 𝑄)
12113expa 1115 . . . . . 6 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∈ 𝑄)
13 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
1413anim1i 617 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (𝐾𝑁𝑠𝑆))
1514adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → (𝐾𝑁𝑠𝑆))
16 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)))
173, 16symgextres 18553 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁𝑠𝑆) → ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
1918eqcomd 2830 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
20 reseq1 5834 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2120eqeq2d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2221adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2319, 22mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2423ex 416 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2524adantl 485 . . . . . 6 ((((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)))) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2612, 25rspcimedv 3600 . . . . 5 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2726pm2.43i 52 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
284fvtresfn 6761 . . . . . . 7 (𝑝𝑄 → (𝐻𝑝) = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2928eqeq2d 2835 . . . . . 6 (𝑝𝑄 → (𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3029adantl 485 . . . . 5 ((((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑝𝑄) → (𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3130rexbidva 3288 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3227, 31mpbird 260 . . 3 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝))
3332ralrimiva 3177 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → ∀𝑠𝑆𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝))
34 dffo3 6859 . 2 (𝐻:𝑄onto𝑆 ↔ (𝐻:𝑄𝑆 ∧ ∀𝑠𝑆𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝)))
356, 33, 34sylanbrc 586 1 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄onto𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  {crab 3137   ∖ cdif 3916  ifcif 4450  {csn 4550   ↦ cmpt 5132   ↾ cres 5544  ⟶wf 6339  –onto→wfo 6341  ‘cfv 6343  Basecbs 16483  SymGrpcsymg 18495 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-tset 16584  df-efmnd 18034  df-symg 18496 This theorem is referenced by:  symgfixf1o  18568
 Copyright terms: Public domain W3C validator