Theorem symgfixfo 19221

Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h	⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))

Assertion

Ref	Expression
symgfixfo	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄–onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfo

Dummy variables 𝑝 𝑖 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		symgfixf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
3		symgfixf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
4		symgfixf.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
5	1, 2, 3, 4	symgfixf 19218	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝐻:𝑄⟶𝑆)
6	5	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄⟶𝑆)
7		eqeq1 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑗 = 𝐾))
8		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑠‘𝑖) = (𝑠‘𝑗))
9	7, 8	ifbieq2d 4512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)) = if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑗)))
10	9	cbvmptv 5218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑗)))
11	1, 2, 3, 4, 10	symgfixfolem1 19220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∈ 𝑄)
12	11	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∈ 𝑄)
13		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
14	13	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)))
17	3, 16	symgextres 19207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
19	18	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
20		reseq1 5931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
21	20	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
22	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
23	19, 22	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
24	23	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
25	24	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)))) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
26	12, 25	rspcimedv 3572	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
27	26	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
28	4	fvtresfn 6950	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑄 → (𝐻‘𝑝) = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
29	28	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑄 → (𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
30	29	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ 𝑄) → (𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
31	30	rexbidva 3173	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
32	27, 31	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝))
33	32	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝))
34		dffo3 7052	. 2 ⊢ (𝐻:𝑄–onto→𝑆 ↔ (𝐻:𝑄⟶𝑆 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝)))
35	6, 33, 34	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄–onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407   ∖ cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5635  ⟶wf 6492  –onto→wfo 6494  ‘cfv 6496  Basecbs 17083  SymGrpcsymg 19148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-tset 17152  df-efmnd 18679  df-symg 19149

This theorem is referenced by:  symgfixf1o  19222