Theorem symgfixfo 19376

Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h	⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))

Assertion

Ref	Expression
symgfixfo	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄–onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfo

Dummy variables 𝑝 𝑖 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		symgfixf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
3		symgfixf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
4		symgfixf.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
5	1, 2, 3, 4	symgfixf 19373	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝐻:𝑄⟶𝑆)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄⟶𝑆)
7		eqeq1 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑗 = 𝐾))
8		fveq2 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑠‘𝑖) = (𝑠‘𝑗))
9	7, 8	ifbieq2d 4518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)) = if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑗)))
10	9	cbvmptv 5214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑗)))
11	1, 2, 3, 4, 10	symgfixfolem1 19375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∈ 𝑄)
12	11	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∈ 𝑄)
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
14	13	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
16		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)))
17	3, 16	symgextres 19362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
19	18	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
20		reseq1 5947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
21	20	eqeq2d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
23	19, 22	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
24	23	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)))) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
26	12, 25	rspcimedv 3582	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
27	26	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
28	4	fvtresfn 6973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑄 → (𝐻‘𝑝) = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
29	28	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑄 → (𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ 𝑄) → (𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
31	30	rexbidva 3156	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
32	27, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝))
33	32	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝))
34		dffo3 7077	. 2 ⊢ (𝐻:𝑄–onto→𝑆 ↔ (𝐻:𝑄⟶𝑆 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝)))
35	6, 33, 34	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄–onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ∖ cdif 3914  ifcif 4491  {csn 4592   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  –onto→wfo 6512  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  SymGrpcsymg 19306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-efmnd 18803  df-symg 19307

This theorem is referenced by:  symgfixf1o  19377