Theorem symgfixfo 19405

Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h	⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))

Assertion

Ref	Expression
symgfixfo	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄–onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfo

Dummy variables 𝑝 𝑖 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		symgfixf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
3		symgfixf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
4		symgfixf.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
5	1, 2, 3, 4	symgfixf 19402	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝐻:𝑄⟶𝑆)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄⟶𝑆)
7		eqeq1 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑗 = 𝐾))
8		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑠‘𝑖) = (𝑠‘𝑗))
9	7, 8	ifbieq2d 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)) = if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑗)))
10	9	cbvmptv 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑗)))
11	1, 2, 3, 4, 10	symgfixfolem1 19404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∈ 𝑄)
12	11	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∈ 𝑄)
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
14	13	anim1i 616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)))
17	3, 16	symgextres 19391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
19	18	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
20		reseq1 5932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
21	20	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
23	19, 22	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
24	23	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)))) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
26	12, 25	rspcimedv 3556	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
27	26	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
28	4	fvtresfn 6944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑄 → (𝐻‘𝑝) = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
29	28	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑄 → (𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ 𝑄) → (𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
31	30	rexbidva 3160	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
32	27, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝))
33	32	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝))
34		dffo3 7048	. 2 ⊢ (𝐻:𝑄–onto→𝑆 ↔ (𝐻:𝑄⟶𝑆 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝)))
35	6, 33, 34	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄–onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∖ cdif 3887  ifcif 4467  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  SymGrpcsymg 19335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-efmnd 18828  df-symg 19336

This theorem is referenced by:  symgfixf1o  19406