MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgfixfo 19388
Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
Assertion
Ref Expression
symgfixfo ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄onto𝑆)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfo
Dummy variables 𝑝 𝑖 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 symgfixf.q . . . 4 𝑄 = {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐾}
3 symgfixf.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
4 symgfixf.h . . . 4 𝐻 = (𝑞𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
51, 2, 3, 4symgfixf 19385 . . 3 (𝐾𝑁𝐻:𝑄𝑆)
65adantl 481 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄𝑆)
7 eqeq1 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 = 𝐾𝑗 = 𝐾))
8 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑠𝑖) = (𝑠𝑗))
97, 8ifbieq2d 4551 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)) = if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑗)))
109cbvmptv 5256 . . . . . . . 8 (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) = (𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑗)))
111, 2, 3, 4, 10symgfixfolem1 19387 . . . . . . 7 ((𝑁𝑉𝐾𝑁𝑠𝑆) → (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∈ 𝑄)
12113expa 1116 . . . . . 6 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∈ 𝑄)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
1413anim1i 614 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (𝐾𝑁𝑠𝑆))
1514adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → (𝐾𝑁𝑠𝑆))
16 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)))
173, 16symgextres 19374 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝑁𝑠𝑆) → ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
1918eqcomd 2734 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
20 reseq1 5974 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2120eqeq2d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2319, 22mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) ∧ ((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆)) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2423ex 412 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖))) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2524adantl 481 . . . . . 6 ((((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑝 = (𝑖𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠𝑖)))) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2612, 25rspcimedv 3599 . . . . 5 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
2726pm2.43i 52 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
284fvtresfn 7002 . . . . . . 7 (𝑝𝑄 → (𝐻𝑝) = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
2928eqeq2d 2739 . . . . . 6 (𝑝𝑄 → (𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3029adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑝𝑄) → (𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3130rexbidva 3172 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → (∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝) ↔ ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
3227, 31mpbird 257 . . 3 (((𝑁𝑉𝐾𝑁) ∧ 𝑠𝑆) → ∃𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝))
3332ralrimiva 3142 . 2 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → ∀𝑠𝑆𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝))
34 dffo3 7107 . 2 (𝐻:𝑄onto𝑆 ↔ (𝐻:𝑄𝑆 ∧ ∀𝑠𝑆𝑝𝑄 𝑠 = (𝐻𝑝)))
356, 33, 34sylanbrc 582 1 ((𝑁𝑉𝐾𝑁) → 𝐻:𝑄onto𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  {crab 3428  cdif 3942  ifcif 4525  {csn 4625  cmpt 5226  cres 5675  wf 6539  ontowfo 6541  cfv 6543  Basecbs 17174  SymGrpcsymg 19315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-efmnd 18815  df-symg 19316
This theorem is referenced by:  symgfixf1o  19389
  Copyright terms: Public domain W3C validator