Theorem symgfixfo 19349

Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgfixf.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
symgfixf.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
symgfixf.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgfixf.h	⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))

Assertion

Ref	Expression
symgfixfo	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄–onto→𝑆)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑁,𝑞   𝑄,𝑞   𝑆,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑞)   𝑉(𝑞)

Proof of Theorem symgfixfo

Dummy variables 𝑝 𝑖 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgfixf.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		symgfixf.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
3		symgfixf.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
4		symgfixf.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑞 ∈ 𝑄 ↦ (𝑞 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
5	1, 2, 3, 4	symgfixf 19346	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝐻:𝑄⟶𝑆)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄⟶𝑆)
7		eqeq1 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 = 𝐾 ↔ 𝑗 = 𝐾))
8		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑠‘𝑖) = (𝑠‘𝑗))
9	7, 8	ifbieq2d 4502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)) = if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑗)))
10	9	cbvmptv 5195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) = (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑗)))
11	1, 2, 3, 4, 10	symgfixfolem1 19348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∈ 𝑄)
12	11	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∈ 𝑄)
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
14	13	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
16		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)))
17	3, 16	symgextres 19335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑠)
19	18	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
20		reseq1 5922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
21	20	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
22	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → (𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ↔ 𝑠 = ((𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
23	19, 22	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
24	23	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖))) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, 𝐾, (𝑠‘𝑖)))) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
26	12, 25	rspcimedv 3568	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
27	26	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
28	4	fvtresfn 6931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑄 → (𝐻‘𝑝) = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))
29	28	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑄 → (𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑝 ∈ 𝑄) → (𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
31	30	rexbidva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝑝 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))))
32	27, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝))
33	32	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝))
34		dffo3 7035	. 2 ⊢ (𝐻:𝑄–onto→𝑆 ↔ (𝐻:𝑄⟶𝑆 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑝 ∈ 𝑄 𝑠 = (𝐻‘𝑝)))
35	6, 33, 34	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝐻:𝑄–onto→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ∖ cdif 3899  ifcif 4475  {csn 4576   ↦ cmpt 5172   ↾ cres 5618  ⟶wf 6477  –onto→wfo 6479  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  SymGrpcsymg 19279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-tset 17177  df-efmnd 18774  df-symg 19280

This theorem is referenced by:  symgfixf1o  19350