MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssplit3 20520
Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
pwssplit1.z 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
2 eqid 2736 . 2 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
3 eqid 2736 . 2 ( ·𝑠𝑍) = ( ·𝑠𝑍)
4 eqid 2736 . 2 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
5 eqid 2736 . 2 (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
6 eqid 2736 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
7 simp1 1136 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8 simp2 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑈𝑋)
9 pwssplit1.y . . . 4 𝑌 = (𝑊s 𝑈)
109pwslmod 20429 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋) → 𝑌 ∈ LMod)
117, 8, 10syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑌 ∈ LMod)
12 simp3 1138 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉𝑈)
138, 12ssexd 5281 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑉 ∈ V)
14 pwssplit1.z . . . 4 𝑍 = (𝑊s 𝑉)
1514pwslmod 20429 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
167, 13, 15syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝑍 ∈ LMod)
17 eqid 2736 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
1814, 17pwssca 17377 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
197, 13, 18syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
209, 17pwssca 17377 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
217, 8, 20syl2anc 584 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
2219, 21eqtr3d 2778 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑌))
23 lmodgrp 20327 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
24 pwssplit1.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑍)
25 pwssplit1.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝑉))
269, 14, 1, 24, 25pwssplit2 20519 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
2723, 26syl3an1 1163 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
28 snex 5388 . . . . . . . 8 {𝑎} ∈ V
29 xpexg 7683 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑋 ∧ {𝑎} ∈ V) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
308, 28, 29sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
31 vex 3449 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
32 offres 7915 . . . . . . 7 (((𝑈 × {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
3330, 31, 32sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
3433adantr 481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
35 xpssres 5974 . . . . . . . 8 (𝑉𝑈 → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
36353ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
3736adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
3837oveq1d 7371 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
3934, 38eqtrd 2776 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
40 eqid 2736 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
41 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
43 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑈𝑋)
4421fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
4544eleq2d 2823 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))))
4645biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4746adantrr 715 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
499, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48pwsvscafval 17375 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) = ((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)𝑏))
5049reseq1d 5936 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
5125fvtresfn 6950 . . . . . 6 (𝑏𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
5251ad2antll 727 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) = (𝑏𝑉))
5352oveq2d 7372 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)(𝑏𝑉)))
5439, 50, 533eqtr4d 2786 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑏)))
551, 4, 2, 6lmodvscl 20337 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
56553expb 1120 . . . . 5 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
5711, 56sylan 580 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
5825fvtresfn 6950 . . . 4 ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
5957, 58syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
6013adantr 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
619, 14, 1, 24, 25pwssplit0 20517 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹:𝐵𝐶)
6261ffvelcdmda 7034 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ 𝑏𝐵) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
6362adantrl 714 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐶)
6414, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63pwsvscafval 17375 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑎( ·𝑠𝑍)(𝐹𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠𝑊)(𝐹𝑏)))
6554, 59, 643eqtr4d 2786 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠𝑌)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠𝑍)(𝐹𝑏)))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65islmhmd 20498 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑋𝑉𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7356  f cof 7614  Basecbs 17082  Scalarcsca 17135   ·𝑠 cvsca 17136  s cpws 17327  Grpcgrp 18747   GrpHom cghm 19003  LModclmod 20320   LMHom clmhm 20478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9377  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-hom 17156  df-cco 17157  df-0g 17322  df-prds 17328  df-pws 17330  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-ghm 19004  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-lmod 20322  df-lmhm 20481
This theorem is referenced by:  frlmsplit2  21177  pwssplit4  41393  pwslnmlem2  41397
  Copyright terms: Public domain W3C validator