Theorem pwssplit3 21051

Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit3	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
5		eqid 2737	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
6		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
7		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
9		pwssplit1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
10	9	pwslmod 20959	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ LMod)
11	7, 8, 10	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑌 ∈ LMod)
12		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
13	8, 12	ssexd 5262	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
14		pwssplit1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
15	14	pwslmod 20959	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
16	7, 13, 15	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑍 ∈ LMod)
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
18	14, 17	pwssca 17454	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
19	7, 13, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
20	9, 17	pwssca 17454	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
21	7, 8, 20	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
22	19, 21	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑌))
23		lmodgrp 20856	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
24		pwssplit1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
25		pwssplit1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
26	9, 14, 1, 24, 25	pwssplit2 21050	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
27	23, 26	syl3an1 1164	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
28		snex 5377	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎} ∈ V
29		xpexg 7698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ {𝑎} ∈ V) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
30	8, 28, 29	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
31		vex 3434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
32		offres 7930	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 × {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
33	30, 31, 32	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
35		xpssres 5978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
36	35	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
38	37	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
39	34, 38	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
40		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
43		simpl2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝑋)
44	21	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
45	44	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))))
46	45	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
47	46	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
49	9, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48	pwsvscafval 17452	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) = ((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏))
50	49	reseq1d 5938	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
51	25	fvtresfn 6945	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
52	51	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
53	52	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
54	39, 50, 53	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
55	1, 4, 2, 6	lmodvscl 20867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
56	55	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
57	11, 56	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
58	25	fvtresfn 6945	. . . 4 ⊢ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
59	57, 58	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
60	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
61	9, 14, 1, 24, 25	pwssplit0 21048	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
62	61	ffvelcdmda 7031	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
63	62	adantrl 717	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
64	14, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63	pwsvscafval 17452	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑍)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
65	54, 59, 64	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑍)(𝐹‘𝑏)))
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65	islmhmd 21029	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623  Basecbs 17173  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218   ↑_s cpws 17403  Grpcgrp 18903   GrpHom cghm 19181  LModclmod 20849   LMHom clmhm 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-ghm 19182  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20851  df-lmhm 21012

This theorem is referenced by:  frlmsplit2  21766  pwssplit4  43538  pwslnmlem2  43542