Theorem pwssplit3 19523

Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit3	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
2		eqid 2795	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		eqid 2795	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
4		eqid 2795	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
5		eqid 2795	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
6		eqid 2795	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
7		simp1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simp2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
9		pwssplit1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
10	9	pwslmod 19432	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ LMod)
11	7, 8, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑌 ∈ LMod)
12		simp3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
13	8, 12	ssexd 5119	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
14		pwssplit1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
15	14	pwslmod 19432	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
16	7, 13, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑍 ∈ LMod)
17		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
18	14, 17	pwssca 16598	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
19	7, 13, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
20	9, 17	pwssca 16598	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
21	7, 8, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
22	19, 21	eqtr3d 2833	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑌))
23		lmodgrp 19331	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
24		pwssplit1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
25		pwssplit1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
26	9, 14, 1, 24, 25	pwssplit2 19522	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
27	23, 26	syl3an1 1156	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
28		snex 5223	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎} ∈ V
29		xpexg 7330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ {𝑎} ∈ V) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
30	8, 28, 29	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
31		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
32		offres 7540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 × {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
33	30, 31, 32	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
34	33	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
35		xpssres 5770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
36	35	3ad2ant3 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
37	36	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
38	37	oveq1d 7031	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
39	34, 38	eqtrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
40		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42		simpl1 1184	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
43		simpl2 1185	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝑋)
44	21	fveq2d 6542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
45	44	eleq2d 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))))
46	45	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
47	46	adantrr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
49	9, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48	pwsvscafval 16596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) = ((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏))
50	49	reseq1d 5733	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
51	25	fvtresfn 6637	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
52	51	ad2antll 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
53	52	oveq2d 7032	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
54	39, 50, 53	3eqtr4d 2841	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
55	1, 4, 2, 6	lmodvscl 19341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
56	55	3expb 1113	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
57	11, 56	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
58	25	fvtresfn 6637	. . . 4 ⊢ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
59	57, 58	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
60	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
61	9, 14, 1, 24, 25	pwssplit0 19520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
62	61	ffvelrnda 6716	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
63	62	adantrl 712	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
64	14, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63	pwsvscafval 16596	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑍)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
65	54, 59, 64	3eqtr4d 2841	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑍)(𝐹‘𝑏)))
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65	islmhmd 19501	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ⊆ wss 3859  {csn 4472   ↦ cmpt 5041   × cxp 5441   ↾ cres 5445  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ∘_𝑓 cof 7265  Basecbs 16312  Scalarcsca 16397   ·_𝑠 cvsca 16398   ↑_s cpws 16549  Grpcgrp 17861   GrpHom cghm 18096  LModclmod 19324   LMHom clmhm 19481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-prds 16550  df-pws 16552  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-ghm 18097  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-lmod 19326  df-lmhm 19484

This theorem is referenced by:  frlmsplit2  20599  pwssplit4  39193  pwslnmlem2  39197