MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwssplit3 20677
Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y π‘Œ = (π‘Š ↑s π‘ˆ)
pwssplit1.z 𝑍 = (π‘Š ↑s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwssplit1.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
pwssplit1.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,π‘Š   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑍   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem pwssplit3
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
2 eqid 2732 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
3 eqid 2732 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘) = ( ·𝑠 β€˜π‘)
4 eqid 2732 . 2 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2732 . 2 (Scalarβ€˜π‘) = (Scalarβ€˜π‘)
6 eqid 2732 . 2 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
7 simp1 1136 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 simp2 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
9 pwssplit1.y . . . 4 π‘Œ = (π‘Š ↑s π‘ˆ)
109pwslmod 20586 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
117, 8, 10syl2anc 584 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
12 simp3 1138 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
138, 12ssexd 5324 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 ∈ V)
14 pwssplit1.z . . . 4 𝑍 = (π‘Š ↑s 𝑉)
1514pwslmod 20586 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝑍 ∈ LMod)
167, 13, 15syl2anc 584 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑍 ∈ LMod)
17 eqid 2732 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
1814, 17pwssca 17444 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘))
197, 13, 18syl2anc 584 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘))
209, 17pwssca 17444 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Œ))
217, 8, 20syl2anc 584 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Œ))
2219, 21eqtr3d 2774 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (Scalarβ€˜π‘) = (Scalarβ€˜π‘Œ))
23 lmodgrp 20482 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
24 pwssplit1.c . . . 4 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
25 pwssplit1.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
269, 14, 1, 24, 25pwssplit2 20676 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ GrpHom 𝑍))
2723, 26syl3an1 1163 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ GrpHom 𝑍))
28 snex 5431 . . . . . . . 8 {π‘Ž} ∈ V
29 xpexg 7739 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ {π‘Ž} ∈ V) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∈ V)
308, 28, 29sylancl 586 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∈ V)
31 vex 3478 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
32 offres 7972 . . . . . . 7 (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) β†’ (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) β†Ύ 𝑉) = (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
3330, 31, 32sylancl 586 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) β†Ύ 𝑉) = (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
3433adantr 481 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) β†Ύ 𝑉) = (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
35 xpssres 6018 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† π‘ˆ β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) = (𝑉 Γ— {π‘Ž}))
36353ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) = (𝑉 Γ— {π‘Ž}))
3736adantr 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) = (𝑉 Γ— {π‘Ž}))
3837oveq1d 7426 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)) = ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
3934, 38eqtrd 2772 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) β†Ύ 𝑉) = ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
40 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
41 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
42 simpl1 1191 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
43 simpl2 1192 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
4421fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
4544eleq2d 2819 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))))
4645biimpar 478 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4746adantrr 715 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
48 simprr 771 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
499, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48pwsvscafval 17442 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) = ((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏))
5049reseq1d 5980 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) β†Ύ 𝑉) = (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) β†Ύ 𝑉))
5125fvtresfn 7000 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝑏 β†Ύ 𝑉))
5251ad2antll 727 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝑏 β†Ύ 𝑉))
5352oveq2d 7427 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘)) = ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
5439, 50, 533eqtr4d 2782 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) β†Ύ 𝑉) = ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘)))
551, 4, 2, 6lmodvscl 20493 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) ∈ 𝐡)
56553expb 1120 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) ∈ 𝐡)
5711, 56sylan 580 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) ∈ 𝐡)
5825fvtresfn 7000 . . . 4 ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏)) = ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) β†Ύ 𝑉))
5957, 58syl 17 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏)) = ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) β†Ύ 𝑉))
6013adantr 481 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ V)
619, 14, 1, 24, 25pwssplit0 20674 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
6261ffvelcdmda 7086 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐢)
6362adantrl 714 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐢)
6414, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63pwsvscafval 17442 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘)) = ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘)))
6554, 59, 643eqtr4d 2782 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘)))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65islmhmd 20655 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ LMHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203   ↑s cpws 17394  Grpcgrp 18821   GrpHom cghm 19091  LModclmod 20475   LMHom clmhm 20635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-ghm 19092  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-lmod 20477  df-lmhm 20638
This theorem is referenced by:  frlmsplit2  21334  pwssplit4  41913  pwslnmlem2  41917
  Copyright terms: Public domain W3C validator