Theorem pwssplit3 20238

Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit3	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
4		eqid 2738	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
5		eqid 2738	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
6		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
7		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
9		pwssplit1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
10	9	pwslmod 20147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ LMod)
11	7, 8, 10	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑌 ∈ LMod)
12		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
13	8, 12	ssexd 5243	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
14		pwssplit1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
15	14	pwslmod 20147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
16	7, 13, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑍 ∈ LMod)
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
18	14, 17	pwssca 17124	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
19	7, 13, 18	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
20	9, 17	pwssca 17124	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
21	7, 8, 20	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
22	19, 21	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑌))
23		lmodgrp 20045	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
24		pwssplit1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
25		pwssplit1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
26	9, 14, 1, 24, 25	pwssplit2 20237	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
27	23, 26	syl3an1 1161	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
28		snex 5349	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎} ∈ V
29		xpexg 7578	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ {𝑎} ∈ V) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
30	8, 28, 29	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
31		vex 3426	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
32		offres 7799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 × {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
33	30, 31, 32	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
35		xpssres 5917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
36	35	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
38	37	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
39	34, 38	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
40		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
43		simpl2 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝑋)
44	21	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
45	44	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))))
46	45	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
47	46	adantrr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
49	9, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48	pwsvscafval 17122	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) = ((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏))
50	49	reseq1d 5879	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
51	25	fvtresfn 6859	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
52	51	ad2antll 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
53	52	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
54	39, 50, 53	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
55	1, 4, 2, 6	lmodvscl 20055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
56	55	3expb 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
57	11, 56	sylan 579	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
58	25	fvtresfn 6859	. . . 4 ⊢ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
59	57, 58	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
60	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
61	9, 14, 1, 24, 25	pwssplit0 20235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
62	61	ffvelrnda 6943	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
63	62	adantrl 712	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
64	14, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63	pwsvscafval 17122	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑍)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
65	54, 59, 64	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑍)(𝐹‘𝑏)))
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65	islmhmd 20216	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892   ↑_s cpws 17074  Grpcgrp 18492   GrpHom cghm 18746  LModclmod 20038   LMHom clmhm 20196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-ghm 18747  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lmhm 20199

This theorem is referenced by:  frlmsplit2  20890  pwssplit4  40830  pwslnmlem2  40834