Theorem pwssplit3 21083

Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit3	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
2		eqid 2740	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		eqid 2740	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
4		eqid 2740	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
5		eqid 2740	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
6		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
7		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
9		pwssplit1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
10	9	pwslmod 20991	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ LMod)
11	7, 8, 10	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑌 ∈ LMod)
12		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
13	8, 12	ssexd 5342	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
14		pwssplit1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
15	14	pwslmod 20991	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
16	7, 13, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑍 ∈ LMod)
17		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
18	14, 17	pwssca 17556	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
19	7, 13, 18	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
20	9, 17	pwssca 17556	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
21	7, 8, 20	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
22	19, 21	eqtr3d 2782	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑌))
23		lmodgrp 20887	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
24		pwssplit1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
25		pwssplit1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
26	9, 14, 1, 24, 25	pwssplit2 21082	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
27	23, 26	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
28		snex 5451	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎} ∈ V
29		xpexg 7785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ {𝑎} ∈ V) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
30	8, 28, 29	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
31		vex 3492	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
32		offres 8024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 × {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
33	30, 31, 32	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
35		xpssres 6047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
36	35	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
38	37	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
39	34, 38	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
40		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
43		simpl2 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝑋)
44	21	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
45	44	eleq2d 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))))
46	45	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
47	46	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
49	9, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48	pwsvscafval 17554	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) = ((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏))
50	49	reseq1d 6008	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
51	25	fvtresfn 7031	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
52	51	ad2antll 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
53	52	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
54	39, 50, 53	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
55	1, 4, 2, 6	lmodvscl 20898	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
56	55	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
57	11, 56	sylan 579	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
58	25	fvtresfn 7031	. . . 4 ⊢ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
59	57, 58	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
60	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
61	9, 14, 1, 24, 25	pwssplit0 21080	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
62	61	ffvelcdmda 7118	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
63	62	adantrl 715	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
64	14, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63	pwsvscafval 17554	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑍)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
65	54, 59, 64	3eqtr4d 2790	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑍)(𝐹‘𝑏)))
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65	islmhmd 21061	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315   ↑_s cpws 17506  Grpcgrp 18973   GrpHom cghm 19252  LModclmod 20880   LMHom clmhm 21041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-ghm 19253  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lmhm 21044

This theorem is referenced by:  frlmsplit2  21816  pwssplit4  43046  pwslnmlem2  43050