MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwssplit3 20672
Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y π‘Œ = (π‘Š ↑s π‘ˆ)
pwssplit1.z 𝑍 = (π‘Š ↑s 𝑉)
pwssplit1.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwssplit1.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
pwssplit1.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
Assertion
Ref Expression
pwssplit3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ LMHom 𝑍))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,π‘Š   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑍   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem pwssplit3
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
2 eqid 2733 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
3 eqid 2733 . 2 ( ·𝑠 β€˜π‘) = ( ·𝑠 β€˜π‘)
4 eqid 2733 . 2 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2733 . 2 (Scalarβ€˜π‘) = (Scalarβ€˜π‘)
6 eqid 2733 . 2 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
7 simp1 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 simp2 1138 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
9 pwssplit1.y . . . 4 π‘Œ = (π‘Š ↑s π‘ˆ)
109pwslmod 20581 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
117, 8, 10syl2anc 585 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
12 simp3 1139 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
138, 12ssexd 5325 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑉 ∈ V)
14 pwssplit1.z . . . 4 𝑍 = (π‘Š ↑s 𝑉)
1514pwslmod 20581 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ 𝑍 ∈ LMod)
167, 13, 15syl2anc 585 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑍 ∈ LMod)
17 eqid 2733 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
1814, 17pwssca 17442 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘))
197, 13, 18syl2anc 585 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘))
209, 17pwssca 17442 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Œ))
217, 8, 20syl2anc 585 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Œ))
2219, 21eqtr3d 2775 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (Scalarβ€˜π‘) = (Scalarβ€˜π‘Œ))
23 lmodgrp 20478 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
24 pwssplit1.c . . . 4 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
25 pwssplit1.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝑉))
269, 14, 1, 24, 25pwssplit2 20671 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ GrpHom 𝑍))
2723, 26syl3an1 1164 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ GrpHom 𝑍))
28 snex 5432 . . . . . . . 8 {π‘Ž} ∈ V
29 xpexg 7737 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ {π‘Ž} ∈ V) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∈ V)
308, 28, 29sylancl 587 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∈ V)
31 vex 3479 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
32 offres 7970 . . . . . . 7 (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) β†’ (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) β†Ύ 𝑉) = (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
3330, 31, 32sylancl 587 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) β†Ύ 𝑉) = (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
3433adantr 482 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) β†Ύ 𝑉) = (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
35 xpssres 6019 . . . . . . . 8 (𝑉 βŠ† π‘ˆ β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) = (𝑉 Γ— {π‘Ž}))
36353ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) = (𝑉 Γ— {π‘Ž}))
3736adantr 482 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) = (𝑉 Γ— {π‘Ž}))
3837oveq1d 7424 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) β†Ύ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)) = ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
3934, 38eqtrd 2773 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) β†Ύ 𝑉) = ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
40 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
41 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
42 simpl1 1192 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
43 simpl2 1193 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑋)
4421fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
4544eleq2d 2820 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ↔ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))))
4645biimpar 479 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
4746adantrr 716 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
48 simprr 772 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
499, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48pwsvscafval 17440 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) = ((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏))
5049reseq1d 5981 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) β†Ύ 𝑉) = (((π‘ˆ Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) β†Ύ 𝑉))
5125fvtresfn 7001 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝑏 β†Ύ 𝑉))
5251ad2antll 728 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (𝑏 β†Ύ 𝑉))
5352oveq2d 7425 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘)) = ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(𝑏 β†Ύ 𝑉)))
5439, 50, 533eqtr4d 2783 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) β†Ύ 𝑉) = ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘)))
551, 4, 2, 6lmodvscl 20489 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) ∈ 𝐡)
56553expb 1121 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) ∈ 𝐡)
5711, 56sylan 581 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) ∈ 𝐡)
5825fvtresfn 7001 . . . 4 ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) ∈ 𝐡 β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏)) = ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) β†Ύ 𝑉))
5957, 58syl 17 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏)) = ((π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏) β†Ύ 𝑉))
6013adantr 482 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑉 ∈ V)
619, 14, 1, 24, 25pwssplit0 20669 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹:𝐡⟢𝐢)
6261ffvelcdmda 7087 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐢)
6362adantrl 715 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐢)
6414, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63pwsvscafval 17440 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘)) = ((𝑉 Γ— {π‘Ž}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘Š)(πΉβ€˜π‘)))
6554, 59, 643eqtr4d 2783 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Œ)𝑏)) = (π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘)(πΉβ€˜π‘)))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65islmhmd 20650 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (π‘Œ LMHom 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201   ↑s cpws 17392  Grpcgrp 18819   GrpHom cghm 19089  LModclmod 20471   LMHom clmhm 20630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lmhm 20633
This theorem is referenced by:  frlmsplit2  21328  pwssplit4  41831  pwslnmlem2  41835
  Copyright terms: Public domain W3C validator