Theorem pwssplit3 20990

Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit1.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
pwssplit1.z	⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
pwssplit1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwssplit1.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwssplit1.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
pwssplit3	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝑥,𝑉   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pwssplit3

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
2		eqid 2731	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		eqid 2731	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑍) = ( ·𝑠 ‘𝑍)
4		eqid 2731	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
5		eqid 2731	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑍)
6		eqid 2731	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
7		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑋)
9		pwssplit1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s 𝑈)
10	9	pwslmod 20898	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ LMod)
11	7, 8, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑌 ∈ LMod)
12		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
13	8, 12	ssexd 5257	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ∈ V)
14		pwssplit1.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (𝑊 ↑s 𝑉)
15	14	pwslmod 20898	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝑍 ∈ LMod)
16	7, 13, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑍 ∈ LMod)
17		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
18	14, 17	pwssca 17395	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
19	7, 13, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑍))
20	9, 17	pwssca 17395	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
21	7, 8, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑌))
22	19, 21	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Scalar‘𝑍) = (Scalar‘𝑌))
23		lmodgrp 20795	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
24		pwssplit1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
25		pwssplit1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ↾ 𝑉))
26	9, 14, 1, 24, 25	pwssplit2 20989	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
27	23, 26	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 GrpHom 𝑍))
28		snex 5369	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎} ∈ V
29		xpexg 7678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ {𝑎} ∈ V) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
30	8, 28, 29	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑈 × {𝑎}) ∈ V)
31		vex 3440	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
32		offres 7910	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 × {𝑎}) ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
33	30, 31, 32	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
35		xpssres 5962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
36	35	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) = (𝑉 × {𝑎}))
38	37	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ↾ 𝑉) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
39	34, 38	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
40		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ LMod)
43		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝑋)
44	21	fveq2d 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
45	44	eleq2d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))))
46	45	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
47	46	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
48		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
49	9, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48	pwsvscafval 17393	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) = ((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏))
50	49	reseq1d 5922	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = (((𝑈 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) ↾ 𝑉))
51	25	fvtresfn 6926	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
52	51	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) = (𝑏 ↾ 𝑉))
53	52	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑏 ↾ 𝑉)))
54	39, 50, 53	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
55	1, 4, 2, 6	lmodvscl 20806	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
56	55	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
57	11, 56	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵)
58	25	fvtresfn 6926	. . . 4 ⊢ ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
59	57, 58	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = ((𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏) ↾ 𝑉))
60	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑉 ∈ V)
61	9, 14, 1, 24, 25	pwssplit0 20987	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
62	61	ffvelcdmda 7012	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
63	62	adantrl 716	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐶)
64	14, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63	pwsvscafval 17393	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎( ·𝑠 ‘𝑍)(𝐹‘𝑏)) = ((𝑉 × {𝑎}) ∘f ( ·𝑠 ‘𝑊)(𝐹‘𝑏)))
65	54, 59, 64	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑎( ·𝑠 ‘𝑌)𝑏)) = (𝑎( ·𝑠 ‘𝑍)(𝐹‘𝑏)))
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65	islmhmd 20968	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑌 LMHom 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4571   ↦ cmpt 5167   × cxp 5609   ↾ cres 5613  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603  Basecbs 17115  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160   ↑_s cpws 17345  Grpcgrp 18841   GrpHom cghm 19119  LModclmod 20788   LMHom clmhm 20948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-ghm 19120  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-lmod 20790  df-lmhm 20951

This theorem is referenced by:  frlmsplit2  21705  pwssplit4  43122  pwslnmlem2  43126