Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupmnflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupmnflem 44063
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to an upper interval of real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnflem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupmnflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
limsupmnflem.g 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsupmnflem (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = -∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem limsupmnflem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
2 reex 11152 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
4 limsupmnflem.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
53, 4ssexd 5287 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
6 limsupmnflem.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
7 limsupmnflem.g . . . . 5 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ))
81, 5, 6, 7limsupval3 44035 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
97rneqi 5898 . . . . . 6 ran 𝐺 = ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ))
109infeq1i 9424 . . . . 5 inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
128, 11eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) = inf(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1312eqeq1d 2734 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = -∞ ↔ inf(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
14 nfv 1918 . . 3 β„²π‘₯πœ‘
156fimassd 43556 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) βŠ† ℝ*)
1615adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) βŠ† ℝ*)
1716supxrcld 43421 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
181, 14, 17infxrunb3rnmpt 43765 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ inf(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
1915adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) βŠ† ℝ*)
20 ressxr 11209 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
2221sselda 3948 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
23 supxrleub 13256 . . . . . . 7 (((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) βŠ† ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯))
2419, 22, 23syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯))
2524adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯))
266ffnd 6675 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
28 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
2920sseli 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
3029ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
31 pnfxr 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
3320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
344sselda 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
3533, 34sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
3635ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ ℝ*)
37 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
3834ltpnfd 13052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ 𝑗 < +∞)
3938ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 < +∞)
4030, 32, 36, 37, 39elicod 13325 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ 𝑗 ∈ (π‘˜[,)+∞))
4127, 28, 40fnfvimad 7190 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
4241adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
43 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯)
44 breq1 5114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘—) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4544rspcva 3581 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘—) ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
4642, 43, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
4746adantl4r 754 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ≀ 𝑗) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
4847ex 414 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4948ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5049ex 414 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
51 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗𝐹
5226adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))) β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
53 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
5451, 52, 53fvelimad 6915 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))(πΉβ€˜π‘—) = 𝑦)
5554ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))(πΉβ€˜π‘—) = 𝑦)
56 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ)
57 nfra1 3266 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘—βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
5856, 57nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
59 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗 𝑦 ≀ π‘₯
6029adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ*)
6131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
62 elinel2 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑗 ∈ (π‘˜[,)+∞))
6362adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ 𝑗 ∈ (π‘˜[,)+∞))
6460, 61, 63icogelbd 43898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
6564adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ π‘˜ ≀ 𝑗)
66 elinel1 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞)) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ 𝑗 ∈ 𝐴)
68 rspa 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
6967, 68syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
7069adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
7165, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πΉβ€˜π‘—) = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑦)
7372eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜π‘—) = 𝑦 β†’ 𝑦 = (πΉβ€˜π‘—))
7473adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑦) β†’ 𝑦 = (πΉβ€˜π‘—))
75 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
7674, 75eqbrtrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘—) = 𝑦) β†’ 𝑦 ≀ π‘₯)
7776ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘—) = 𝑦 β†’ 𝑦 ≀ π‘₯))
7871, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) = 𝑦 β†’ 𝑦 ≀ π‘₯))
7978adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) = 𝑦 β†’ 𝑦 ≀ π‘₯))
8079ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) = 𝑦 β†’ 𝑦 ≀ π‘₯)))
8158, 59, 80rexlimd 3248 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))(πΉβ€˜π‘—) = 𝑦 β†’ 𝑦 ≀ π‘₯))
8281imp 408 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) ∧ βˆƒπ‘— ∈ (𝐴 ∩ (π‘˜[,)+∞))(πΉβ€˜π‘—) = 𝑦) β†’ 𝑦 ≀ π‘₯)
8355, 82syldan 592 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))) β†’ 𝑦 ≀ π‘₯)
8483ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯)
8584adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯)
8624ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ (sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯))
8785, 86mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ≀ π‘₯)
8887ex 414 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ≀ π‘₯))
8988, 25sylibd 238 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯))
9050, 89impbid 211 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞))𝑦 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
9125, 90bitrd 279 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
9291rexbidva 3170 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
9392ralbidva 3169 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ sup((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
9413, 18, 933bitr2d 307 1 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜πΉ) = -∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5640   β€œ cima 5642   Fn wfn 6497  βŸΆwf 6498  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363  supcsup 9386  infcinf 9387  β„cr 11060  +∞cpnf 11196  -∞cmnf 11197  β„*cxr 11198   < clt 11199   ≀ cle 11200  [,)cico 13277  lim supclsp 15365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-id 5537  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-ico 13281  df-limsup 15366
This theorem is referenced by:  limsupmnf  44064
  Copyright terms: Public domain W3C validator