Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupmnflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupmnflem 41462
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to an upper interval of real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupmnflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupmnflem.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsupmnflem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupmnflem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1874 . . . . 5 𝑘𝜑
2 reex 10425 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4 limsupmnflem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
53, 4ssexd 5081 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 limsupmnflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
7 limsupmnflem.g . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
81, 5, 6, 7limsupval3 41434 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
97rneqi 5648 . . . . . 6 ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
109infeq1i 8736 . . . . 5 inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
128, 11eqtrd 2809 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1312eqeq1d 2775 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
14 nfv 1874 . . 3 𝑥𝜑
156fimassd 40955 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
1615adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
1716supxrcld 40828 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
181, 14, 17infxrunb3rnmpt 41163 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
1915adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
20 ressxr 10483 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
2221sselda 3853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23 supxrleub 12534 . . . . . . 7 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
2419, 22, 23syl2anc 576 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
2524adantr 473 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
266ffnd 6343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2726ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝐹 Fn 𝐴)
28 simplr 757 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗𝐴)
2920sseli 3849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ*)
3029ad3antlr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
31 pnfxr 10493 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
3320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → ℝ ⊆ ℝ*)
344sselda 3853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
3533, 34sseldd 3854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
3635ad4ant13 739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
37 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
3834ltpnfd 12332 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 < +∞)
3938ad4ant13 739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 < +∞)
4030, 32, 36, 37, 39elicod 12602 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
4127, 28, 40fnfvimad 6820 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
4241adantllr 707 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
43 simpllr 764 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
44 breq1 4929 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑗) → (𝑦𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4544rspcva 3528 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4642, 43, 45syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4746adantl4r 743 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4847ex 405 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4948ralrimiva 3127 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5049ex 405 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥 → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
51 nfcv 2927 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝐹
5226adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹 Fn 𝐴)
53 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
5451, 52, 53fvelimad 6560 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦)
5554ad4ant14 740 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦)
56 nfv 1874 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑘 ∈ ℝ)
57 nfra1 3164 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
5856, 57nfan 1863 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
59 nfv 1874 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑦𝑥
6029adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
6131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
62 elinel2 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
6362adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
6460, 61, 63icogelbd 41295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘𝑗)
6564adantlr 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘𝑗)
66 elinel1 4055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑗𝐴)
6766adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑗𝐴)
68 rspa 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6967, 68syldan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7069adantll 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7165, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑗) = 𝑦 → (𝐹𝑗) = 𝑦)
7372eqcomd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑗))
7473adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹𝑗))
75 simpl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7674, 75eqbrtrd 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦𝑥)
7776ex 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
7871, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
7978adantlll 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
8079ex 405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥)))
8158, 59, 80rexlimd 3255 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
8281imp 398 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦𝑥)
8355, 82syldan 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦𝑥)
8483ralrimiva 3127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
8584adantllr 707 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
8624ad2antrr 714 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
8785, 86mpbird 249 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
8887ex 405 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
8988, 25sylibd 231 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
9050, 89impbid 204 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥 ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9125, 90bitrd 271 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9291rexbidva 3236 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9392ralbidva 3141 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9413, 18, 933bitr2d 299 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3083  wrex 3084  Vcvv 3410  cin 3823  wss 3824   class class class wbr 4926  cmpt 5005  ran crn 5405  cima 5407   Fn wfn 6181  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6975  supcsup 8698  infcinf 8699  cr 10333  +∞cpnf 10470  -∞cmnf 10471  *cxr 10472   < clt 10473  cle 10474  [,)cico 12555  lim supclsp 14687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-sup 8700  df-inf 8701  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-ico 12559  df-limsup 14688
This theorem is referenced by:  limsupmnf  41463
  Copyright terms: Public domain W3C validator