Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupmnflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupmnflem 40590
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to an upper interval of real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupmnflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupmnflem.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsupmnflem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupmnflem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 2009 . . . . 5 𝑘𝜑
2 reex 10280 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4 limsupmnflem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
53, 4ssexd 4966 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 limsupmnflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
7 limsupmnflem.g . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
81, 5, 6, 7limsupval3 40562 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
97rneqi 5520 . . . . . 6 ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
109infeq1i 8591 . . . . 5 inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
128, 11eqtrd 2799 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1312eqeq1d 2767 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
14 nfv 2009 . . 3 𝑥𝜑
156fimassd 40074 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
1615adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
1716supxrcld 39940 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
181, 14, 17infxrunb3rnmpt 40292 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
1915adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
20 ressxr 10337 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
2221sselda 3761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23 supxrleub 12358 . . . . . . 7 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
2419, 22, 23syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
2524adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
266ffnd 6224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2726ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝐹 Fn 𝐴)
28 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗𝐴)
2920sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ*)
3029ad3antlr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
31 pnfxr 10346 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
3320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → ℝ ⊆ ℝ*)
344sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
3533, 34sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
3635ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
37 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
3834ltpnfd 12155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 < +∞)
3938ad4ant13 757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 < +∞)
4030, 32, 36, 37, 39elicod 12426 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
4127, 28, 40fnfvimad 40101 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
4241adantllr 710 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
43 simpllr 793 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
44 breq1 4812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑗) → (𝑦𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4544rspcva 3459 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4642, 43, 45syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4746adantl4r 765 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4847ex 401 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4948ralrimiva 3113 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5049ex 401 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥 → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
51 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝐹
5226adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹 Fn 𝐴)
53 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
5451, 52, 53fvelimad 40100 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦)
5554ad4ant14 759 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦)
56 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑘 ∈ ℝ)
57 nfra1 3088 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
5856, 57nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
59 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑦𝑥
6029adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
6131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
62 elinel2 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
6460, 61, 63icogelbd 40423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘𝑗)
6564adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘𝑗)
66 elinel1 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑗𝐴)
6766adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑗𝐴)
68 rspa 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6967, 68syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7069adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7165, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑗) = 𝑦 → (𝐹𝑗) = 𝑦)
7372eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑗))
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹𝑗))
75 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7674, 75eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦𝑥)
7776ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
7871, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
7978adantlll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
8079ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥)))
8158, 59, 80rexlimd 3173 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
8281imp 395 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦𝑥)
8355, 82syldan 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦𝑥)
8483ralrimiva 3113 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
8584adantllr 710 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
8624ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
8785, 86mpbird 248 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
8887ex 401 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
8988, 25sylibd 230 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
9050, 89impbid 203 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥 ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9125, 90bitrd 270 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9291rexbidva 3196 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9392ralbidva 3132 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9413, 18, 933bitr2d 298 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ran crn 5278  cima 5280   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  supcsup 8553  infcinf 8554  cr 10188  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  [,)cico 12379  lim supclsp 14486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-ico 12383  df-limsup 14487
This theorem is referenced by:  limsupmnf  40591
  Copyright terms: Public domain W3C validator