Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupmnflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupmnflem 43597
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to an upper interval of real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupmnflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupmnflem.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsupmnflem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupmnflem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . . . . 5 𝑘𝜑
2 reex 11063 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4 limsupmnflem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
53, 4ssexd 5268 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 limsupmnflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
7 limsupmnflem.g . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
81, 5, 6, 7limsupval3 43569 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
97rneqi 5878 . . . . . 6 ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
109infeq1i 9335 . . . . 5 inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
128, 11eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1312eqeq1d 2738 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
14 nfv 1916 . . 3 𝑥𝜑
156fimassd 43099 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
1615adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
1716supxrcld 42977 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
181, 14, 17infxrunb3rnmpt 43303 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
1915adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
20 ressxr 11120 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
2221sselda 3932 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23 supxrleub 13161 . . . . . . 7 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
2419, 22, 23syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
2524adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
266ffnd 6652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2726ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝐹 Fn 𝐴)
28 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗𝐴)
2920sseli 3928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ*)
3029ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
31 pnfxr 11130 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
3320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → ℝ ⊆ ℝ*)
344sselda 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
3533, 34sseldd 3933 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
3635ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
37 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
3834ltpnfd 12958 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 < +∞)
3938ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 < +∞)
4030, 32, 36, 37, 39elicod 13230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
4127, 28, 40fnfvimad 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
4241adantllr 716 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
43 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
44 breq1 5095 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑗) → (𝑦𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4544rspcva 3568 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4642, 43, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4746adantl4r 752 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4847ex 413 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4948ralrimiva 3139 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5049ex 413 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥 → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
51 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝐹
5226adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹 Fn 𝐴)
53 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
5451, 52, 53fvelimad 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦)
5554ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦)
56 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑘 ∈ ℝ)
57 nfra1 3263 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
5856, 57nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
59 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑦𝑥
6029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
6131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
62 elinel2 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
6460, 61, 63icogelbd 43432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘𝑗)
6564adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘𝑗)
66 elinel1 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑗𝐴)
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑗𝐴)
68 rspa 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6967, 68syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7069adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7165, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑗) = 𝑦 → (𝐹𝑗) = 𝑦)
7372eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑗))
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹𝑗))
75 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7674, 75eqbrtrd 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦𝑥)
7776ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
7871, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
7978adantlll 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
8079ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥)))
8158, 59, 80rexlimd 3245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
8281imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦𝑥)
8355, 82syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦𝑥)
8483ralrimiva 3139 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
8584adantllr 716 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
8624ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
8785, 86mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
8887ex 413 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
8988, 25sylibd 238 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
9050, 89impbid 211 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥 ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9125, 90bitrd 278 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9291rexbidva 3169 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9392ralbidva 3168 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9413, 18, 933bitr2d 306 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3441  cin 3897  wss 3898   class class class wbr 5092  cmpt 5175  ran crn 5621  cima 5623   Fn wfn 6474  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  supcsup 9297  infcinf 9298  cr 10971  +∞cpnf 11107  -∞cmnf 11108  *cxr 11109   < clt 11110  cle 11111  [,)cico 13182  lim supclsp 15278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-ico 13186  df-limsup 15279
This theorem is referenced by:  limsupmnf  43598
  Copyright terms: Public domain W3C validator