Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupmnflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupmnflem 42355
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to an upper interval of real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupmnflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupmnflem.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsupmnflem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupmnflem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . . . 5 𝑘𝜑
2 reex 10621 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4 limsupmnflem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
53, 4ssexd 5195 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 limsupmnflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
7 limsupmnflem.g . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
81, 5, 6, 7limsupval3 42327 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
97rneqi 5775 . . . . . 6 ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
109infeq1i 8930 . . . . 5 inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
128, 11eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1312eqeq1d 2803 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
14 nfv 1915 . . 3 𝑥𝜑
156fimassd 41857 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
1615adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
1716supxrcld 41736 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
181, 14, 17infxrunb3rnmpt 42058 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
1915adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
20 ressxr 10678 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
2221sselda 3918 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23 supxrleub 12711 . . . . . . 7 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
2419, 22, 23syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
2524adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
266ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝐹 Fn 𝐴)
28 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗𝐴)
2920sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ*)
3029ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
31 pnfxr 10688 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
3320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → ℝ ⊆ ℝ*)
344sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
3533, 34sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
3635ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
37 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
3834ltpnfd 12508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 < +∞)
3938ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 < +∞)
4030, 32, 36, 37, 39elicod 12779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
4127, 28, 40fnfvimad 6978 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
4241adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
43 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
44 breq1 5036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑗) → (𝑦𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4544rspcva 3572 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4642, 43, 45syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4746adantl4r 754 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4847ex 416 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4948ralrimiva 3152 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5049ex 416 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥 → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
51 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝐹
5226adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹 Fn 𝐴)
53 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
5451, 52, 53fvelimad 6711 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦)
5554ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦)
56 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑘 ∈ ℝ)
57 nfra1 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
5856, 57nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
59 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑦𝑥
6029adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
6131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
62 elinel2 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
6362adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
6460, 61, 63icogelbd 42188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘𝑗)
6564adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘𝑗)
66 elinel1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑗𝐴)
6766adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑗𝐴)
68 rspa 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6967, 68syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7069adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7165, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑗) = 𝑦 → (𝐹𝑗) = 𝑦)
7372eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑗))
7473adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹𝑗))
75 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7674, 75eqbrtrd 5055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦𝑥)
7776ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
7871, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
7978adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
8079ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥)))
8158, 59, 80rexlimd 3279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
8281imp 410 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦𝑥)
8355, 82syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦𝑥)
8483ralrimiva 3152 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
8584adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
8624ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
8785, 86mpbird 260 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
8887ex 416 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
8988, 25sylibd 242 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
9050, 89impbid 215 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥 ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9125, 90bitrd 282 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9291rexbidva 3258 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9392ralbidva 3164 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9413, 18, 933bitr2d 310 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  cin 3883  wss 3884   class class class wbr 5033  cmpt 5113  ran crn 5524  cima 5526   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  supcsup 8892  infcinf 8893  cr 10529  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  [,)cico 12732  lim supclsp 14823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-ico 12736  df-limsup 14824
This theorem is referenced by:  limsupmnf  42356
  Copyright terms: Public domain W3C validator