Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupmnflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupmnflem 45735
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to an upper interval of real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnflem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupmnflem.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupmnflem.g 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
limsupmnflem (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem limsupmnflem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . . . . 5 𝑘𝜑
2 reex 11246 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
4 limsupmnflem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
53, 4ssexd 5324 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
6 limsupmnflem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
7 limsupmnflem.g . . . . 5 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
81, 5, 6, 7limsupval3 45707 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
97rneqi 5948 . . . . . 6 ran 𝐺 = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
109infeq1i 9518 . . . . 5 inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < )
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → inf(ran 𝐺, ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
128, 11eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1312eqeq1d 2739 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
14 nfv 1914 . . 3 𝑥𝜑
156fimassd 6757 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
1615adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
1716supxrcld 45112 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
181, 14, 17infxrunb3rnmpt 45439 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -∞))
1915adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
20 ressxr 11305 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
2221sselda 3983 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23 supxrleub 13368 . . . . . . 7 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
2419, 22, 23syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
2524adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
266ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2726ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝐹 Fn 𝐴)
28 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗𝐴)
2920sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℝ*)
3029ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘 ∈ ℝ*)
31 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → +∞ ∈ ℝ*)
3320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → ℝ ⊆ ℝ*)
344sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
3533, 34sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ*)
3635ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ*)
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑘𝑗)
3834ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 < +∞)
3938ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 < +∞)
4030, 32, 36, 37, 39elicod 13437 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
4127, 28, 40fnfvimad 7254 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
4241adantllr 719 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
43 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
44 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑗) → (𝑦𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4544rspcva 3620 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑗) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4642, 43, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4746adantl4r 755 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝑗) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
4847ex 412 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4948ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
5049ex 412 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥 → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
51 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝐹
5226adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹 Fn 𝐴)
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
5451, 52, 53fvelimad 6976 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦)
5554ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦)
56 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗(𝜑𝑘 ∈ ℝ)
57 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
5856, 57nfan 1899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
59 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑦𝑥
6029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘 ∈ ℝ*)
6131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
62 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑗 ∈ (𝑘[,)+∞))
6460, 61, 63icogelbd 45571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘𝑗)
6564adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑘𝑗)
66 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑗𝐴)
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑗𝐴)
68 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗𝐴) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
6967, 68syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7069adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
7165, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑗) = 𝑦 → (𝐹𝑗) = 𝑦)
7372eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑗))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦 = (𝐹𝑗))
75 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
7674, 75eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦𝑥)
7776ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
7871, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
7978adantlll 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
8079ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥)))
8158, 59, 80rexlimd 3266 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦𝑦𝑥))
8281imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ ∃𝑗 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑗) = 𝑦) → 𝑦𝑥)
8355, 82syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦𝑥)
8483ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
8584adantllr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥)
8624ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
8785, 86mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
8887ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
8988, 25sylibd 239 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥))
9050, 89impbid 212 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))𝑦𝑥 ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9125, 90bitrd 279 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9291rexbidva 3177 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9392ralbidva 3176 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ sup((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
9413, 18, 933bitr2d 307 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  infcinf 9481  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  [,)cico 13389  lim supclsp 15506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ico 13393  df-limsup 15507
This theorem is referenced by:  limsupmnf  45736
  Copyright terms: Public domain W3C validator