Theorem ressiooinf 45603

Description: If the infimum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded above, left-open interval, with lower bound equal to the infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressiooinf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ressiooinf.s	⊢ 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
ressiooinf.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
ressiooinf.i	⊢ 𝐼 = (𝑆(,)+∞)

Assertion

Ref	Expression
ressiooinf	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ressiooinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressiooinf.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
2		ressiooinf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		ressxr 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
5	2, 4	sstrd 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7	6	infxrcld 45433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	1, 7	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
9		pnfxr 11166	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
11	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	5	sselda 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
15		infxrlb 13234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
16	6, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
17	1, 16	eqbrtrid 5126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≤ 𝑥)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑥 = 𝑆)
19	18	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑆 = 𝑥)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
21		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22	20, 21	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
23	22	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
24		ressiooinf.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
26	23, 25	pm2.65da 816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
27	26	neqned 2935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑆)
28	27	necomd 2983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≠ 𝑥)
29	8, 14, 17, 28	xrleneltd 45368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 < 𝑥)
30	13	ltpnfd 13020	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 < +∞)
31	8, 10, 13, 29, 30	eliood 45544	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑆(,)+∞))
32		ressiooinf.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑆(,)+∞)
33	31, 32	eleqtrrdi 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
34	33	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
35		dfss3 3923	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
36	34, 35	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  infcinf 9325  ℝcr 11005  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  (,)cioo 13245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-ioo 13249

This theorem is referenced by: (None)