Theorem ressiooinf 46005

Description: If the infimum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded above, left-open interval, with lower bound equal to the infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressiooinf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ressiooinf.s	⊢ 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
ressiooinf.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
ressiooinf.i	⊢ 𝐼 = (𝑆(,)+∞)

Assertion

Ref	Expression
ressiooinf	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ressiooinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressiooinf.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
2		ressiooinf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		ressxr 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
5	2, 4	sstrd 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7	6	infxrcld 45836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	1, 7	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
9		pnfxr 11190	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
11	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	5	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
15		infxrlb 13278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
16	6, 12, 15	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
17	1, 16	eqbrtrid 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≤ 𝑥)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑥 = 𝑆)
19	18	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑆 = 𝑥)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
21		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22	20, 21	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
23	22	adantll 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
24		ressiooinf.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
25	24	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
26	23, 25	pm2.65da 817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
27	26	neqned 2940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑆)
28	27	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≠ 𝑥)
29	8, 14, 17, 28	xrleneltd 45771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 < 𝑥)
30	13	ltpnfd 13063	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 < +∞)
31	8, 10, 13, 29, 30	eliood 45946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑆(,)+∞))
32		ressiooinf.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑆(,)+∞)
33	31, 32	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
34	33	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
35		dfss3 3911	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
36	34, 35	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  infcinf 9347  ℝcr 11028  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  (,)cioo 13289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-ioo 13293

This theorem is referenced by: (None)