Theorem ressiooinf 46009

Description: If the infimum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded above, left-open interval, with lower bound equal to the infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressiooinf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ressiooinf.s	⊢ 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
ressiooinf.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
ressiooinf.i	⊢ 𝐼 = (𝑆(,)+∞)

Assertion

Ref	Expression
ressiooinf	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ressiooinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressiooinf.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
2		ressiooinf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		ressxr 11187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
5	2, 4	sstrd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7	6	infxrcld 45840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	1, 7	eqeltrid 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
9		pnfxr 11197	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
11	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	5	sselda 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
15		infxrlb 13285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
16	6, 12, 15	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
17	1, 16	eqbrtrid 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≤ 𝑥)
18		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑥 = 𝑆)
19	18	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑆 = 𝑥)
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
21		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22	20, 21	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
23	22	adantll 720	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
24		ressiooinf.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
25	24	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
26	23, 25	pm2.65da 822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
27	26	neqned 2942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑆)
28	27	necomd 2990	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≠ 𝑥)
29	8, 14, 17, 28	xrleneltd 45775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 < 𝑥)
30	13	ltpnfd 13070	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 < +∞)
31	8, 10, 13, 29, 30	eliood 45950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑆(,)+∞))
32		ressiooinf.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑆(,)+∞)
33	31, 32	eleqtrrdi 2851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
34	33	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
35		dfss3 3911	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
36	34, 35	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  infcinf 9351  ℝcr 11035  +∞cpnf 11174  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178  (,)cioo 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-ioo 13300

This theorem is referenced by: (None)