Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressiooinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressiooinf 42588
 Description: If the infimum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded above, left-open interval, with lower bound equal to the infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ressiooinf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ressiooinf.s 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
ressiooinf.n (𝜑 → ¬ 𝑆𝐴)
ressiooinf.i 𝐼 = (𝑆(,)+∞)
Assertion
Ref Expression
ressiooinf (𝜑𝐴𝐼)

Proof of Theorem ressiooinf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressiooinf.s . . . . . 6 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
2 ressiooinf.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 ressxr 10728 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
52, 4sstrd 3904 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
65adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
76infxrcld 42420 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
81, 7eqeltrid 2856 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
9 pnfxr 10738 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
109a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
112adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1311, 12sseldd 3895 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
145sselda 3894 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
15 infxrlb 12773 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
166, 12, 15syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
171, 16eqbrtrid 5070 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆𝑥)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑆𝑥 = 𝑆)
1918eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆𝑆 = 𝑥)
2019adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
21 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑥𝐴)
2220, 21eqeltrd 2852 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝑆) → 𝑆𝐴)
2322adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆𝐴)
24 ressiooinf.n . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑆𝐴)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆𝐴)
2623, 25pm2.65da 816 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
2726neqned 2958 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
2827necomd 3006 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆𝑥)
298, 14, 17, 28xrleneltd 42351 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 < 𝑥)
3013ltpnfd 12562 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 < +∞)
318, 10, 13, 29, 30eliood 42529 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑆(,)+∞))
32 ressiooinf.i . . . 4 𝐼 = (𝑆(,)+∞)
3331, 32eleqtrrdi 2863 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐼)
3433ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
35 dfss3 3882 . 2 (𝐴𝐼 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
3634, 35sylibr 237 1 (𝜑𝐴𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5035  (class class class)co 7155  infcinf 8943  ℝcr 10579  +∞cpnf 10715  ℝ*cxr 10717   < clt 10718   ≤ cle 10719  (,)cioo 12784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-ioo 12788 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator