Theorem ressiooinf 46538

Description: If the infimum does not belong to a set of reals, the set is a subset of the unbounded above, left-open interval, with lower bound equal to the infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressiooinf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ressiooinf.s	⊢ 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
ressiooinf.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
ressiooinf.i	⊢ 𝐼 = (𝑆(,)+∞)

Assertion

Ref	Expression
ressiooinf	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ressiooinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressiooinf.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = inf(𝐴, ℝ*, < )
2		ressiooinf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		ressxr 11346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
5	2, 4	sstrd 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7	6	infxrcld 46369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	1, 7	eqeltrid 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
9		pnfxr 11356	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
11	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13	11, 12	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	5	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
15		infxrlb 13458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
16	6, 12, 15	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
17	1, 16	eqbrtrid 5140	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≤ 𝑥)
18		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑥 = 𝑆)
19	18	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → 𝑆 = 𝑥)
20	19	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 = 𝑥)
21		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐴)
22	20, 21	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
23	22	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝐴)
24		ressiooinf.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑆) → ¬ 𝑆 ∈ 𝐴)
26	23, 25	pm2.65da 829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝑆)
27	26	neqned 2963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝑆)
28	27	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≠ 𝑥)
29	8, 14, 17, 28	xrleneltd 46304	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 < 𝑥)
30	13	ltpnfd 13243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 < +∞)
31	8, 10, 13, 29, 30	eliood 46479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑆(,)+∞))
32		ressiooinf.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑆(,)+∞)
33	31, 32	eleqtrrdi 2872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
34	33	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
35		dfss3 3920	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
36	34, 35	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  infcinf 9426  ℝcr 11192  +∞cpnf 11333  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  (,)cioo 13469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-ioo 13473

This theorem is used by: (None)