MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icogelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icogelb 13307
Description: An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
icogelb ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem icogelb
StepHypRef Expression
1 elico1 13299 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
2 simp2 1137 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐶)
31, 2syl6bi 252 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴𝐶))
433impia 1117 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  *cxr 11184   < clt 11185  cle 11186  [,)cico 13258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-xr 11189  df-ico 13262
This theorem is referenced by:  fprodge0  15868  fprodge1  15870  hgt750lemf  33135  xralrple2  43524  icoopn  43695  icogelbd  43728  fsumge0cl  43746  limcresioolb  43816  fourierdlem41  44321  fourierdlem43  44323  fourierdlem46  44325  fourierdlem48  44327  fouriersw  44404  sge0isum  44600  sge0ad2en  44604  sge0uzfsumgt  44617  sge0seq  44619  sge0reuz  44620  hoidmv1lelem2  44765  hoidmvlelem1  44768  hoidmvlelem2  44769  ovnhoilem1  44774  hspdifhsp  44789  hspmbllem2  44800  iinhoiicclem  44846
  Copyright terms: Public domain W3C validator