MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icogelb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icogelb 12780
Description: An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
icogelb ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem icogelb
StepHypRef Expression
1 elico1 12773 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
2 simp2 1134 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴𝐶)
31, 2syl6bi 256 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴𝐶))
433impia 1114 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  [,)cico 12732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-xr 10672  df-ico 12736
This theorem is referenced by:  fprodge0  15343  fprodge1  15345  hgt750lemf  32038  xralrple2  41983  icoopn  42159  icogelbd  42192  fsumge0cl  42212  limcresioolb  42282  fourierdlem41  42787  fourierdlem43  42789  fourierdlem46  42791  fourierdlem48  42793  fouriersw  42870  sge0isum  43063  sge0ad2en  43067  sge0uzfsumgt  43080  sge0seq  43082  sge0reuz  43083  hoidmv1lelem2  43228  hoidmvlelem1  43231  hoidmvlelem2  43232  ovnhoilem1  43237  hspdifhsp  43252  hspmbllem2  43263  iinhoiicclem  43309
  Copyright terms: Public domain W3C validator