Theorem icogelb 12951

Description: An element of a left-closed right-open interval is greater than or equal to its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
icogelb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem icogelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elico1 12943	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
2		simp2 1139	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶)
3	1, 2	syl6bi 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐶))
4	3	3impia 1119	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  ℝ^*cxr 10831   < clt 10832   ≤ cle 10833  [,)cico 12902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-xr 10836  df-ico 12906

This theorem is referenced by:  fprodge0  15518  fprodge1  15520  hgt750lemf  32299  xralrple2  42507  icoopn  42679  icogelbd  42712  fsumge0cl  42732  limcresioolb  42802  fourierdlem41  43307  fourierdlem43  43309  fourierdlem46  43311  fourierdlem48  43313  fouriersw  43390  sge0isum  43583  sge0ad2en  43587  sge0uzfsumgt  43600  sge0seq  43602  sge0reuz  43603  hoidmv1lelem2  43748  hoidmvlelem1  43751  hoidmvlelem2  43752  ovnhoilem1  43757  hspdifhsp  43772  hspmbllem2  43783  iinhoiicclem  43829