Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminflem 45161
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminflem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfliminflem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfliminflem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfliminflem.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
smfliminflem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
smfliminflem (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   𝑛,𝐹,π‘₯   π‘š,𝑀   𝑆,π‘š   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘š,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘š,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛)   𝐹(π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem smfliminflem
StepHypRef Expression
1 smfliminflem.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
3 smfliminflem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
4 ssrab2 4041 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
53, 4eqsstri 3982 . . . . . . . . 9 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
6 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
75, 6sselid 3946 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š))
8 smfliminflem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
9 eqid 2733 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
108, 9allbutfi 43718 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
117, 10sylib 217 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
1211adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
13 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
14 nfra1 3266 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šβˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)
1513, 14nfan 1903 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
168fvexi 6860 . . . . . . . . . 10 𝑍 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ 𝑍 ∈ V)
188eluzelz2 43728 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1918zred 12615 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
21 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ πœ‘)
22 elinel1 4159 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
23 smfliminflem.s . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
25 smfliminflem.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
2625ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
27 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘š)
2824, 26, 27smff 45063 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
2921, 22, 28syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
30 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘›)
3218adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
338, 22eluzelz2d 43738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) β†’ π‘š ∈ β„€)
3433adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘š ∈ β„€)
3519rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
37 pnfxr 11217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
39 elinel2 4160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) β†’ π‘š ∈ (𝑛[,)+∞))
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘š ∈ (𝑛[,)+∞))
4136, 38, 40icogelbd 43886 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ 𝑛 ≀ π‘š)
4231, 32, 34, 41eluzd 43734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
4342adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
44 rspa 3230 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
4530, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
4645adantlll 717 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
4729, 46ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4815, 17, 20, 47liminfval4 44120 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
4948rexlimdva2 3151 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
5049adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
5112, 50mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
5251xnegeqd 43762 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -𝑒(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
5316mptex 7177 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ V
5453limsupcli 44088 . . . . . . . . . . 11 (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ*
5554xnegnegi 43764 . . . . . . . . . 10 -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
5752, 56eqtr2d 2774 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
583reqabi 3428 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ))
5958simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6059adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6160rexnegd 43445 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -𝑒(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
6257, 61eqtr2d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
6360renegcld 11590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6462, 63eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6564rexnegd 43445 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
6651, 65eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
6766mpteq2dva 5209 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ -(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
682, 67eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ -(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
69 nfv 1918 . . 3 β„²π‘₯πœ‘
7018, 31uzn0d 43750 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β‰  βˆ…)
71 fvex 6859 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
7271dmex 7852 . . . . . . . . . 10 dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
7372rgenw 3065 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
75 iinexg 5302 . . . . . . . 8 (((β„€β‰₯β€˜π‘›) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V) β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
7670, 74, 75syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
7776rgen 3063 . . . . . 6 βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
78 iunexg 7900 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
7916, 77, 78mp2an 691 . . . . 5 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
8079, 5ssexi 5283 . . . 4 𝐷 ∈ V
8180a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
823a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ})
8310biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
8449imp 408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
8583, 84sylan2 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
8654a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ*)
87 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
88 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
8987, 88eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
90 xnegrecl2 43785 . . . . . . . . . 10 (((lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
9186, 89, 90syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
92 simpl 484 . . . . . . . . . 10 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
93 xnegrecl 43763 . . . . . . . . . . 11 ((lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
9493adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
9592, 94eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
9691, 95impbida 800 . . . . . . . 8 ((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) β†’ ((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ ↔ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ))
9785, 96syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ ↔ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ))
9897rabbidva 3413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ})
9982, 98eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ})
10069, 99mpteq1df 43552 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
101 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘šπœ‘
102 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘›πœ‘
103 smfliminflem.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
104 negex 11407 . . . . . 6 -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ V
105104a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ V)
106 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍)
10772a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
10828ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
10928feqmptd 6914 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
110109, 26eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
111106, 24, 107, 108, 110smfneg 45134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
112 eqid 2733 . . . . 5 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
113 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
114101, 69, 102, 103, 8, 23, 105, 111, 112, 113smflimsupmpt 45160 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
115100, 114eqeltrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
11669, 23, 81, 64, 115smfneg 45134 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ -(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
11768, 116eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   ∩ cin 3913  βˆ…c0 4286  βˆͺ ciun 4958  βˆ© ciin 4959   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196  -cneg 11394  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  -𝑒cxne 13038  [,)cico 13275  lim supclsp 15361  lim infclsi 44082  SAlgcsalg 44639  SMblFncsmblfn 45026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-ac2 10407  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10060  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-ceil 13707  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-s2 14746  df-s3 14747  df-s4 14748  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-bases 22319  df-liminf 44083  df-salg 44640  df-salgen 44644  df-smblfn 45027
This theorem is referenced by:  smfliminf  45162
  Copyright terms: Public domain W3C validator