Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminflem 44613
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminflem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfliminflem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfliminflem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfliminflem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminflem.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminflem.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
smfliminflem (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfliminflem
StepHypRef Expression
1 smfliminflem.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
3 smfliminflem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
4 ssrab2 4023 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
53, 4eqsstri 3964 . . . . . . . . 9 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷𝑥𝐷)
75, 6sselid 3928 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
8 smfliminflem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
9 eqid 2737 . . . . . . . . 9 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
108, 9allbutfi 43176 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
117, 10sylib 217 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
1211adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
13 nfv 1916 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝜑𝑛𝑍)
14 nfra1 3264 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)
1513, 14nfan 1901 . . . . . . . . 9 𝑚((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
168fvexi 6823 . . . . . . . . . 10 𝑍 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
188eluzelz2 43186 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
1918zred 12496 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℝ)
2019ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21 simpll 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝜑)
22 elinel1 4139 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚𝑍)
23 smfliminflem.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
25 smfliminflem.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
2625ffvelcdmda 6998 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑚)
2824, 26, 27smff 44515 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
2921, 22, 28syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
30 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3218adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℤ)
338, 22eluzelz2d 43196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℤ)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ ℤ)
3519rexrd 11095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℝ*)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℝ*)
37 pnfxr 11099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
39 elinel2 4140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
4136, 38, 40icogelbd 43340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛𝑚)
4231, 32, 34, 41eluzd 43192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))
4342adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))
44 rspa 3228 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4530, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4645adantlll 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4729, 46ffvelcdmd 6999 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
4815, 17, 20, 47liminfval4 43574 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
4948rexlimdva2 3151 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
5049adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
5112, 50mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
5251xnegeqd 43220 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
5316mptex 7136 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ V
5453limsupcli 43542 . . . . . . . . . . 11 (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*
5554xnegnegi 43222 . . . . . . . . . 10 -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
5752, 56eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
583rabeq2i 3426 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
5958simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6059adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6160rexnegd 42921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6257, 61eqtr2d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → -(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6360renegcld 11472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → -(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6462, 63eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6564rexnegd 42921 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6651, 65eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6766mpteq2dva 5185 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
682, 67eqtrd 2777 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
69 nfv 1916 . . 3 𝑥𝜑
7018, 31uzn0d 43208 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
71 fvex 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑚) ∈ V
7271dmex 7801 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑚) ∈ V
7372rgenw 3066 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
75 iinexg 5278 . . . . . . . 8 (((ℤ𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
7670, 74, 75syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
7776rgen 3064 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
78 iunexg 7849 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
7916, 77, 78mp2an 689 . . . . 5 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
8079, 5ssexi 5259 . . . 4 𝐷 ∈ V
8180a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
823a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
8310biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
8449imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
8583, 84sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
8654a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*)
87 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
88 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
8987, 88eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
90 xnegrecl2 43243 . . . . . . . . . 10 (((lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9186, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
92 simpl 483 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
93 xnegrecl 43221 . . . . . . . . . . 11 ((lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9493adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9592, 94eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9691, 95impbida 798 . . . . . . . 8 ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) → ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
9785, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
9897rabbidva 3411 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
9982, 98eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
10069, 99mpteq1df 43015 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
101 nfv 1916 . . . . 5 𝑚𝜑
102 nfv 1916 . . . . 5 𝑛𝜑
103 smfliminflem.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
104 negex 11289 . . . . . 6 -((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V
105104a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → -((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V)
106 nfv 1916 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑚𝑍)
10772a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → dom (𝐹𝑚) ∈ V)
10828ffvelcdmda 6998 . . . . . 6 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
10928feqmptd 6874 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
110109, 26eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
111106, 24, 107, 108, 110smfneg 44586 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
112 eqid 2737 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
113 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
114101, 69, 102, 103, 8, 23, 105, 111, 112, 113smflimsupmpt 44612 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
115100, 114eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
11669, 23, 81, 64, 115smfneg 44586 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
11768, 116eqeltrd 2838 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3404  Vcvv 3441  cin 3895  c0 4266   ciun 4935   ciin 4936  cmpt 5168  dom cdm 5605  wf 6459  cfv 6463  (class class class)co 7313  cr 10940  +∞cpnf 11076  *cxr 11078  -cneg 11276  cz 12389  cuz 12652  -𝑒cxne 12915  [,)cico 13151  lim supclsp 15248  lim infclsi 43536  SAlgcsalg 44093  SMblFncsmblfn 44478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-inf2 9467  ax-cc 10261  ax-ac2 10289  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-oadd 8346  df-omul 8347  df-er 8544  df-map 8663  df-pm 8664  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-sup 9269  df-inf 9270  df-oi 9337  df-card 9765  df-acn 9768  df-ac 9942  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-ioo 13153  df-ioc 13154  df-ico 13155  df-icc 13156  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-fl 13582  df-ceil 13583  df-seq 13792  df-exp 13853  df-hash 14115  df-word 14287  df-concat 14343  df-s1 14370  df-s2 14630  df-s3 14631  df-s4 14632  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-limsup 15249  df-clim 15266  df-rlim 15267  df-rest 17200  df-topgen 17221  df-top 22114  df-bases 22167  df-liminf 43537  df-salg 44094  df-salgen 44098  df-smblfn 44479
This theorem is referenced by:  smfliminf  44614
  Copyright terms: Public domain W3C validator