Theorem smfliminflem 47402

Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfliminflem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfliminflem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfliminflem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminflem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminflem.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminflem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
smfliminflem	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfliminflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfliminflem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
3		smfliminflem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
4		ssrab2 4036	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
5	3, 4	eqsstri 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
6		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ 𝐷)
7	5, 6	sselid 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
8		smfliminflem.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
10	8, 9	allbutfi 45966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
11	7, 10	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
12	11	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
13		nfv 1937	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
14		nfra1 3289	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)
15	13, 14	nfan 1922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
16	8	fvexi 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
18	8	eluzelz2 45975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
19	18	zred 12691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21		simpll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → 𝜑)
22		elinel1 4156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
23		smfliminflem.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
24	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfliminflem.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
26	25	ffvelcdmda 7069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
27		eqid 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹‘𝑚) = dom (𝐹‘𝑚)
28	24, 26, 27	smff 47304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
29	21, 22, 28	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
30		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
31		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
32	18	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℤ)
33	8, 22	eluzelz2d 45985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℤ)
34	33	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ ℤ)
35	19	rexrd 11247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℝ*)
36	35	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℝ*)
37		pnfxr 11251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
39		elinel2 4157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
40	39	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
41	36, 38, 40	icogelbd 13415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ≤ 𝑚)
42	31, 32, 34, 41	eluzd 45981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
43	42	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
44		rspa 3254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
45	30, 43, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
46	45	adantlll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
47	29, 46	ffvelcdmd 7070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
48	15, 17, 20, 47	liminfval4 46361	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
49	48	rexlimdva2 3168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
50	49	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
51	12, 50	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
52	51	xnegeqd 46009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝑒(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
53	16	mptex 7211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ V
54	53	limsupcli 46329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*
55	54	xnegnegi 46011	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
57	52, 56	eqtr2d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
58	3	reqabi 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
59	58	simprbi 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
60	59	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
61	60	rexnegd 45719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝑒(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
62	57, 61	eqtr2d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
63	60	renegcld 11629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
64	62, 63	eqeltrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
65	64	rexnegd 45719	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
66	51, 65	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
67	66	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
68	2, 67	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
69		nfv 1937	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
70	18, 31	uzn0d 45997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ≠ ∅)
71		fvex 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
72	71	dmex 7894	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
73	72	rgenw 3083	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
75		iinexg 5309	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤ≥‘𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V) → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
76	70, 74, 75	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
77	76	rgen 3081	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
78		iunexg 7948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
79	16, 77, 78	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
80	79, 5	ssexi 5283	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
81	80	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
82	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
83	10	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
84	49	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
85	83, 84	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
86	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*)
87		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
88		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
89	87, 88	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
90		xnegrecl2 46032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
91	86, 89, 90	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
92		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
93		xnegrecl 46010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ → -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
94	93	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
95	92, 94	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
96	91, 95	impbida 812	. . . . . . . 8 ⊢ ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) → ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
97	85, 96	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
98	97	rabbidva 3423	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
99	82, 98	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
100	69, 99	mpteq1df 45809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
101		nfv 1937	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
102		nfv 1937	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
103		smfliminflem.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
104		negex 11443	. . . . . 6 ⊢ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V
105	104	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → -((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
106		nfv 1937	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)
107	72	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
108	28	ffvelcdmda 7069	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
109	28	feqmptd 6939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
110	109, 26	eqeltrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
111	106, 24, 107, 108, 110	smfneg 47375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
112		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
113		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
114	101, 69, 102, 103, 8, 23, 105, 111, 112, 113	smflimsupmpt 47401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
115	100, 114	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
116	69, 23, 81, 64, 115	smfneg 47375	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
117	68, 116	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457   ∩ cin 3906  ∅c0 4288  ∪ ciun 4952  ∩ ciin 4953   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230  -cneg 11430  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  -_𝑒cxne 13125  [,)cico 13365  lim supclsp 15511  lim infclsi 46323  SAlgcsalg 46880  SMblFncsmblfn 47267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-ceil 13817  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-word 14541  df-concat 14598  df-s1 14624  df-s2 14875  df-s3 14876  df-s4 14877  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-rest 17465  df-topgen 17486  df-top 23012  df-bases 23064  df-liminf 46324  df-salg 46881  df-salgen 46885  df-smblfn 47268

This theorem is referenced by:  smfliminf  47403