Theorem smfliminflem 48045

Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfliminflem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfliminflem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfliminflem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminflem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminflem.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminflem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
smfliminflem	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑚, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem smfliminflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfliminflem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
3		smfliminflem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
4		ssrab2 4008	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
5	3, 4	eqsstri 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
6		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ 𝐷)
7	5, 6	sselid 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
8		smfliminflem.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
10	8, 9	allbutfi 46609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
11	7, 10	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
13		nfv 1949	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
14		nfra1 3290	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)
15	13, 14	nfan 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
16	8	fvexi 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
18	8	eluzelz2 46618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
19	18	zred 12830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → 𝜑)
22		elinel1 4101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
23		smfliminflem.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfliminflem.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
26	25	ffvelcdmda 7108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
27		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹‘𝑚) = dom (𝐹‘𝑚)
28	24, 26, 27	smff 47947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
29	21, 22, 28	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
30		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
31		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
32	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℤ)
33	8, 22	eluzelz2d 46628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℤ)
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ ℤ)
35	19	rexrd 11386	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℝ*)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℝ*)
37		pnfxr 11390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
39		elinel2 4102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
41	36, 38, 40	icogelbd 13555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ≤ 𝑚)
42	31, 32, 34, 41	eluzd 46624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
43	42	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
44		rspa 3255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
45	30, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
46	45	adantlll 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
47	29, 46	ffvelcdmd 7109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
48	15, 17, 20, 47	liminfval4 47004	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
49	48	rexlimdva2 3169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
50	49	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
51	12, 50	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
52	51	xnegeqd 46652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -e(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
53	16	mptex 7252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ V
54	53	limsupcli 46972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*
55	54	xnegnegi 46654	. . . . . . . . . 10 ⊢ -e -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -e -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
57	52, 56	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
58	3	reqabi 3438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
59	58	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
60	59	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
61	60	rexnegd 46363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -e(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
62	57, 61	eqtr2d 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
63	60	renegcld 11770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
64	62, 63	eqeltrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
65	64	rexnegd 46363	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
66	51, 65	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
67	66	mpteq2dva 5201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
68	2, 67	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
69		nfv 1949	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
70	18, 31	uzn0d 46640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ≠ ∅)
71		fvex 6921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
72	71	dmex 7945	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
73	72	rgenw 3084	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
75		iinexg 5313	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤ≥‘𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V) → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
76	70, 74, 75	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
77	76	rgen 3082	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
78		iunexg 7999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
79	16, 77, 78	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
80	79, 5	ssexi 5288	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
81	80	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
82	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
83	10	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
84	49	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
85	83, 84	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
86	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*)
87		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
88		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
89	87, 88	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
90		xnegrecl2 46675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ* ∧ -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
91	86, 89, 90	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
92		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
93		xnegrecl 46653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ → -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
94	93	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
95	92, 94	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
96	91, 95	impbida 813	. . . . . . . 8 ⊢ ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -e(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) → ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
97	85, 96	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
98	97	rabbidva 3422	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
99	82, 98	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
100	69, 99	mpteq1df 46453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
101		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
102		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
103		smfliminflem.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
104		negex 11582	. . . . . 6 ⊢ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V
105	104	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → -((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
106		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)
107	72	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
108	28	ffvelcdmda 7108	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
109	28	feqmptd 6976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
110	109, 26	eqeltrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
111	106, 24, 107, 108, 110	smfneg 48018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
112		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
113		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
114	101, 69, 102, 103, 8, 23, 105, 111, 112, 113	smflimsupmpt 48044	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
115	100, 114	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
116	69, 23, 81, 64, 115	smfneg 48018	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
117	68, 116	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  ∪ ciun 4954  ∩ ciin 4955   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  +∞cpnf 11367  ℝ^*cxr 11369   -cneg 11569  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992   -_ecxne 13265  [,)cico 13505  lim supclsp 15666  lim infclsi 46966  SAlgcsalg 47523  SMblFncsmblfn 47910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cc 10540  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-ceil 13960  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-s4 15029  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-rest 17622  df-topgen 17643  df-top 23242  df-bases 23294  df-liminf 46967  df-salg 47524  df-salgen 47528  df-smblfn 47911

This theorem is used by:  smfliminf  48046