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Theorem smfliminflem 46131
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminflem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
smfliminflem.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
smfliminflem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminflem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
smfliminflem.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
smfliminflem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
smfliminflem (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   𝑛,𝐹,π‘₯   π‘š,𝑀   𝑆,π‘š   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯   πœ‘,π‘š,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘š,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛)   𝐹(π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem smfliminflem
StepHypRef Expression
1 smfliminflem.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
3 smfliminflem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
4 ssrab2 4073 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
53, 4eqsstri 4012 . . . . . . . . 9 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
6 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
75, 6sselid 3976 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š))
8 smfliminflem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
9 eqid 2727 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
108, 9allbutfi 44688 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
117, 10sylib 217 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
1211adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
13 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
14 nfra1 3276 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šβˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)
1513, 14nfan 1895 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
168fvexi 6905 . . . . . . . . . 10 𝑍 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ 𝑍 ∈ V)
188eluzelz2 44698 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1918zred 12682 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
21 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ πœ‘)
22 elinel1 4191 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
23 smfliminflem.s . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
25 smfliminflem.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(SMblFnβ€˜π‘†))
2625ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
27 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 dom (πΉβ€˜π‘š) = dom (πΉβ€˜π‘š)
2824, 26, 27smff 46033 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
2921, 22, 28syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
30 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
31 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€β‰₯β€˜π‘›) = (β„€β‰₯β€˜π‘›)
3218adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
338, 22eluzelz2d 44708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) β†’ π‘š ∈ β„€)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘š ∈ β„€)
3519rexrd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ*)
37 pnfxr 11284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
39 elinel2 4192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) β†’ π‘š ∈ (𝑛[,)+∞))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘š ∈ (𝑛[,)+∞))
4136, 38, 40icogelbd 44856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ 𝑛 ≀ π‘š)
4231, 32, 34, 41eluzd 44704 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
4342adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
44 rspa 3240 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
4530, 43, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
4645adantlll 717 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
4729, 46ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) ∧ π‘š ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4815, 17, 20, 47liminfval4 45090 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
4948rexlimdva2 3152 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
5049adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
5112, 50mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
5251xnegeqd 44732 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -𝑒(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
5316mptex 7229 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ V
5453limsupcli 45058 . . . . . . . . . . 11 (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ*
5554xnegnegi 44734 . . . . . . . . . 10 -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -𝑒-𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
5752, 56eqtr2d 2768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
583reqabi 3449 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ))
5958simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6059adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6160rexnegd 44422 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -𝑒(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
6257, 61eqtr2d 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
6360renegcld 11657 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -(lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6462, 63eqeltrrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
6564rexnegd 44422 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
6651, 65eqtrd 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
6766mpteq2dva 5242 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ -(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
682, 67eqtrd 2767 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ -(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
69 nfv 1910 . . 3 β„²π‘₯πœ‘
7018, 31uzn0d 44720 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β‰  βˆ…)
71 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
7271dmex 7909 . . . . . . . . . 10 dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
7372rgenw 3060 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
75 iinexg 5337 . . . . . . . 8 (((β„€β‰₯β€˜π‘›) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V) β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
7670, 74, 75syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
7776rgen 3058 . . . . . 6 βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
78 iunexg 7959 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
7916, 77, 78mp2an 691 . . . . 5 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V
8079, 5ssexi 5316 . . . 4 𝐷 ∈ V
8180a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
823a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ})
8310biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š))
8449imp 406 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
8583, 84sylan2 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
8654a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ*)
87 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
88 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
8987, 88eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . 10 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
90 xnegrecl2 44755 . . . . . . . . . 10 (((lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
9186, 89, 90syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
92 simpl 482 . . . . . . . . . 10 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
93 xnegrecl 44733 . . . . . . . . . . 11 ((lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
9493adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
9592, 94eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∧ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ) β†’ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
9691, 95impbida 800 . . . . . . . 8 ((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) β†’ ((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ ↔ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ))
9785, 96syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ((lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ ↔ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ))
9897rabbidva 3434 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim infβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ})
9982, 98eqtrd 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ})
10069, 99mpteq1df 44523 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))))
101 nfv 1910 . . . . 5 β„²π‘šπœ‘
102 nfv 1910 . . . . 5 β„²π‘›πœ‘
103 smfliminflem.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
104 negex 11474 . . . . . 6 -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ V
105104a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ V)
106 nfv 1910 . . . . . 6 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍)
10772a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ dom (πΉβ€˜π‘š) ∈ V)
10828ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) ∧ π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
10928feqmptd 6961 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
110109, 26eqeltrrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
111106, 24, 107, 108, 110smfneg 46104 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ dom (πΉβ€˜π‘š) ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
112 eqid 2727 . . . . 5 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ}
113 eqid 2727 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
114101, 69, 102, 103, 8, 23, 105, 111, 112, 113smflimsupmpt 46130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))) ∈ ℝ} ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
115100, 114eqeltrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
11669, 23, 81, 64, 115smfneg 46104 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ -(lim supβ€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ -((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
11768, 116eqeltrd 2828 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   ∩ cin 3943  βˆ…c0 4318  βˆͺ ciun 4991  βˆ© ciin 4992   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  +∞cpnf 11261  β„*cxr 11263  -cneg 11461  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  -𝑒cxne 13107  [,)cico 13344  lim supclsp 15432  lim infclsi 45052  SAlgcsalg 45609  SMblFncsmblfn 45996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-ac2 10472  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-acn 9951  df-ac 10125  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-ceil 13776  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-word 14483  df-concat 14539  df-s1 14564  df-s2 14817  df-s3 14818  df-s4 14819  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-rest 17389  df-topgen 17410  df-top 22770  df-bases 22823  df-liminf 45053  df-salg 45610  df-salgen 45614  df-smblfn 45997
This theorem is referenced by:  smfliminf  46132
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