Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminflem 46845
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminflem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfliminflem.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfliminflem.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfliminflem.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminflem.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminflem.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
smfliminflem (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfliminflem
StepHypRef Expression
1 smfliminflem.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
3 smfliminflem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
4 ssrab2 4080 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
53, 4eqsstri 4030 . . . . . . . . 9 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷𝑥𝐷)
75, 6sselid 3981 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
8 smfliminflem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
9 eqid 2737 . . . . . . . . 9 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
108, 9allbutfi 45404 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
117, 10sylib 218 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
13 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝜑𝑛𝑍)
14 nfra1 3284 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)
1513, 14nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑚((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
168fvexi 6920 . . . . . . . . . 10 𝑍 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
188eluzelz2 45414 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
1918zred 12722 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℝ)
2019ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → 𝜑)
22 elinel1 4201 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚𝑍)
23 smfliminflem.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
25 smfliminflem.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
2625ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑚)
2824, 26, 27smff 46747 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
2921, 22, 28syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
30 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3218adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℤ)
338, 22eluzelz2d 45424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℤ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ ℤ)
3519rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℝ*)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℝ*)
37 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
39 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
4136, 38, 40icogelbd 45571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛𝑚)
4231, 32, 34, 41eluzd 45420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))
4342adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))
44 rspa 3248 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4530, 43, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4645adantlll 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
4729, 46ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
4815, 17, 20, 47liminfval4 45804 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
4948rexlimdva2 3157 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
5049adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
5112, 50mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
5251xnegeqd 45448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
5316mptex 7243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ V
5453limsupcli 45772 . . . . . . . . . . 11 (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*
5554xnegnegi 45450 . . . . . . . . . 10 -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))
5655a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
5752, 56eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
583reqabi 3460 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
5958simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6059adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6160rexnegd 45148 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6257, 61eqtr2d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → -(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6360renegcld 11690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → -(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6462, 63eqeltrrd 2842 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6564rexnegd 45148 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6651, 65eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
6766mpteq2dva 5242 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
682, 67eqtrd 2777 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
69 nfv 1914 . . 3 𝑥𝜑
7018, 31uzn0d 45436 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
71 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑚) ∈ V
7271dmex 7931 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑚) ∈ V
7372rgenw 3065 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
75 iinexg 5348 . . . . . . . 8 (((ℤ𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
7670, 74, 75syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
7776rgen 3063 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
78 iunexg 7988 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
7916, 77, 78mp2an 692 . . . . 5 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
8079, 5ssexi 5322 . . . 4 𝐷 ∈ V
8180a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
823a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
8310biimpi 216 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚))
8449imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
8583, 84sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
8654a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*)
87 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
88 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
8987, 88eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
90 xnegrecl2 45471 . . . . . . . . . 10 (((lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9186, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
92 simpl 482 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
93 xnegrecl 45449 . . . . . . . . . . 11 ((lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9493adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9592, 94eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 (((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
9691, 95impbida 801 . . . . . . . 8 ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) → ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
9785, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
9897rabbidva 3443 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
9982, 98eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
10069, 99mpteq1df 45241 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))))
101 nfv 1914 . . . . 5 𝑚𝜑
102 nfv 1914 . . . . 5 𝑛𝜑
103 smfliminflem.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
104 negex 11506 . . . . . 6 -((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V
105104a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → -((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ V)
106 nfv 1914 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑚𝑍)
10772a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → dom (𝐹𝑚) ∈ V)
10828ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
10928feqmptd 6977 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
110109, 26eqeltrrd 2842 . . . . . 6 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
111106, 24, 107, 108, 110smfneg 46818 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
112 eqid 2737 . . . . 5 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
113 eqid 2737 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))))
114101, 69, 102, 103, 8, 23, 105, 111, 112, 113smflimsupmpt 46844 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
115100, 114eqeltrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
11669, 23, 81, 64, 115smfneg 46818 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ -((𝐹𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
11768, 116eqeltrd 2841 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  c0 4333   ciun 4991   ciin 4992  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  -cneg 11493  cz 12613  cuz 12878  -𝑒cxne 13151  [,)cico 13389  lim supclsp 15506  lim infclsi 45766  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-s4 14889  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-liminf 45767  df-salg 46324  df-salgen 46328  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  smfliminf  46846
  Copyright terms: Public domain W3C validator