Theorem smfliminflem 47110

Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfliminflem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfliminflem.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfliminflem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfliminflem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminflem.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminflem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
smfliminflem	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smfliminflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfliminflem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
3		smfliminflem.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
4		ssrab2 4033	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
5	3, 4	eqsstri 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
6		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ 𝐷)
7	5, 6	sselid 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
8		smfliminflem.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
10	8, 9	allbutfi 45673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
11	7, 10	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
13		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
14		nfra1 3261	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)
15	13, 14	nfan 1901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
16	8	fvexi 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑍 ∈ V)
18	8	eluzelz2 45683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
19	18	zred 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → 𝜑)
22		elinel1 4154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
23		smfliminflem.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
25		smfliminflem.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
26	25	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
27		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (𝐹‘𝑚) = dom (𝐹‘𝑚)
28	24, 26, 27	smff 47012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
29	21, 22, 28	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
30		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛)
32	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℤ)
33	8, 22	eluzelz2d 45693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ ℤ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ ℤ)
35	19	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℝ*)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ∈ ℝ*)
37		pnfxr 11190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → +∞ ∈ ℝ*)
39		elinel2 4155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (𝑛[,)+∞))
41	36, 38, 40	icogelbd 13317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑛 ≤ 𝑚)
42	31, 32, 34, 41	eluzd 45689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
43	42	adantlr 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
44		rspa 3226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
45	30, 43, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
46	45	adantlll 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
47	29, 46	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑍 ∩ (𝑛[,)+∞))) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
48	15, 17, 20, 47	liminfval4 46069	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
49	48	rexlimdva2 3140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
51	12, 50	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
52	51	xnegeqd 45717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝑒(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
53	16	mptex 7171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ V
54	53	limsupcli 46037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*
55	54	xnegnegi 45719	. . . . . . . . . 10 ⊢ -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝑒-𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
57	52, 56	eqtr2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
58	3	reqabi 3423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
59	58	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
61	60	rexnegd 45423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝑒(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
62	57, 61	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
63	60	renegcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -(lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
64	62, 63	eqeltrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
65	64	rexnegd 45423	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
66	51, 65	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
67	66	mpteq2dva 5192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
68	2, 67	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
69		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
70	18, 31	uzn0d 45705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ≠ ∅)
71		fvex 6848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
72	71	dmex 7853	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
73	72	rgenw 3056	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
74	73	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
75		iinexg 5294	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℤ≥‘𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V) → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
76	70, 74, 75	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
77	76	rgen 3054	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
78		iunexg 7909	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
79	16, 77, 78	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∈ V
80	79, 5	ssexi 5268	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
81	80	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
82	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
83	10	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚))
84	49	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
85	83, 84	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
86	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ*)
87		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
88		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
89	87, 88	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
90		xnegrecl2 45740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
91	86, 89, 90	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
92		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
93		xnegrecl 45718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ → -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
95	92, 94	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∧ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
96	91, 95	impbida 801	. . . . . . . 8 ⊢ ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) = -𝑒(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) → ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
97	85, 96	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)) → ((lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
98	97	rabbidva 3406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
99	82, 98	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
100	69, 99	mpteq1df 45516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))))
101		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
102		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
103		smfliminflem.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
104		negex 11382	. . . . . 6 ⊢ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V
105	104	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → -((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ V)
106		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍)
107	72	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑚) ∈ V)
108	28	ffvelcdmda 7031	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) ∈ ℝ)
109	28	feqmptd 6903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
110	109, 26	eqeltrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
111	106, 24, 107, 108, 110	smfneg 47083	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
112		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
113		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
114	101, 69, 102, 103, 8, 23, 105, 111, 112, 113	smflimsupmpt 47109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
115	100, 114	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
116	69, 23, 81, 64, 115	smfneg 47083	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ -(lim sup‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ -((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
117	68, 116	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  {crab 3400  Vcvv 3441   ∩ cin 3901  ∅c0 4286  ∪ ciun 4947  ∩ ciin 4948   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169  -cneg 11369  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  -_𝑒cxne 13027  [,)cico 13267  lim supclsp 15397  lim infclsi 46031  SAlgcsalg 46588  SMblFncsmblfn 46975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-ceil 13717  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498  df-s1 14524  df-s2 14775  df-s3 14776  df-s4 14777  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-rest 17346  df-topgen 17367  df-top 22842  df-bases 22894  df-liminf 46032  df-salg 46589  df-salgen 46593  df-smblfn 46976

This theorem is referenced by:  smfliminf  47111