Theorem limsupresico 45715

Description: The superior limit doesn't change when a function is restricted to the upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupresico.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
limsupresico.2	⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
limsupresico.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
limsupresico	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresico

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupresico.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
6		ressxr 11305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
7	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
8		icossre 13468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
11		limsupresico.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
12	11	eleq2i 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
13	12	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
15	10, 14	sseldd 3984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
18		elicore 13439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
20	6, 19	sselid 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
21	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
23	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
24	22, 23, 14	icogelbd 45571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
26	6, 16	sselid 3981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
27	26, 5, 17	icogelbd 45571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ≤ 𝑦)
28	21, 16, 19, 25, 27	letrd 11418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑦)
29	19	ltpnfd 13163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
30	3, 5, 20, 28, 29	elicod 13437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,)+∞))
31	30, 11	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑍)
32	31	ssd 45085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍)
33		resima2 6034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
35	34	ineq1d 4219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
36	35	supeq1d 9486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
37	36	mpteq2dva 5242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
38	37	rneqd 5949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
39	11, 9	eqsstrid 4022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
40	39	mptimass 6091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
41	39	mptimass 6091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
42	38, 40, 41	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍))
43	42	infeq1d 9517	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ) = inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
44		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45		limsupresico.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
46	45	resexd 6046	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ V)
47	11	supeq1i 9487	. . . . 5 ⊢ sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < )
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ))
49	1	renepnfd 11312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ +∞)
50		icopnfsup 13905	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≠ +∞) → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
51	2, 49, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
52	48, 51	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
53	44, 46, 39, 52	limsupval2 15516	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
54		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
55	54, 45, 39, 52	limsupval2 15516	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
56	43, 53, 55	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686   ↾ cres 5687   “ cima 5688  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  infcinf 9481  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  [,)cico 13389  lim supclsp 15506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ico 13393  df-limsup 15507

This theorem is referenced by:  limsupresuz  45718  limsupresicompt  45771