Theorem limsupresico 43241

Description: The superior limit doesn't change when a function is restricted to the upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupresico.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
limsupresico.2	⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
limsupresico.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
limsupresico	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Proof of Theorem limsupresico

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupresico.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ*)
3	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
6		ressxr 11019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
7	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
8		icossre 13160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀[,)+∞) ⊆ ℝ)
11		limsupresico.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
12	11	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
13	12	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ (𝑀[,)+∞))
15	10, 14	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
17		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
18		elicore 13131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
20	6, 19	sselid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
21	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ∈ ℝ)
22	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ∈ ℝ*)
23	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
24	22, 23, 14	icogelbd 43096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑀 ≤ 𝑘)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑘)
26	6, 16	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ*)
27	26, 5, 17	icogelbd 43096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑘 ≤ 𝑦)
28	21, 16, 19, 25, 27	letrd 11132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑀 ≤ 𝑦)
29	19	ltpnfd 12857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 < +∞)
30	3, 5, 20, 28, 29	elicod 13129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑀[,)+∞))
31	30, 11	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝑍)
32	31	ssd 42630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍)
33		resima2 5926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘[,)+∞) ⊆ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
35	34	ineq1d 4145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
36	35	supeq1d 9205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
37	36	mpteq2dva 5174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
38	37	rneqd 5847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
39	11, 9	eqsstrid 3969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℝ)
40	39	mptima2 42791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
41	39	mptima2 42791	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ran (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
42	38, 40, 41	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍) = ((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍))
43	42	infeq1d 9236	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ) = inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
44		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
45		limsupresico.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
46	45	resexd 5938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ V)
47	11	supeq1i 9206	. . . . 5 ⊢ sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < )
48	47	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ))
49	1	renepnfd 11026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ +∞)
50		icopnfsup 13585	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≠ +∞) → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
51	2, 49, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup((𝑀[,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
52	48, 51	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
53	44, 46, 39, 52	limsupval2 15189	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝐹 ↾ 𝑍) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
54		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
55	54, 45, 39, 52	limsupval2 15189	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(((𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) “ 𝑍), ℝ*, < ))
56	43, 53, 55	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝐹 ↾ 𝑍)) = (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590   ↾ cres 5591   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  infcinf 9200  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,)cico 13081  lim supclsp 15179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-ico 13085  df-limsup 15180

This theorem is referenced by:  limsupresuz  43244  limsupresicompt  43297